暑假专题——函数解题中的数学思想应用
重点、难点
数学思想的应用
【典型例题】
一. 方程思想的应用
例1. 已知点P（x，x+y）与点Q（y+5，x-7）关于x轴对称，则点Q坐标为______。
分析：P点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标相反
构造方程组
解得：
∴Q点坐标为（4，-3）
例2. 已知一次函数的图像经过第一、二、三象限，求m的值。
分析：一次函数条件：x的次数为1
即：
得：
解得：
而当
此时图像经过一、三、四象限
不符合题意，舍去
故m=3
例3. 已知：在△ABC中，，P为AB上一动点（P不与A、B重合），过点P作PE//BC交AC于E，连结BE，设AP=x，△BPE的面积为y，求y与x之间的函数关系，并求自变量x的取值范围。
分析：
∴知道PE的长、EC的长是关键，而PE、EC与三角形相似有关。
所以此题借助比例式找出PE、EC与x之间的等量关系。
即：用含x的式子表示PE、EC，进而得到函数关系式。
解：
二. 数形结合思想的应用
例1. 一次函数的图像经过第_______象限。
分析：充当中的k，此时大于0
充当中的b，此时小于0
则依据直线，当的图象示意图：可知图像经过一、三、四象限。
例2. 已知反比例函数是反比例函数图象上的三个点，若，试判断的大小关系。
分析：反比例函数的图像位于二、四象限
只需将在图像上找到相对应的点，则可确定相应的函数值。从而根据位置判断大小。
y轴上，越往上数越大，所以。
例3. 如图所示，一次函数的图像过第一、三、四象限，且与双曲线的图像交于A、B两点，与y轴交于C，是终边上的一点，若，原点O到A点的距离为
（1）求A点坐标；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）若，求一次函数的解析式。
分析：此题关键是在平面直角坐标系中借助及，在Rt△中求A点坐标。从而进一步借助到y轴距离等于，求出b，确定一次函数的解析式。
解：（1）设点A坐标为（a，b），且
过A作轴交x轴于M
则
在
所以点A坐标为（5，1）
（2）此反比例函数解析式为
（3），且（OC=|b|，C在x轴下方）
∴一次函数解析式为：
又∵直线过点
∴一次函数解析式为
三. 分类讨论思想的应用
例1. 已知点N在x轴下方，且到x轴距离为2，到y轴距离为，则点N的坐标为_________。
分析：设点N坐标为（x，y）
由题意得：
则
又∵点N在x轴下方，y<0
例2. 已知直线与直角坐标系的两坐标轴围成的三角形的面积为9，则直线解析式为__________。
分析：设直线与x轴交点为A，与y轴交点为B
则
∴直线解析式为
例3. 已知点A为平面直角坐标系内第四象限夹角平分线上一点，且OA=5，试在坐标轴上找一点C，使得△AOC为等腰三角形，并写出C点坐标。
分析：首先应分别在x轴和y轴上找点C
其次，△AOC应分类找：（1）OA为腰；（2）OA为底
当C点在x轴上时
当C点在y轴上时
四. 转化思想的应用
例1. 已知一次函数的图像经过二、三、四象限，求k的取值范围。
分析：直线经过二、三、四象限
则
得：
所以
例2. 待定系数解题（转化为方程组）
如：已知与成正比例，其中m，n是常数，当时，；当时，，求y与x的函数关系。
分析：设
当时，得：
当时，得：
解方程组
解得：
所求函数关系式为：
例3. 如图所示，直线与y轴交于点A（0，3）与x轴交于点B，正方形OPQR的两边在坐标轴上，Q在直线AB上，OP：PB=1：2，求直线的解析式。
分析：求直线AB解析式，需要知道A、B坐标。而A点（0，3），则OA=3，求B点即可，即求OB长，此问题转化为几何问题。
又知PQRO为正方形，设正方形边长为x，则
∴B点坐标为（6，0）
∴直线解析式为
五. 几何解题思想的综合应用
例：已知反比例函数和一次函数，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图所示，已知点A是上述两个函数的图象在第一象限的交点，求点A的坐标；
（3）利用（2）的结果，回答：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。
分析：（1）由一次函数的图象经过两点（a，b），（a+1，b+k），代入消去a，b，可得k=2，进而可确定反比例函数的关系式。
（2）将联立成方程组，易求出点A的坐标；
（3）应根据OA为腰和底进行分类，结合（2）探求出点P的存在性。
解：（1）依题意可得：
两式相减，得
所以反比例函数的解析式为
（2）由，得，
经检验都是原方程组的解。
因为A点在第一象限，所以A点坐标为（1，1）
（3），OA与x轴所夹锐角为45°
如图下所示①，当OA为腰时，由OA=OP，得
由，得
②当OA为底时，得
所以这样的点有4个，分别是、
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 反比例函数的图象上两点，，当时，有，则m的取值范围是_____________。
2. 已知反比例函数的图象在第一、三象限，则一次函数的图象不经过第___________象限。
3. 直线与y轴的交点在x轴上方，且y随x的增大而减小，则m的取值范围是__________。
4. 三角形三边长为3cm，5cm，xcm，则三角形的周长为与的函数关系式是______________，自变量x的取值范围是___________。
5. 当m取何值时，函数是x的一次函数？它是否是正比例函数？
6. 已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，求m的取值范围。
7. 直线和直线的交点在第__________象限。
8. 两个一次函数的图象交于y轴上一点A，分别交x轴于点B、C，如图所示，若已知|OB|：|OA|：|OC|=1：2：3，且△ABC的面积是16，求两函数的解析式。
9. 在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，且m为整数，则过点A的反比例函数的解析式为________________。
10. 如果一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为10，则此一次函数为_________________。
11. 已知点A是正比例函数和反比例函数在第一象限的交点
（1）求点A的坐标；
（2）如果直线经过点A且与x轴交于点C，求b及点C的坐标。
12. 如图所示，在第四象限内的矩形OABC，两边在坐标轴上，一个顶点在一次函数的图象上，当点A从左向右移动时，矩形的周长与面积也随之发生变化，设线段OA长m，矩形的周长为，面积为s。
（1）试分别写出与m的函数关系；
（2）能否求出当m取何值时，矩形的周长最大？为什么？
（3）你能否估计矩形的面积是否有最大值，简单说一下你的想法？
【试题答案】
1. 2. 三
3. 4.
5. 解：，
则
，它是一次函数也是正比例函数。
6. 解：，
7. 三
8. 解：设
∴直线AB解析式为，直线AC解析式为
9.
10.
11. 解：（1），解得：（不合题意，舍去）
（2）经过点
则
12. 解：（1）①由题意得，
②
（2）周长的一次函数，且的增大而增大。是否有最大值，关键在于m的取值范围。与x轴交点为（6，0），所以，m越接近6，周长越大。但不能等于6，所以周长无最大值。
（3）当点A接近于（0，0）时，面积接近于0，随着点A逐渐右移，面积逐渐增大。而当点A接近于（6，0），面积也接近于0，随着点A位置变化，可知面积先随m的增大而增大，到一定程度时，开始随x的增大而减小，估计在m取某一值时，面积为最大值。