2008-2009学年度
第一学期初三数学期中试卷
提示：请大家首先在规定时间内独立完成试卷，然后对照解析和点评，仔细琢磨、领悟每道题的解法，查缺补漏。如果有另外的解法，欢迎跟帖。切忌在独立完成之前直接看解答。
班级 姓名 学号
一、选择题(本题共40分，每小题4分，在下列各题中的的四个选项中只有一个是正确的)：
1．方程(m-1)x2+mx+l=0是关于x的一元二次方程，则m的值是( )
(A)任意实数 (B) m≠0 (C) m≠l (D) m≠-1
[解析]由一元二次方程的定义知，，故选C.
[点评]本题考查一元二次方程的概念，属于基础题.
2．若x2-6x+k2是一个完全平方式，则k的值是( )
(A) 3 (B) -3 (C)±3 (D)以上都不对
[解析]，选C.
[点评]本题考查完全平方式的概念，属于基础题.
3．下列一元二次方程中，两实根和为5的是( )
(A)x2-5x+8=0 (B) x2+5x-8=0
(C)x2+5x+8=0 (D) x2-5x-8=0
[解析]，故排除B、C，，故排除A，所以选D.
[点评]本题考查一元二次方程的根系关系和判别式.
4．如图，在同一直角坐标系中表示y=ax2和y=ax+b(ab>O)的图象是( )
[解析]首先，由可知同号，然后一个选项一个选项的判断：A选项中，由二次函数的图像可知，由一次函数的图像可知，故排除A，同理可以排除B、C，只有D选项没有矛盾.
[点评]这是一种常见题型，中考试卷中也屡见不鲜.这种题一是要读懂题意，看清题目中的每个条件，然后就是一个选项一个选项的“找茬”，将有矛盾的选项依次排除.
5．四张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形，现在从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
[解析]这4个图形中，是中心对称图形的有圆和矩形，故从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为，选B.
[点评]本题考查中心对称图形的概念，和基本的概率运算，不难.
6．仔细读一读以下四个命题：(1)等弦对等弧；(2)等弧对等弦；(3)平分一条弧和它所对的弦的直线必过圆心；(4)平分弦的直径垂直于这条弦.其中正确的命题有( )
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D)4个
[解析]（1）和（2）都没有强调是在同圆或者等圆中，错；（3）和（4）都是垂径定理的推论，对.选B
[点评]本题考查圆中的基本概念和基本定理，这种题要求大家的基本功要扎实.
7．0是△ABC的内心，∠A=800，则∠BOC的度数是( )
(A)1600 (B)1300 (C)1000 (D)400
[解析]画图，由内心定义可知,故，选B.
[点评]本题考查“内心”的概念，以及画图、计算的能力，简单.
8．一个圆锥形冰淇淋纸筒(无盖)，其底面直径为，母线长为，做成一个这样的纸筒所需纸片的面积是( )
(A) cm2 (B) cm2 (C) cm2 (D) cm2
[解析]由题意，做成一个这样的纸筒所需纸片的面积，等于这个圆锥的侧面积，即（cm2 ），选D.
[点评]本题考查圆锥侧面积的计算，比较简单.
9．⊙和⊙的半径分别为l和3，⊙和⊙外切，则半径为4且与⊙和⊙和都相切的圆有( )
(A) 2个 (B) 3个 (C) 4个 (D) 5个
[解析]首先画图，设半径为4的是⊙,由题意可知，本题有4种情况：
（1）⊙和⊙内切，和⊙外切；
（2）⊙和⊙外切，和⊙内切；
（3）⊙和⊙、⊙都外切，此时，可以做到，并且这样的⊙有2个；
（4）⊙和⊙、⊙都内切，此时，可以做到，此时在线段上，并且到的距离为1.
综上所述，本题有4种情况，符合条件的圆有5个，选D.
[点评]本题考查圆与圆的位置关系，要求考虑到所有情况，并且判断每种情况是否成立，比较难.
10．如上图，画有脸谱的圆与⊙0的半径相等，并绕⊙0按逆时针方向做无滑动的滚动(⊙0固定)，则其中四个位置完全正确的是( )
[解析]想象一下即可，选C.
