2016～2017学年度第一学期期中考试
九年级数学试题
考试范围：苏科版九年级数学教材上册第一章《一元二次方程》、下册第五章《二次函数》；考试时间：120分钟；考试分值：130分；考试题型：选择题、填空题、解答题。
一、精心选一选：
（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在相应的表格内）
在下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．方程（x-2）(x+3)=0的解是（ ）
A．x=2 B．x=-3 C．x1=-2,x2=3 D．x1=2,x2=-3
用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0,则方程可变形为（ ）
A．（x-4）2=9 B．（x+4）2=9 C．（x-8）2=16 D．（x+8）2=57
4．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（ ）
A． 有两个不相等的实数根 B． 有两个相等的实数根
C． 只有一个实数根 D． 没有实数根
5．抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
6.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论：
①c＝2；②b2－＞0；③＋b＝0； ④a＋b＋c＜0．其中正确的为（ ）．
A．①②③ B．①②④ C．①② D．③④
7．抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．若二次函数y=（x﹣k）2+m，当x≤2时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是( )
A．k=2 B．k＞C．k≥2 D．k≤2
9. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数有最小值； B．对称轴是直线x=；
C．当x＜，y随x的增大而减小 ；
D．当﹣1＜x＜2时，y＞0。
10. （2016·湖北荆门）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（ ）
A．7 ； B．10； C．11 ； D．10或11。
二、细心填一填：
（共有8小题，每小题3分，共计24分．请把答案填写在下面相应横线上）
11．将一元二次方程4x(x-1)=1化成一般形式为 .
12．将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为 ．
13.二次函数y=x2﹣2x﹣3与x轴两交点之间的距离为 ．
14. 已知关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 ．
15. 已知实数m是关于x的方程x2﹣3x﹣1=0的一根，则代数式﹣+2值为________．
16．一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至48.6元，平均每次降价的百分比是 ．
17. 已知m、n是方程x2+2x-5=0的两个实数根，则m2-mn+3m+n=____________.
18．（2016·山东菏泽）如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m= ．
答 卷
一、选择题：
二、填空题：
11． ；12． ；13． ；14． ；
15． ；16． ；17． ；18． ．
三、用心做一做（本大题共有10小题，共76分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本题6分）计算：
（1）； （2）．
20．（本题8分） 解方程：
（1）x2-5x-6=0； （2）．
21. （本题6分）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣x+a2﹣﹣3=0有一根是1．
（1）求a的值；（2）求方程的另一根．
22. （本题6分）为建设美丽家园，某企业逐年增加对环境保护的经费投入，2012年投入了400万元，预计到2014年将投入576万元.
（1）求2012年至2014年该单位环保经费投入的年平均增长率；
（2）该单位预计2015年投入环保经费不低于680万元，若继续保持前两年的年平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由.
23. （8分）如图，二次函数的图象与x轴相交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴相交于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）求D点坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）根据图象直接写出使一次函数值小于二次函数值的x的取值范围．
24. （本题8分）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的边AB的长为x(m),面积为y(m2)。
（1）若y与x之间的函数关系式；
（2）若要围成面积为的花圃，AB的长是多少米？
（3）能围成面积比更大的花圃吗？若能，请求出最大面积，并说明围法；若不能，请说明理由。
25．（ 8分）（2016·辽宁丹东）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实？
（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？
26.（本题8分）如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP面积为6时，求出点P的坐标；
27. （8分）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为且过顶点C（0，5）（长度单位：m）
（1）直接写出c的值；
（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1．的地毯，地毯的价格为20元／m2，求购买地毯需多少元?
