2017年秋九年级上数学期末复习卷
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共9小题）
1．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥3
2．若，则=（ ）
A． B． C． D．
3．对“某市明天下雨的概率是75%”这句话，理解正确的是（ ）
A．某市明天将有75%的时间下雨
B．某市明天将有75%的地区下雨
C．某市明天一定下雨
D．某市明天下雨的可能性较大
4．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=36°，则∠A=（ ）
A．44° B．34° C．54° D．64°
5．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（ ）
A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9
6．下列二次根式，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．﹣
7．用配方法解方程x2+2x﹣5=0时，原方程应变形为（ ）
A．（x﹣1）2=6 B．（x+1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9
8．若x=1是方程ax2+bx﹣2=0的一个根，则a+b的值是（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1
9．如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC=（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．2：3
第Ⅱ卷（非选择题）
二．解答题（共9小题）
10．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．
11．在一个不透明的布袋里，装有红色和黑色小球（出去颜色外其余都相同）各2个，甲同学从中任意摸出一个球．
（1）甲同学摸出红球的概率为 ；
（2）甲乙两人约定如下：甲同学先随机摸出一个小球（不放回），乙同学在随机摸出一个小球，若颜色相同，则甲获胜；若颜色不同，则乙获胜．请你通过列表或画树状图的方法，说明这个游戏是否公平．
12．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．
（1）求证：△ABF∽△DFE；
（2）如果AB=12，BC=15，求tan∠FBE的值．
13．如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿CA以3cm/s的速度向A点运动．设运动时间为x（s）．
（1）当x为何值时，PQ∥BC；
（2）当△APQ与△CQB相似时，AP的长为 ；
（3）当S△BCQ：S△ABC=1：3，求S△APQ：S△ABQ的值．
14．如图，在锐角三角形ABC中，边BC=120cm，高AD=80cm，矩形EFGH的顶点E、H分别在AB、AC上，F、G在BC上，AD与EH交于点N．
（1）试说明：△AEH∽△ABC；
（2）若矩形EFGH是正方形，求EH的长；
（3）当EH为何值时，矩形EFGH的面积最大？最大值是多少？
15．如图，河岸边有座塔AB，小敏在河对岸C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进20米到达D处，又测得塔顶A的仰角为45°，请根据上述数据计算水塔的高．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=3，
求AB的长及∠A的度数．
17．如图，AC是△ABD的高，∠D=45°，∠B=60°，AD=10．求AB的长．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点为A（8，0）、C（0，4），点B在第一象限．现有两动点P和Q，点P从原点O出发沿线段OA（不包括端点O，A）以每秒2个单位长度的速度匀速向点A运动，点Q从点A出发沿线段AB（不包括端点A，B）以每秒1个单位长度的速度匀速向点B运动．点P、Q同时出发，当点P运动到点A时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）直接写出点B的坐标，并指出t的取值范围；
（2）连结CQ并延长交x轴于点D，把CD沿CB翻折交AB延长线于点E，连结DE．
①△CDE的面积S是否随着t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值；
②当t为何值时，PQ∥CE？
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥3
【考点】72：二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【分析】二次根式有意义时，被开方数是非负数．
【解答】解：依题意得：x﹣3≥0，
解得x≥3．
故选：D．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．若，则=（ ）
A． B． C． D．
【考点】S1：比例的性质．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题．
【分析】设a=2k，进而用k表示出b的值，代入求解即可．
【解答】解：设a=2k，则b=9k．
==，
故选A．
【点评】考查比例性质的计算；得到用k表示的a，b的值是解决本题的突破点．
3．对“某市明天下雨的概率是75%”这句话，理解正确的是（ ）
A．某市明天将有75%的时间下雨
B．某市明天将有75%的地区下雨
C．某市明天一定下雨
D．某市明天下雨的可能性较大
【考点】X3：概率的意义．菁优网版权所有
【分析】根据概率的意义进行解答即可．
【解答】解：“某市明天下雨的概率是75%”说明某市明天下雨的可能性较大，
故选：D．
【点评】本题考查的是概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．
4．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=36°，则∠A=（ ）
A．44° B．34° C．54° D．64°
【考点】KN：直角三角形的性质；K7：三角形内角和定理．菁优网版权所有
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠A的度数．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=36°，
∴∠A=90°﹣∠B=90°﹣36°=54°，
故选C．
【点评】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
5．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（ ）
A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9
【考点】S7：相似三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】直接利用相似三角形对应高的比等于相似比进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：2，
∴对应高的比为：3：2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确记忆相关性质是解题关键．