[点评]本题考查旋转和想象能力，属于基础题.
二、填空题(本题共24分，每小题4分)：
11．如果是方程x2-cx+l=0的一个根，那么c的值是 .
[解析]设，由于，故，所以.
[点评]本题考查根系关系，属于基础题.
12．己知抛物线y=3x2+4(a+1)x+3的顶点在x轴上，那么a的值是 ．
[解析]，选C由题意可知，顶点纵坐标为0，故，解得.
[点评]本题考查抛物线的顶点坐标公式，以及轴上的点的坐标特点，不难.
13．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同，小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率分别为O.1 5和0.45，则口袋中白色球的数目很可能是
.
[解析]因为是“多次摸球试验”以后，故口袋中白色球的数目很可能是（个）.
[点评]本题考查数据统计与分析的基本知识，简单.
14．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转250，B点落在位置，A点落在位置，若,则∠BAC的度数是 .
[解析]由题意，.
[点评]本题考查旋转、垂直等几何概念以及几何计算的能力，属于基础题.
15．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=，则此光盘的直径是 cm．
[解析]如图，设圆心为，作垂直三角板的斜边于点，则△≌△(HL)，故，，所以此光盘的直径是cm.
[点评]本题考查直线和圆的位置关系、三角形全等、特殊三角形的边角关系等，有一定的综合性.
16．如图，某大学的校门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽为，两侧距地面高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为，则校门的高为 m(精确到，水泥建筑物厚度忽略不计)．
[解析]如图建立平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为，由题意，设点坐标为，则点坐标为，代入解得，故此抛物线的解析式为，当时，，所以校门的高为m.
[点评]本题是一道实际问题，要求自己建立坐标系，然后用待定系数法求解抛物线的解析式，并要求能将抛物线上的点及坐标与题目中的实际量对应上，较难.本题建立坐标系的方法不唯一.
三、解答题(本题共47分)：
17. (本小题6分)．解方程：2x2-2x-1=O
[解析]法一：原式可以变形为
.
法二：应用求根公式.
[点评]本题考查一元二次方程的求解，属于基础题.
18. (本小题6分)．已知关于x的方程kx2-4kx+k-5=0有两个相等的实数根，求k的值并解这个方程．
[解析]∵原方程有两个相等的实数根
∴且
即
∴ 或(舍)
∴原方程可化为:
∴
∴
∴
.
[点评]本题考查一元二次方程根的情况与判别式之间的关系，注意既然题目中说此方程有两个相等的实数根，则此方程必为一元二次方程，所以.
19. (本小题6分)．在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x绕点O顺时针旋转900得到直线l，直线l与二次函数y=x2+bx+2图象的一个交点为(m,3),试求二次函数的解析式.
[解析]，选C由题意，直线的解析式为，将代入，解得.
将（3，3）代入二次函数的解析式，解得
∴二次函数的解析式为.
[点评]本题考查直线的旋转、直线和抛物线的交点、待定系数法，不难.
20. (本小题6分)．小明、小亮和小强三人准备下象棋，他们约定用 “抛硬币”的游戏方式来确定哪两个人先下棋，规则如下图：
(1)请你画出表示游戏一个回合所有可能出现的结果的树状图：
(2)求一个回合能确定两人先下棋的概率．
[解析]
（2）根据树状图可得，所有可能出现的情况为8种,能一个回合确定两人先下棋的可能为6种.
∴一个回合能确定两人先下棋的概率为
6÷8=0.75
答:一个回合能确定两人先下棋的概率为0.75.
[点评]本题首先要将题读懂，明白游戏的规则，然后细心画出树状图就可以基本上解决问题.
21. (本小题7分).机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为，用油的重复利用率为60％，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克.为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关.
(1)甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍为60％，问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
(2)乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少，用油的重复利用率将增加1.6％，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克。问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克?用油的重复利用率是多少?
[解析](1)∵加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克.
又∵用油的重复利用率仍为60%,即实际耗油率为100%-60%=40%
∴实际耗油量=70×40%=28(千克)
答:技术革新后,加工一台大型机械设备的实际耗油量是.
(2)解:设润滑用油量减少了x千克,所以用油的重复利用率增加了0.016x.
