丰台区2011-2012学年度第一学期期末练习
初 三 数 学
学校 姓名 考号
一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．已知，则下列比例式成立的是
A． B． C． D．
2．二次函数的最小值是
A．1 B．－ C．2 D．－2
3．⊙O1和⊙O2的半径分别为和，若O1O2=，则⊙O1和⊙O2的位置关系是
A．外切 B．相交 C．内切 D．内含
4．若，相似比为1∶2，且△ABC的面积为4，则△DEF的面积为
A．16 B．C．4 D．2
5．将∠α放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则tanα的值是
A． B． C． D．
6．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若CE=2，则AB的长是
A．4 B．．8 D．10
7． 如图，若点P在反比例函数的图象上，过点P作PM⊥x轴于点，PN⊥y轴于点N，若矩形PMON的面积为6，则的值是
A．-3 B．C．-6 D．6
8．如图，在矩形ABCD中，AB=，AD=，动点M自点A出发沿A→B的方向，以每秒的速度运动，同时动点N自点A出发沿A→D→C的方向以每秒的速度运动，当点N到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为x（秒），△AMN的面积为y（cm2），则下列图象中能反映y与x之间的函数关系的是
A B C D
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
9．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA＝，则∠A＝__________．
10．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且 DE∥BC，若AD∶DB=3∶2，AE=6，则EC的长等于 ．
11．若扇形的圆心角为60°，它的半径为，则这个扇形的弧长是 cm ．
12．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABC=20°，点D是弧CAB上一点，若∠ABC=20°，则∠D的度数是______．
13．已知二次函数y=ax2+bx+c，若x与y的部分对应值如下表：
则当x=4时，y= ．
14．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形” ．
已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3．
（1）如图1，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a1是 ；
（2）如图2，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形，则第2个正方形DGHI的边长a2= ；继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形；…以此类推，则第n个内接正方形的边长an= ．（n为正整数）
三、解答题（本题共20分，每小题5分）
15．计算：2cos30°＋sin45°－tan60°．
16．已知二次函数．
（1）求出这个函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）求出这个函数图象与轴、y轴的交点坐标．
17．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，联结BD，过点C作CE⊥BD于交AB于点E，垂足为点H，若AD=2，AB=4，求sin∠BCE．
18．已知：在平面直角坐标系xOy中，将直线绕点O顺时针旋转90°得到直线l，反比例函数的图象与直线l的一个交点为A(a，2)，试确定反比例函数的解析式．
四、解答题（本题共22分，第19、 22题每小题5分，第21、 22题每小题6分）
19．如图，天空中有一个静止的热气球A，从地面点B测得A的仰角为30°，从地面点C测得A的仰角为60°．已知BC=，点A和直线BC在同一垂直平面上，求热气球离地面的高度．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
(2）若AC= 6，tanB=，求⊙O的半径．
21．某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，得到如下数据：
（1）若日销售量（件）是售价（元∕件）的一次函数，求这个一次函数的解析式；
（2）设这个工厂试销该产品每天获得的利润为W（元），当售价定为每件多少元时，工厂每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
22．小明喜欢研究问题，他将一把三角板的直角顶点放在平面直角坐标系的原点处，两条直角边与抛物线交于、两点．
（1）如左图，当时，则= ；
（2）对同一条抛物线，当小明将三角板绕点旋转到如右图所示的位置时，过点作轴于点，测得，求出此时点的坐标；
（3）对于同一条抛物线，当小明将三角板绕点旋转任意角度时，他惊奇地发现，若三角板的两条直角边与抛物线有交点，则线段总经过一个定点，请直接写出该定点的坐标．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与直线y=x－1交于A（－1，a）、B（b，０）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）点是x轴上的一个动点．过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点N．当点M位于点N的上方时，直接写出t的取值范围．
24．在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=BC，CD⊥AB于点D，点E为AC边上一点，联结BE交CD于点F，过点E作EG⊥BE交AB于点G，
如图1，当点E为AC中点时，线段EF与EG的数量关系是 ；