6．下列二次根式，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．﹣
【考点】77：同类二次根式．菁优网版权所有
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A、=，能与合并；
B、=2，能与合并；
C、=2，不能与合并；
D、﹣=﹣3，能与合并，
故选：C．
【点评】本题考查的是同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
7．用配方法解方程x2+2x﹣5=0时，原方程应变形为（ ）
A．（x﹣1）2=6 B．（x+1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9
【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题．
【分析】利用配方法解出方程即可．
【解答】解：x2+2x﹣5=0
x2+2x=5
x2+2x+1=5+1
（x+1）2=6，
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
8．若x=1是方程ax2+bx﹣2=0的一个根，则a+b的值是（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1
【考点】A3：一元二次方程的解．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=1代入方程即可得到a+b的值．
【解答】解：把x=1代入ax2+bx﹣2=0得a+b﹣2=0，
所以a+b=2．
故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9．如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC=（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．2：3
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】由在△ABC中，AD，BE是两条中线，可得DE是△ABC的中位线，即可得DE∥AB，DE=AB，继而证得△EDC∽△ABC，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得答案．
【解答】解：∵在△ABC中，AD，BE是两条中线，
∴DE∥AB，DE=AB，
∴△EDC∽△ABC，
∴S△EDC：S△ABC=（）2=1：4．
故选B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
二．解答题（共9小题）
10．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．
【考点】SD：作图﹣位似变换；Q4：作图﹣平移变换；T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，
由图形可知，∠A2C2B2=∠ACB，
过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，
由A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），易得D（4，2），
故AD=2，CD=6，AC==2，
∴sin∠ACB===，
即sin∠A2C2B2=．
【点评】此题主要考查了平移变换以及位似变换、锐角三角三角函数关系等知识，正确得出对应点位置是解题关键．
11．在一个不透明的布袋里，装有红色和黑色小球（出去颜色外其余都相同）各2个，甲同学从中任意摸出一个球．
（1）甲同学摸出红球的概率为 ；
（2）甲乙两人约定如下：甲同学先随机摸出一个小球（不放回），乙同学在随机摸出一个小球，若颜色相同，则甲获胜；若颜色不同，则乙获胜．请你通过列表或画树状图的方法，说明这个游戏是否公平．
【考点】X7：游戏公平性；X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】12 ：应用题．
【分析】（1）利用概率公式求解；
（2）先画数状图展示所有12种等可能的结果数，再找出颜色相同的结果数和颜色不同的结果数，然后根据概率公式计算出甲获胜和乙获胜的概率，再利用概率的大小来判断游戏是否公平．
【解答】解：（1）甲同学摸出红球的概率==，
故答案为；
（2）画树状图为：，
共有12种等可能的结果数，其中颜色相同的有4种情况，颜色不同的有8种情况，
所以P（甲获胜）==，P（乙获胜）==，
因为P（甲获胜）＜P（乙获胜），
所以这个游戏不公平．
【点评】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了列表法与树状图法．
12．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．
（1）求证：△ABF∽△DFE；
（2）如果AB=12，BC=15，求tan∠FBE的值．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LB：矩形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）；T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【分析】（1）由矩形的性质推知∠A=∠D=∠C=90°．然后根据折叠的性质，等角的余角相等推知∠ABF=∠DFE，易证得△ABE∽△DFE；
（2）由勾股定理求得AF=9，得出DF=6，由△ABF∽△DFE，求得EF=7.5，由三角函数定义即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形．
∴∠A=∠D=∠C=90°，AD=BC，
∵△BCE沿BE 折叠为△BFE．
∴∠BFE=∠C=90°，
∴∠AFB+∠DFE=180°﹣∠BFE=90°，
又∠AFB十∠ABF=90°，
∴∠ASF=∠DFE，
∴△ABF∽△DFE．
（2）解：由折叠的性质得：BF=BC=15，
在Rt△ABF中，由勾股定理求得AF===9，
∴DF=AD﹣AF=6，
∵△ABF∽△DFE，
∴，
即，
解得：EF=7.5，
∴tan∠FBE==．
【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
13．如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿CA以3cm/s的速度向A点运动．设运动时间为x（s）．
（1）当x为何值时，PQ∥BC；
（2）当△APQ与△CQB相似时，AP的长为 cm或20cm ；
（3）当S△BCQ：S△ABC=1：3，求S△APQ：S△ABQ的值．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】25 ：动点型．
【分析】（1）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．
（2）本题要分两种情况进行讨论．已知了∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值；
（3）根据等高面积比等于底的比，即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意得，PQ平行于BC，则AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30﹣3x
∴=
∴x=；
（2）假设两三角形可以相似，
情况1：当△APQ∽△CQB时，CQ：AP=BC：AQ，