根据题意:得
(90-x)(1-0.6-0.016x)=12
(90-x)(0.4-0.016x)=12
(90-x)(400-16x)=1200
解得:x1=15 x2=100
又∵x2=100＞90 ∴舍去
∴加工一台大型机械设备的润滑用油量为90-15=75(千克)
用油的重复利用率为60%+15×1.6%=84%
答:加工一台大型机械设备的润滑用油量是75千克.用油的重复利用率是84%.
[点评]应用题最重要的是读懂题意.比如本题中出现的“用油的重复利用率”，到底什么意思？一来可以照字面理解，二来题目中有解释：“按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克”.总之，如果题目意思没有弄明白，这样的题是没法完成的.本题还考了列一元二次方程解应用题.方程的解要符合实际题目的要求.
22.(本小题4分)．阅读下面的例题：
解方程：
解：(1)当x≥O时，原方程化为x2-x-2=0，解得：x1=2，x2=-1(不合题意，舍去)．
(2)当x＜O时，原方程化为x2+x-2=0，解得：x1=1(不合题意，舍去)，x2=-2
∴原方程的根是x1=2，x2=-2．
请参照例题解方程，则此方程的根是 ．
[解析]（1）当时，原方程化为.解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）；
（2）当时，原方程化为.解得，.
所以原方程的根是，.
[点评]本题首先要明白例题的解法：分类讨论.带有绝对值的方程，一般来讲，都要用零点分段法分类，一类一类的求解.求出的解，一定要检验，看是否在这一类别中.
23.(本小题6分)如图．正方形ABCD中,E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=450，BE=2，CF=3．
求：正方形的边长．
[解析]法一：延长至，连接、，先证明△≌△（SAS），
故
有△≌△
所以
故由勾股定理，
从而正方形的边长为4+2＝6.
法二：连结AC,作FG垂直于AC于G
∴∠CAB=450即∠CAE+∠EAB=450,∠DCA=450
又∵∠FAG+∠EAC=450
∴∠FAG=∠EAB
又∵四边形ABCD为正方形
∴∠EBA=900=∠FGA
∴△EAB∽△FAG
又∵∠FGC=900 ∠FCG=450
∴△FGC为等腰直角三角形
又∵FC=3 ∴FG2+GC2=9
∴FG=GC=
又∵△EAB∽△FAG
∴
∴
又∵∠CAB=450 ∠B=900 ∴AB=BC 且AB2+BC2=AC2
∴
∴
∴
∴
∴AB=6 即正方形的边长为6.
[点评]本题是一类非常非常常见的题型，.方法一的辅助线的画法，实质上是利用旋转，将分散的条件集中起来，通过三角形全等、勾股定理来解决问题.方法二是某学生在实际考试中的做法，是利用相似形、三角形全等、等腰直角三角形、方程等方法解决问题，反映出这名学生扎实的功底，但有点繁琐了.像这样的常见题型和基本图形要熟悉.
24.(本小题6分)．己知：如图，⊙D交y轴于A、B，交x轴于C，过点C的直线与y轴交于P，D点坐标(0,1)
求证：PC是⊙D的切线．
[解析]∵直线交于x轴于点C,交y轴于P
∴点C.P坐标分别为(),(0,-8)
∴OC= OP=8
又∵∠COP=900
∴PC2=OC2+OP2
∴PC= 又∵＜0 ∴舍去
∵点D坐标为(0,1) ∴DO=1
又∵OC= ∠DOC=900
∴DC2=DO2+OC2=9
∴DC=3或-3 又∵-3＜0 ∴舍去
又∵DO=1 OP=8 ∴DP=9
又∵DP2=81=72+9=PC2+DC2
∴∠DCP=900即PC是⊙D的切线.
[点评]本题是一道综合题，考查的知识点比较多：坐标系、圆、一次函数、直线与圆的位置关系、坐标与长度之间的关系、勾股定理等，这种几何与代数结合的题，首先要求大家基本功扎实，其次还要能将所学的知识融会贯通，综合应用.
