12.请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式（答案不唯一） ．
①过点；
②当时，y随x的增大而减小；
③当自变量的值为2时，函数值小于2．
13．二次函数的图象关于原点O（0, 0）对称的图象的解析式是。
如图所示,已知F是以O为圆心,BC为直径的半圆上任一点,A是BF的中点,AD⊥BC于点D.求证:AD=BF.
证明：连接OA，交BF于点E，
∵A是弧BF的中点，O为圆心，
∴OA⊥BF，
∴BE=
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADO=∠BEO=90°，
在△OAD与△OBE中，
∠ADO=∠BEO=90°
∠AOD=∠BOE
BO=AO
∴△OAD≌△OBE（AAS）， ∴AD=BE， ∴AD=
如图,⊙O的直径AB的两侧有定点C和动点P.已知BC=4,CA=3,点P在AB上运动,过点C作CP的垂线,与PB的延长线交于点Q.
(1)当点P运动到与点C关于AB对称时 ,求C Q的长.
(2)当点P运动到弧AB的中点时,求C Q的长.
(3)当点P运动到什么位置时,CQ取到最大值,并求此时CQ的长.
解：（1）当点P与点C关于AB对称时，CP⊥AB，设垂足为D， ∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC=4，AC=3，
∵AC•BC=AB•CD，
∴CD=
∴PC=．
在Rt△ACB和Rt△PCQ中，
∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ，
∴△ACB∽△PCQ，
∴
∴CQ=
PC=
（2）当点P运动到的中点时，过点B作BE⊥PC于点E．
∵点P是的中点，
∴∠PCB=45°，
BE=CE=
在Rt△EPB中，tan∠EPB=
∴PE=
∴PC=PE+CE=．
∴CQ=
（3）点P在上运动时，恒有CQ=
所以PC最大时，CQ取到最大值，
当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ最大值为
23.如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，
可得c=0，∴，
解得a=，b=，
∴抛物线解析式为y=x2+x．
（2）设点P的横坐标为t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN=
∴P（t，），∵点M在抛物线上，∴M（t，t2+t）．
如解答图1，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，
AG=yA﹣yM=2﹣（t2+t）=t2﹣t+2，BH=PN=．
当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，
∴t2﹣t+2=，
化简得3t2﹣8t+4=0，解得t1=2（不合题意，舍去），t2=，
∴点P的坐标为（，）
∴存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形．
（3）如解答图2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R．
求得过A、C的直线为yAC=﹣x+3，可设点A′的横坐标为a，则点A′（a，﹣a+3），
易知△OQT∽△OCD，可得QT=，
∴点Q的坐标为（a，）．
解法一：
设AB与OC相交于点J，
∵△ARQ∽△AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴=
∴HT===2﹣a，
KT=A′T=（3﹣a），A′Q=yA′﹣yQ=（﹣a+3）﹣=3﹣a．
S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=KT•A′T﹣A′Q•HT
=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）
=a2+a﹣=（a﹣）2+
由于＜0，
∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．
解法二：
过点R作RH⊥x轴于H，则由△ORH∽△OCD，得 ①
由△RKH∽△A′O′B′，得 ②
由①，②得KH=OH，
OK=OH，KT=OT﹣OK=a﹣OH ③
由△A′KT∽△A′O′B′，得，
则KT= ④
由③，④得=a﹣OH，即OH=﹣2，RH=a﹣1，所以点R的坐标为R（﹣2，a﹣1）
S四边形RKTQ=S△QOT﹣S△ROK=•OT•QT﹣•OK•RH
=a•a﹣（1+a﹣）•（a﹣1）
=a2+a﹣=（a﹣）2+
由于＜0，
∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．
解法三：
∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，
∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=（﹣a+3）•=a+，
∴OK=OT﹣KT=a﹣（a+）=a﹣，
过点R作RH⊥x轴于H，∵tan∠OAB=tan∠RKH==2，∴RH=2KH
又∵tan∠OAB=tan∠ROH===，
∴2RH=OK+KH=a﹣+RH，∴RH=a﹣1，OH=2（a﹣1），
∴点R坐标R（﹣2，a﹣1）
S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=•KT•A′T﹣A′Q•（xQ﹣xR）
=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）
=a2+a﹣=（a﹣）2+
由于＜0，
∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．