即有=解得x=，
经检验，x=是原分式方程的解．
此时AP=cm，
情况2：当△APQ∽△CBQ时，CQ：AQ=BC：AP，
即有=解得x=5，
经检验，x=5是原分式方程的解．
此时AP=20cm．
综上所述，AP=cm或AP=20cm；
故答案为：cm或20cm；
（3）当S△BCQ：S△ABC=1：3时，=，
∴，
∴CQ：AC=1：3，AC=30，∴CQ=10=3x，x=，∴AP=4x=，
∴AP：AB=：20=2：3．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得出线段比或面积比是解题的关键．
14．如图，在锐角三角形ABC中，边BC=120cm，高AD=80cm，矩形EFGH的顶点E、H分别在AB、AC上，F、G在BC上，AD与EH交于点N．
（1）试说明：△AEH∽△ABC；
（2）若矩形EFGH是正方形，求EH的长；
（3）当EH为何值时，矩形EFGH的面积最大？最大值是多少？
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；H7：二次函数的最值；LB：矩形的性质；LE：正方形的性质．菁优网版权所有
【分析】（1）根据EF∥FG，可得△AEH∽△ABC；
（2）根据相似三角形的性质：相似三角形的对应高之比等于相似比，列式计算可得答案；
（3）根据矩形的面积计算公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得矩形EFGH的面积最大值．
【解答】解：（1）在矩形EFGH中，EF∥FG，
∴△AEH∽△ABC；
（2）设EH=xcm，
由△AEH∽△ABC得=，
即=，
∴EF=80﹣x，
∵矩形EFGH是正方形，
∴EF=EH，
∴x=80﹣x，
解得x=48，
即EH=48cm．
（3）S矩形EFGH=EF•EH=x（80﹣x）=﹣（x﹣60）2+2400，
即当EH=60cm时，矩形EFGH的面积的最大值是2400cm2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值以及矩形、正方形的性质的运用，解题时注意：相似三角形的对应高之比等于相似比．
15．如图，河岸边有座塔AB，小敏在河对岸C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进20米到达D处，又测得塔顶A的仰角为45°，请根据上述数据计算水塔的高．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【分析】设水塔的高AB为x米，根据直角三角形的性质、正确的定义分别求出BD、BC，根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：设水塔的高AB为x米，
∵∠ABD=45°，
∴BD=AB=x，
∴BC=20+x，
∵∠ACB=30°，
∴BC==x，
∴x=x+20，
解得，x=10+10，
答：水塔的高AB为（10+10）米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用、掌握仰角俯角的概念、锐角三角函数的定义是解题的关键．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=3，求AB的长及∠A的度数．
【考点】T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【分析】在Rt△ACB中，根据tanB=求出∠B，根据AB=求出AB即可．
【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3，AC=3，tanB===，
∴∠B=60°，则∠A=30°，
∴AB===6．
【点评】本题考查了解直角三角形和特殊角的三角函数的应用，能灵活运用锐角三角形函数的定义进行计算是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，则sinA=，cosA=，tanA=．
17．如图，AC是△ABD的高，∠D=45°，∠B=60°，AD=10．求AB的长．
【考点】T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题．
【分析】在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义表示出sinD，把AD的长及sin45°的值代入求出AC的长，在直角三角形ABC中，再利用锐角三角函数定义表示出sinB，把AC与sin60°代入计算即可求出AB的长．
【解答】解：在Rt△ACD中，AC=ADsinD=10sin45°=5，
在Rt△ABC中，AB===．
【点评】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点为A（8，0）、C（0，4），点B在第一象限．现有两动点P和Q，点P从原点O出发沿线段OA（不包括端点O，A）以每秒2个单位长度的速度匀速向点A运动，点Q从点A出发沿线段AB（不包括端点A，B）以每秒1个单位长度的速度匀速向点B运动．点P、Q同时出发，当点P运动到点A时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）直接写出点B的坐标，并指出t的取值范围；
（2）连结CQ并延长交x轴于点D，把CD沿CB翻折交AB延长线于点E，连结DE．
①△CDE的面积S是否随着t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值；
②当t为何值时，PQ∥CE？
【考点】LO：四边形综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）利用矩形的性质，求出BC、AB的长即可解决问题．
（2）①表示出AQ、BQ，再根据矩形的对边平行可得BC∥x轴，再利用△CBQ和△DAQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式表示出AD，根据翻折的性质可得CE=CQ，再根据等腰三角形三线合一的性质可得QE=2BQ，然后根据S△ECD=S△CEQ+S△EQD列式计算即可得解；
②根据翻折的性质CE=CQ，根据等边对等角可得∠CEQ=∠CQE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠CEQ=∠PQA，从而得到∠CQE=∠CQB，然后利用两组角对应相等两三角形相似求出△CBQ和△APQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【解答】解：（1）∵A（8，0），C（0，4），四边形OABC是矩形，
∴AB=OC=4，BC=OA=8，
∴B（8，4），0＜t＜4；
（2）①△CDE的面积不变，理由如下：
∵四边形OABC是矩形，
∴OA∥BC，
∴△QAD∽△QBC，
∴，
即，
∴，
由翻折变换的性质可知：EQ=2BQ=2（4﹣t），
∴；
②要使PQ∥CE，必须有∠PQA=∠CEB，则有△APQ∽△BCE，
∴，
即AP•BE=AQ•BC
∴（8﹣2t）（4﹣t）=8t，
化简得t2﹣12t+16=0，
解得．
由（1）可知：0＜t＜4，
故只取，
∴当时，PQ∥CE．
【点评】本题是相似形综合题型，主要利用了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，翻折变换的性质，三角形的面积，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，（3）判断出两个三角形相似是解题的关键．
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