宇华教育集团北大附中河南分校2015-2016（下）期末
初二数学试卷
考试时间90分钟 满分100分
选择题（每小题3分，共24分）
1．下列关于的方程：①；②；③；
④（）；⑤=-1，其中一元二次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知α为锐角，且sin(α－10°)＝，则α等于( )
A．45° B．55° C．60° D．65°
3.如图，是由6个棱长为1个单位的正方体摆放而成的，将正方体A向右平移2个单位，向后平移1个单位后，所得几何体的视图（ ）
A.主视图改变，俯视图改变
B.主视图不变，俯视图不变
C.主视图不变，俯视图改变
D.主视图改变，俯视图不变
4．二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m=0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2
（第4题图) （第5题图) （第6题图)
5．如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是( )
A．(6，0) B．(6，3) C．(6，5) D．(4，2)
6.如图，将一个长为，宽为 的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（ ）
A. B. C. D.
7．如图，平面直角坐标系中，直线y=﹣x+a与x、y轴的正半轴分别交于点B和点A，与反比例函数y=﹣的图象交于点C，若BA：AC=2：1，则a的值为( )
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
8．观察二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列四个结论：
①4ac﹣b2＞0；②4a+c＜2b；③b+c＜0；④n（an+b）﹣b＜a（n≠1）．
正确结论的个数是（ ）
A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
（第7题图) （第8题图) （第12题图) （第13题图)
填空题（每小题3分，共21分）
9．计算：﹣14+﹣4cos30°= ．
10.在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是 （只写出符合条件的一个即可）．
11.若关于x的一元二次方程(m-2)x²+2x-1=0有实数根，求m的取值范围 。
12. 如图，已知二次函数的图象经过点A（-1，0），B（1，-2），该图象与轴的另一个交点为C，则AC的长为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，3），B（5，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为1：2，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是 ．
14．从-2，-1，0，1，2这5个树种，随机抽取一个数记为a，则使关于x的不等式组 有解，且使关于x的一元一次方程 的解为负数的概率为
15.如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是 cm
解答题（共55分）
16、（7分）先化简分式：（），若该分式的值为2，求x的值．
17．（7分）“农民也可以报销医疗费了！”这是某市推行新型农村医疗合作的成果．村民只要每人每年交10元钱，就可以加入合作医疗，每年先由自己支付医疗费，年终时可得到按一定比例返回的返回款．这一举措极大地增强了农民抵御大病风险的能力．小华与同学随机调查了他们乡的一些农民，根据收集到的数据绘制了以下的统计图．
根据以上信息，解答以下问题：
（1）本次调查了多少村民，被调查的村民中，有多少人参加合作医疗得到了返回款；
（2）该乡若有10 000村民，请你估计有多少人参加了合作医疗？要使两年后参加合作医疗的人数增加到9 680人，假设这两年的年增长率相同，求这个年增长率．
18．（6分）已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）填空：当AB：AD= 时，四边形MENF是正方形．
19.（7分）如图，在坡角为28°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为10米，落在广告牌上的影子CD的长为6米，求铁塔AB的高（AB，CD均与水平面垂直，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88结果保留一位小数）． 20.（9分）某商场同时购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如下表，
设其中甲种商品购进x件，该商场售完这200件商品的总利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）该商品计划最多投入18000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？ （3）实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元（50＜a＜70）出售，且限定商场最多购进120件，若商场保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使该商场获得最大利润的进货方案．
21．（9分）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系． （1）思路梳理 把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，由∠ADG=∠B=90°，得∠FDG=180°，即点F、D、G共线，易证△AFG≌ ，故EF、BE、DF之间的数量关系为 ． （2）类比引申 如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，∠EAF=45°．连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系，并给出证明． （3）联想拓展 如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，EC=2，则DE的长为 ．
22．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，说明理由．
答案
1----8 B BBCBAAC
9、﹣1 10、略 11、m≥1且m≠2