（3）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG．已知矩形EFGH的周长为27．，求点G的坐标．
28．（本题10分）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（2，0），它的顶点坐标为D（4，﹣2），并与x轴交于另一点B，交y轴于点C．
（1）求抛物线和直线BC的函数表达式；
（2）如图①，点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E．是否存在一点P，使线段PE的长最大？若存在，求出PE的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，过点A作y轴的平行线，交直线BC于点F，连接DA、DB．四边形OAFC沿射线CB方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点B重合时立即停止运动，设运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积为S，请求出S与t的函数关系式．
参考答案
一、精心选一选：
（本大题共有8小题，每小题3分，共计24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在相应的表格内）
二、细心填一填：
（共有10小题，每小题3分，共计30分．请把答案填写在下面相应横线上）
11．4x2-4x-1=0； 12．y=（x+2）2﹣3； 13． 4 ；14． 1 ；15． 4 ；16．10%； 17．8； 18．解：∵y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），∴配方可得y=﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），
∴顶点坐标为（1，1），∴A1坐标为（2，0）
∵C2由C1旋转得到，∴OA1=A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）；
照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；
C4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）；
C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；
C6顶点坐标为（11，﹣1），A6（12，0）；∴m=﹣1．
三、用心做一做（本大题共有10小题，共76分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19、计算（每小题3分，计6分）
解：（1）原式= = ‥‥3分
（2）原式=1+6-2+4 = 9 ‥‥6分
20. 解方程：（每小题4分，计8分）
解：（1）x1=6，x2= -1. ‥‥4分
（2）x1=1， ‥‥8分
21.解答：（1）a=3 （3分）
（2）x=-0.75 （6分）
22.解：（1）设2012年至2014年该单位投入环保经费的年平均增长率为 ………1分
根据题意，得 ……………………………………………………2分
解得（不合题意，舍去） ………………………………………3分
答：2012年至2014年该单位投入环保经费的年平均增长率为20%. ……………4分
（2）∵ ……………………………………5分
∴该目标能实现. …………………………………………………………………6分
23.解：（1）∵抛物线的对称轴是x=﹣1，而C、D关于直线x=﹣1对称，
∴D（﹣2，3）； （2分）
（2）设该抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），
把C（0，3）代入，得：3=a（0+3）（0﹣1），解得 a=﹣1，所以该抛物线的解析式为
y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3，即y=﹣x2﹣2x+3；（6分）
（3）根据图象知，一次函数值小于二次函数值的x的取值范围是：﹣2＜x＜1． （8分）
24. 解答：（1）y=－3x2+24x （3分） （2）5（ 5分） （3）可以 （8分）
25. 解：（1）设函数的表达式为y=kx+b，该一次函数过点（12，74），（28，66），
得，解得，∴该函数的表达式为y=﹣0.5x+80，
（2）根据题意，得，（﹣0.5x+80）（80+x）=6750，解得，x1=10，x2=70
∵投入成本最低．∴x2=70不满足题意，舍去．
∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克．
（3）根据题意，得：w=（﹣0.5x+80）（80+x）=﹣0.5 x2+40 x+6400=﹣0.5（x﹣40）2+7200
∵a=﹣0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值
∴当x=40时，w最大值为7200千克．
∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克．
26. 解：（1）把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx中，
得 解得：，∴抛物线表达式为：y=﹣x2+4x；
（2）点C的坐标为（3，3），又∵点B的坐标为（1，3），∴BC=2，
∴S△ABC=×2×3=3；
（3）过P点作PD⊥BH交BH于点D，设点P（m，﹣m2+4m），
根据题意，得：BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，
∴S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD﹣S△BPD，
6=×3×3+（3+m﹣1）（m2﹣4m）﹣（m﹣1）（3+m2﹣4m），
∴3m2﹣15m=0，m1=0（舍去），m2=5，∴点P坐标为（5，﹣5）．
27.解答：解：（1）c=5． （2分）
（2）由（1）知，OC=5，令，即，解得．
∴地毯的总长度为：，∴（元）．
答：购买地毯需要900元． （5分）
（3）可设G的坐标为,其中，
则．由已知得：，
即，解得：（不合题意，舍去）．
把代入 ．∴点G的坐标是（5，3.75）．（8分）
28.解答： 解：（1）如图1，∵顶点坐标为D（4，﹣2），∴对称轴x=4，
∵A（2，0），∴B（6，0），
根据题意，设抛物线的解析式y=a（x﹣4）2﹣2，
把点A（2，0）代入得，0=a（2﹣4）2﹣2，解得a=，
∴抛物线的解析式为y=（x﹣4）2﹣2=x2﹣4x+6． （2分）
∴C（0，6），设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴，解得，∴直线BC的解析式为y=﹣x+6；（3分）
（2）存在点P，使PE的长最长，设P（x，x2﹣4x+6），则E（x，﹣x+6），
PE的长=（﹣x+6）﹣（x2﹣4x+6）=﹣x2+3x=﹣（x﹣3）2+，
因为﹣＜0，所以线段PE的长有最大值，
所以，当x=3时，线段PE的长的最大值为；（6分）
（3）∵A（2，0），D（4，﹣2），∴直线AD的解析式为y=﹣x+2，
∵直线BC的解析式为y=﹣x+6，∴AD∥BC，
∵A（2，0），B（6，0），C（0，6），
∴BC=6，F（2，4），△OBC是等腰直角三角形，∴CF=2，∠ABC=45°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，∴∠ADB=90°，∴∠DBC=90°，
∵AB=6﹣2=4，∴A到直线BC的距离为2，所以，当0＜t时，S=2t；
当2≤t≤4时，如图2，S=（6+4）×2﹣×2×2﹣（t﹣2）2=﹣t2+2t+4；
当4＜t＜6时，如图3，S=（6﹣t）2=t2﹣6t+36． （10分）
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