暑假专题——一元二次方程根与系数的关系；四边形
重点、难点
重点：一元二次方程根与系数的关系；四边形的内角和、外角和定理；多边形的内角和、外角和定理。
难点：一元二次方程根与系数的关系；四边形内角和、外角和定理的应用；多边形内、外角和定理的应用。
知识要点：
代数：
1. 韦达定理
一元二次方程，如果有实数根（即），设两实数根为x1，x2，则，
引申1：
引申2：由可判断两根符号之间的关系：
若，则x1，x2同号
若，则x1，x2异号，即一正一负
再由可判断两根大小的关系。
2. 由x1，x2两根可构造的一元二次方程
以x1，x2为根的一个一元二次方程为。
几何：
【典型例题】
例1. （1）若x1，x2是方程的两个根，求，；
（2）若方程的两个根是x1，x2，求。
解：（1）由韦达定理，得
（2）把原方程化为一般式
由韦达定理，得
即
例2. （江西2004中考题）
已知关于x的方程
（1）当m取什么值时，原方程没有实数根？
（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和。
解：（1）
当时，原方程无实数根
时，原方程无实数根
（2）当时，即，时，原方程有两个实数根
设方程的两根为x1，x2，则两根的平方和为：
在范围内取m＝1，则
例3. （2004海淀中考）
已知，关于x的一元二次方程的两个实数根之差的平方为m，若对于任意一个非零的实数a，总成立，求实数c及m的值。
解：设原方程的根为，由题意，知
又
由韦达定理，
要使对于任意一个非零的实数a，总成立，需中的c＝0
这时
即c＝0时，m＝4
例4. （1）如果四边形的四个内角的度数之比为1：2：4：5，求这个四边形各内角的度数。
（2）一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数。
解：（1）根据题意，设这个四边形的四内角分别为x，2x，4x，5x，根据四边形内角和定理，则
该四边形的四个内角分别为30°，60°，120°，150°。
（2）设这个多边形的边数为n，则其内角和为，设这个外角为x，则，由题意，知
又
这个多边形的边数为9。
【模拟试题】（答题时间：25分钟）
1. 如果方程的一根为1，求k及另一根。
2. 设方程的两根分别为x1，x2，求①；②（）
3. 求以3，－1为根的方程。
4. 如果两数之和为7，两数之积为12，求这两数。
5. （1）内角和等于外角和的多边形是几边形？
（2）若一个多边形的每一个内角都相等，且内角和为2340°，求每一个外角。
6. 四边形ABCD中，对角线AC平分，且AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10，求AC的长。如图：
【试题答案】
1. k＝－7，另一根也为－7
2. ①；②
3.
4. 两数为3，4
5. （1）4；（2）24°
6. 提示：过C向AB、AD的延长线作垂线，AC＝17