16.3 梯形的性质
一、课内训练：
1．下列说法正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形;
B．有两个角相等的梯形一定是等腰梯形;
C．一组对边平行但不相等的四边形一定是梯形;
D．一组对边相等，而另一组对边不相等的四边形一定是梯形
2．四边形四个内角度数之比为2：2：1：3，则此四边形是（ ）
A．任意四边形 B．任意梯形 C．等腰梯形 D．直角梯形
3．有两个角相等的梯形是（ ）
A．等腰梯形 B．直角梯形 C．一般梯形 D．等腰梯形或直角梯形
4．如图，等腰梯形ABCD的面积为2，AB∥CD，AC⊥BD，求它的高．
5．（一题多解）已知等腰梯形的一个锐角等于60°，它的两底分别为和，求它的腰长．
6．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，AE⊥BC，且AE=AD=，求这个梯形的面积．
7．在周长为的梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC交BC于E，AD=，△ABE的周长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=CD，连接CE，
求证：CE=CA．
9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC=BC+AD，求∠DBC的度数．
10．（05年陕西省中考·课改卷）如图是用12个全等的等腰梯形镶嵌（密铺）成的图形，这个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是________．
11．请你想一想，能否将一个梯形纸片剪接成一个三角形？平行四边形？矩形？
二、课外演练：
1．下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是一种特殊的梯形；B．等腰梯形两底角相等
C．等腰梯形不可能是直角梯形； D．有两邻角相等的梯形是等腰梯形
2．如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=BC．若梯形的周长是，则AD=________cm，∠B=______．
（1） （2） （3） （4）
3．等腰梯形的一个锐角等于60°，它的上底是，腰长是，则下底是____．
4．梯形的上底长为，过上底一个顶点引一腰的平行线，交下底所得的三角形的周长是，那么这个梯形的周长是（ ）
A． B． C． D．
5．（06年温州市中考）如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，CD=5，则AD的长是（ ）
A．6 B．．4 D．3
6．如果等腰梯形两底差的一半等于它的高，则这个梯形的一个底角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
7．如图3所示，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB的度数为_______．
8．（05年佛山市中考·课改卷）如图4，是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指锐角）是______度．
9．（综合题）梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，∠B=60°，CD=，AD=，则AB的长是________cm．
10．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD+BC=26，求梯形ABCD的高．
11．如图，已知M是梯形ABCD一腰CD的中点，MN⊥AB，垂足为N．求证：S梯形ABCD=AB·MN．
答案:
一、课内训练：
1．C 点拨：A也可能是平行四边形；B也可能是直角梯形，由相等的两个角的位置不同决定着；D如图四边形ABCD中，AB=CD，AD≠BC，而四边形ABCD不是梯形．
2．D 点拨：设四个内角度数分别为2x，2x，x，3x，
由四边形内角和知2x+2x+x+3x=360°，解得x=45°，此梯形有两个角是直角，故选D．
3．D 点拨：可以是同一底边上的两个角相等，此时梯形是等腰梯形，也可以是邻角相等，此时梯形是直角梯形．
4．解：如图，过点C作CF⊥AB于F，作CE∥DB交AB的延长线于E．
∵CE∥DB，AB∥CD，∴四边形BECD是平行四边形．
∴CE=BD，BE=CD．∴AE=AB+BE=AB+CD．
∴S△AEC=AE·CF=（AB+CD）·CF=S梯形面积=2，
∵AD=BC，BD=AC，∴CE=AC，∵AC⊥BD，CE∥BD，
∴AC⊥CE，∴△AEC是等腰直角三角形．∵CF⊥AE，