如图2，当，探究线段EF与EG的数量关系并且证明；
如图3，当，线段EF与EG的数量关系是 ．
图1 图2 图3
25．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C1：
（1）将抛物线C1先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线C2，求抛物线C2的顶点P的坐标及它的解析式．
（2）如果轴上有一动点M，那么在两条抛物线C1、C2上是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形（OP为一边）？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
丰台区2011—2012学年度第一学期期末练习
初三数学试题答案及评分参考
一、选择题（本题共8个小题，每小题4分，共32分）
二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分）
三、解答题（共20分，每小题5分）
15．解：原式= ------3分
------4分
------5分
16．解：（1）∵，
∴对称轴是，顶点坐标是（1，）．------2分
（2）令y=0，则，解得，；
令x=0，则．
∴图象与轴交点坐标是(-1，0)、(3，0)，与y轴的交点坐标是． ------5分
17．解：∵CE⊥BD，∴∠1+∠3=90°．
∵∠ABC=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2．------1分
∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠A=90°．
在Rt△ABD中，AD=2，AB=4，
由勾股定理得，BD=． ------2分
∴sin∠2=．------4分
∴sin∠BCE．------5分
18．解：根据题意，直线l的解析式为．------1分
∵反比例函数的图象与直线l交点为A(a，2)，∴. ∴. ------2分
∴A(-2，2)． ------3分
∴. ∴. ------4分
∴反比例函数的解析式为．------5分
19．解：过点A作AD⊥BC于点D，∴∠ADC=90°．------1分
∵∠B=30°，∠ACD=60°，∴∠1=30°．------2分
∴∠1=∠B， ∴CA=CB=50．------3分
在Rt△ACD中，sin∠ACD=，------4分
∴，．
答: 热气球离地面的高度是米. ------5分
20．（1）证明：联结OD，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2．
∵OA=OD，∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴OD∥AC．------1分
∴∠C=∠ODB =90°， 即OD ⊥BC．------2分
又点D在⊙O上，∴BC为⊙O的切线．------3分
（2）解：∵∠C=90°，tanB=，∴．∵AC=6，∴BC=8．------4分
在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB=10． 设⊙O的半径为r，则OD=OA= r，OB=10-r .
∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC．------5分
∴，即，解得． 所以，⊙O的半径为．------6分
21．解：（1）设y=kx+b(k≠0)．∴ ------1分
解得 ------2分
∴y=．------3分
(2) ------4分
．------5分
∴当售价定为50元时，工艺厂每天获得的利润W最大，最大利润是9000元．------6分
22．解：（1）．------1分
（2）由（1）可知抛物线的解析式为.
∵OC=1, ∴yB=, ∴B（1，）．------2分
过点A作AD⊥x轴于点D， 又BC⊥x轴于点C，
∴∠ADO=∠BCO =90°． ∴∠1+∠2 =90°．
∵AO⊥OB，∴∠1+∠3 =90°．∴∠2=∠3．
∴△DAO∽△COB．∴． ------3分
设点A坐标为（），则OD=-x，AD=．
∴ , 解得x=-2, ∴yA=,
故点A的坐标为(-2, )．------4分
（3）定点坐标是（0，）．------5分
23．解：（1）∵抛物线与直线交于点A、B两点，∴，．∴，．
∴A（-1，-2），B（1，0）．------2分
∴ 解得
∴抛物线的解析式为．------4分
（2）点A（-1，-2），点C（0，），∴AC∥x轴，AC=1．------5分
过点B作AC的垂线，垂足为点D，则BD=2．
∴S△ABC=．------ 6分
（3） 24．解：（1） EF=EG ; ------1分 (2) ; ------2分 证明：过点E作EM⊥CD于点M，作EN⊥AB于点N， ------3分 ∴∠ENA=∠CME=∠EMF=90． ∵CD⊥AB于点D ，∴∠CDA=90°． ∴EM∥AD．∠A=∠CEM． ∴△EMC ∽△ANE. ∴. ------4分 ∵EM∥AD，∴∠NEM=90．即∠2＋∠3=90°． ∵ EG⊥BE ，∴∠3＋∠2=90，∴∠1＝∠2． ∴△EFM ∽△EGN． ∴. ------5分 ∵∠ACB=90，AC=BC ，∴∠A=45， ∴tan∠A==1, ∴AN=EN. ∴, ∵, ∴． ------6分 (3) . ------7分 25．解：(1) ∵，------1分 ∴抛物线C1的顶点坐标是（1,1）， ∴平移后的抛物线C2顶点P（3，2）．------2分 ∴． （或者）------3分 (2) 存在点N（x,y）满足条件．------ 4分 ∵以点O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴，∴． 当点N在C1上时，，即，解得； ∴N1（）, N2（）; 当点N在C2上时，，即，解得； ∴N3（）, N4（）． ∴满足条件的点N有4个，分别是N1（）、N2（）、N3（）、N4（）． ------ 8分 (说明: 每求出一个点N的坐标得1分)