四、解答题(本题9分)：
25．矩形ABCD的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系中，使AB在x轴的正半轴上，点A在点B的左侧，另两个顶点都在第一象限，且直线经过这两个顶点中的一个．
(1)求A、B、C、D四点坐标．
(2)以AB为直径作⊙M，记过A、B两点的抛物线的顶点为P．
①若P点在⊙M和矩形内，求a的取值范围．
②过点C作CF切⊙M于E，交AD于F，当PFAB时，求抛物线的函数解析式.
[解析](1)首先画图.设点A坐标为(x,0) 又∵AB=3 AD=2 且点A在点B 的左侧.AB在x轴的正半轴上.
又∵ABCD为矩形,则点B、C、D的坐标分别为(x+3,0),(x+3,2)，(x,2)
∴直线经过这两个顶点中的一个.当其经过点C时, ∴x=-1
又∵点A在x轴正半轴上 ∴x＞0 ∴x=-1舍去
当其经过点D时, ∴x=2，符合题意.
∴A.B.C.D四点坐标分别为(2,0) (5,0) (5,2) (2,2)
(2)①∵此抛物线过点A.B
∴可设抛物线的解析式为
∴其顶点P的坐标为
而⊙M的圆心M的坐标为，半径为
∴若P点在⊙M和矩形内，则，
∴.
②设点坐标为，则
∵CF切⊙M于E，CB、FA均为⊙M的切线，故△CBM≌△CEM(HL),△FAM≌△FEM(HL)
∴CB=CE=2,FA=FE=,
∴
在Rt△FAM中，有
在Rt△CEM中，有
在Rt△CFM中，有
∴
解得
故P点纵坐标，
∴此抛物线的函数解析式为
[点评]本题综合性较强，有相当难度.
（1）首先要能根据题意，正确的画出图形，写出四个点的坐标，还要注意分类讨论.求得解后要检验.
（2）①设抛物线解析式的时候，此题应根据题意设两点式.很多同学不动脑筋，只知道设一般式，然后用待定系数法，在这题里是比较繁琐的.得到P点坐标的表达式后，应注意到P点的横坐标是定值，等于M点的横坐标，如果不注意到这一点，也可能找不到最简捷的解法.
②题目条件众多且较复杂，要想考试时很快切入解题要点，需要在平时多练习、多思考.这题的关键是利用直线CF,FA,CB和圆的相切关系，判断并且证明两对全等三角形，然后利用勾股定理列方程求解.这是解决几何计算问题的常用手段.
五、选做题(本题共6分，每小题3分)：
26.如图，在⊙O中，弦AB⊥AC，AB=a，AC=b，弦AD平分∠BAC．求AD的长(用a、b表示).
[解析]连接BC,BD,CD，设BC交AD于E
∵AB⊥AC, ∴BC经过O点.
∵AD平分∠BAC，∴
∴
∵，∴△ABE∽△ADC, ∴
同理，△CDE∽△ADC, ∴
∴,两式相加，得
解得
[点评]难题.方法较多，如应用正弦定理或者余弦定理等.解析中的方法充分利用了圆的性质，结合相似形求解.
27.如图,在平面直角坐标系中，以点P(1，-1)为圆心，2为半径作圆，交x轴A、B两点，抛物线
y=ax2+bx+c(a＞O)过点A、B，且顶点C在⊙P上．
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在一点D,使线段OC与PD互相平分?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
[解析]（1）作于，连接PA，则PA=2,PE=1, ∴
∵E点坐标为（1，0），∴A点坐标为，B点坐标为
∴可设抛物线的解析式为
∴其顶点C的坐标为
而⊙P的圆心P的坐标为，半径为2
∴
∴此抛物线的解析式为
（2）设存在这样的点D，坐标为（）
∵线段OC与PD互相平分，∴四边形OPCD为平行四边形.
∵OD∥PC,P、C两点的横坐标相等，∴O、D两点的横坐标也相等.
∴D点坐标为（0，-2）
∴直线DC的解析式为，直线OP的解析式为
∴OP∥DC
∴抛物线上存在一点D(0,-2),使线段OC与PD互相平分.
[点评]本题较难.（1）类似于25题，（2）是存在性问题，这种题一般都假设要求的点存在，然后进行数学推导.要求对平行四边形的判定、一次函数、直线平行等知识熟练掌握.