∴F是AE中点．CF=AE．
∴S△AEC =AE·CF=CF2=2，∴CF=．
点拨：由梯形面积公式联想到构造一个一条边等于梯形ABCD的上底与下底之和，且与梯形等高的三角形，把梯形转化为三角形问题，为此过C为CE∥DB交AB的延长线于E，易知四边形BECD为平行四边形，BE=CD，所以AE=AB+CD，可见△AEC与梯形ABCD等高，所以它们的面积相等，至此，问题变成了已知三角形面积求高．
5．如图，解法一：如图（1），过A作AE∥CD交BC于E，
得等边三角形ABE，AB=BE=BC-AD=42-20=22（cm）．
解法二：如图（2），延长BA、CD交于点O，
得等腰三角形OBC和OAD，AB=OB-OA=BC-AD=42-20=22（cm）．
解法三：如图（3），作AM⊥BC，DN⊥BC，垂足为M，N，得矩形AMND，
在Rt△ABM中，∠BAM=90°-60°=30°，BM=（BC-AD）=，
因此AB=2BM=．
点拨：根据已知条件及求解的问题，有三种辅助线．
6．解：∵AE⊥BC，∠B=45°，
∴BE=AE=，
过D作DF⊥BC于F．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠C=45°．
∴四边形AEFD是矩形．
∴EF=AD=，CF=DF=AE=．
∴BC=BE+EF+FC=2+2+2=6．
∴S梯形ABCD=（AD+BC）·AE=×（2+6）×2=8（cm）2．
7．B 点拨：△ABE的周长等于梯形周长减去10．
8．连接BD，∵梯形ABCD是等腰梯形，
又∵AB∥CD，CD=BE．
∴四边形BECD是平行四边形．
∴CE=BD．
又∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴BD=AC，∴AC=CE．
9．解：过D作DE∥AC交BC的延长线于E．
∵AD∥BC，∴四边形ACED是平行四边形．
∴DE=AC，AD=CE．
又∵四边形ABCD是等腰梯形．
∴AC=BD．
又∵AC=BC+AD，∴AC=BC+CE=BE．
∴BD=BE=DE．
∴△BDE是等边三角形．
∴∠DBC=60°．
10．1：2 点拨：此等腰梯形是有一内角为60°且两腰与上底相等的．
11．一个梯形纸片可以剪拼成一个三角形、平行四边形或矩形，剪拼方法如图所示，其中虚线与实线的交点都为梯形腰的中点．
二、课外演练：
1．C 点拨：B选项必须是同一底边上的两底角相等；D选项是直角梯形．
2．6，60° 点拨：作DF∥AB交BC于F，则AD=BF=BC，
所以AD==6．△DCF是等边三角形，所以∠B=∠C=60°．
3． 点拨：由底角为60°，腰长为4，则下底的长为2+2+3=7（cm）．
4．A 点拨：梯形的周长等于所得三角形周长加上上底的2倍．
5．B 点拨：∵∠DCA=∠ACB，∠ACB=∠DAC，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD=5．
6．B 点拨：过梯形上底两顶点作下底的垂线，等腰梯形被分割成了一个矩形和两个等腰直角三角形，故底角是45°．
7．35° 点拨：过E作EF⊥AD，垂足为F，
因为DE平分∠ADC，所以FE=CE，
又因为E为BC中点，所以FE=BE，
故AE平分∠BAD．所以2（∠EAB+∠ADE）=180°，
而∠ADE=∠EDC=90°-35°=55°，故∠EAB=35°．
8．60 点拨：三个等腰梯形的钝角和为360°．
9．13 点拨：作梯形的两条高DE、CF，由∠A=∠B=60°，所以AE=BF=5，故AB=13．
10．解：过D作DF∥AC交BC的延长线于F，作DE⊥BC于E，
则四边形ACFD是平行四边形，所以AC=DF，AD=CF．
又因为四边形ABCD是等腰梯形，所以AC=BD．所以BD=DF．
因为AC⊥BD，DF∥AC，所以BD⊥DF．所以△BDF是等腰直角三角形，
所以∠F=∠DBF=45°．
又因为DE⊥BC，所以BE=EF，∠BED=90°，所以∠DBE=∠BDE=45°，
所以DE=BE=BF=（BC+CF）=（BC+CA）=×26=13．
点拨：当梯形的对角线相等或垂直时，常作梯形对角线的平行线，构造平行四边形，等腰三角形或直角三角形．
14．解法一：∵M是CD的中点，故连接并延长AM交BC的延长线于点E，
易知△ADM与△ECM关于点M成中心对称．∴S梯形ABCD=S△ABE．
连接BM，由BM是△ABE的中线，
∴S△ABE =2·S△ABM=2·AB·MN=AB·MN．
解法二：∵M是CD的中点，故过M作PQ∥AB，PQ分别与AD的延长线及BC相交于点P、Q，得ABQP，△PDM与△QCM关于点M成中心对称．
∴S梯形ABCD=SABCD =AB·MN．
点拨：利用中心对称思想方法，将原来的图形进行部分或整体的割补，把梯形问题转化为三角形问题或平行四边形问题来解决．