12、3 13、（，﹣1）或（﹣，1）
14、12 15、
16、
17、解：（1）调查的村民数=240+60=300人，
参加合作医疗得到了返回款的人数=240×2.5%=6人；（2）∵参加医疗合作的百分率为=80%，
∴估计该乡参加合作医疗的村民有10000×80%=8000人，
设年增长率为x，由题意知8000×（1+x）2=9680，
解得：x1=0.1，x2=﹣2.1（舍去），
即年增长率为10%．
答：共调查了300人，得到返回款的村民有6人，估计有8000人参加了合作医疗，年增长率为10%．
18、解答： （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°，
∵M为AD的中点，
∴AM=DM，
在△ABM和△DCM中
∴△ABM≌△DCM（SAS）．
解：当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，
19、如图，在坡角为28°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为10米，落在广告牌上的影子CD的长为6米，求铁塔AB的高（AB，CD均与水平面垂直，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88结果保留一位小数）．
20．（2016•虞城县二模）某商场同时购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如下表，
设其中甲种商品购进x件，若设该商场售完这200件商品的总利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）该商品计划最多投入18000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？ （3）实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元（50＜a＜70）出售，且限定商场最多购进120件，若商场保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使该商场获得最大利润的进货方案．
①由已知可得：y=（160﹣80）x+（240﹣100）（200﹣x）=﹣60x+28000（0≤x≤200）． ②由已知得：80x+100（200﹣x）≤18000， 解得：x≥100， ∵y=﹣60x+28000，在x取值范围内单调递减， ∴当x=100时，y有最大值，最大值为﹣60×100+28000=22000． 故该商场获得的最大利润为22000元． （3）y=（160﹣80+a）x+（240﹣100）（200﹣x）， 即y=（a﹣60）x+28000，其中100≤x≤120． ①当50＜a＜60时，a﹣60＜0，y随x的增大而减小， ∴当x=100时，y有最大值， 即商场应购进甲、乙两种商品各100件，获利最大． ②当a=60时，a﹣60=0，y=28000， 即商场应购进甲种商品的数量满足100≤x≤120的整数件时，获利都一样． ③当60＜x＜70时，a﹣60＞0，y岁x的增大而增大， ∴当x=120时，y有最大值， 即商场应购进甲种商品120件，乙种商品80件获利最大．
212．（2014•许昌一模）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系． （1）思路梳理 把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，由∠ADG=∠B=90°，得∠FDG=180°，即点F、D、G共线，易证△AFG≌ ，故EF、BE、DF之间的数量关系为 ． （2）类比引申 如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，∠EAF=45°．连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系，并给出证明． （3）联想拓展 如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，EC=2，则DE的长为 ．
22．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．
（1）求抛物线的解析式；
线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．
解答： 解：（1）如图1，
∵A（﹣3，0），C（0，4），
∴OA=3，OC=4．
∵∠AOC=90°，
∴AC=5．
∵BC∥AO，AB平分∠CAO，
∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．
∴BC=AC．
∴BC=5．
∵BC∥AO，BC=5，OC=4，
∴点B的坐标为（5，4）．
∵A（﹣3，0）、C（0，4）、B（5，4）在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．
如图2，
设直线AB的解析式为y=mx+n，
∵A（﹣3，0）、B（5，4）在直线AB上，
∴
解得：
∴直线AB的解析式为y=x+．
设点P的横坐标为t（﹣3≤t≤5），则点Q的横坐标也为t．
∴yP=t+，yQ=﹣t2+t+4．
∴PQ=yQ﹣yP=﹣t2+t+4﹣（t+）
=﹣t2+t+4﹣t﹣
=﹣t2++
=﹣（t2﹣2t﹣15）
=﹣[（t﹣1）2﹣16]
=﹣（t﹣1）2+．
∵﹣＜0，﹣3≤t≤5，
∴当t=1时，PQ取到最大值，最大值为．
∴线段PQ的最大值为．
（3）①当∠BAM=90°时，如图3所示．
抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=．
∴xH=xG=xM=．
∴yG=×+=．
∴GH=．
∵∠GHA=∠GAM=90°，
∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM．
∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，
∴△AHG∽△MHA．
∴．
∴=．
解得：MH=11．
∴点M的坐标为（，﹣11）．
②当∠ABM=90°时，如图4所示．
∵∠BDG=90°，BD=5﹣=，DG=4﹣=，
∴BG=
=
=．
同理：AG=．
∵∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°，
∴△AGH∽△MGB．
∴=．
∴=．
解得：MG=．
∴MH=MG+GH
=+
=9．
∴点M的坐标为（，9）．
综上所述：符合要求的点M的坐标为（，9）和（，﹣11）．