江苏省扬州市宝应县曹甸中学2014-2015学年第一学期期中模拟
九年级数学试卷
一、选择题24分
1．下列方程中有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
考点：根的判别式．.
分析：根据题意对各选项进行逐一分析即可．
解答：解：A、∵△=12﹣8=﹣7＜0，∴此方程无实数根，故本选项错误；
B、∵△=（﹣1）2﹣8=﹣7＜0，∴此方程无实数根，故本选项错误；
C、∵△=（﹣1）2+4=5＞0，∴此方程有实数根，故本选项正确；
D、∵△=（﹣1）2﹣12=﹣11＜0，∴此方程无实数根，故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的根与△的关系是解答此题的关键．
2.若是方程的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A． B． C． D．
考点：根与系数的关系．.
分析：由一元二次方程根与系数的关系：得到3+另一个根=5，由此得出答案即可．
解答：解：由根与系数的关系，设另一个根为x，
则3+x=5，
即x=2．
故选：B．
3、如图1，从圆外一点引圆的两条切线，切点分别为．如果，，那么弦的长是 （ ）
A．4 B． C． D．
考点：切线长定理；等边三角形的判定与性质．.
专题：压轴题．
分析：根据切线长定理知PA=PB，而∠P=60°，所以△PAB是等边三角形，由此求得弦AB的长．
解答：解：∵PA、PB都是⊙O的切线，
∴PA=PB，
又∵∠P=60°，
∴△PAB是等边三角形，即AB=PA=8，
故选B．
点评：此题主要考查的是切线长定理以及等边三角形的判定．
4．如图，□ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC＝70°，连接AE，则∠AEB的度数为 （ ）
A．20° B．24° C．25° D．26°
考点：圆周角定理；平行四边形的性质．.
专题：计算题．
分析：根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠ADC=70°，再根据圆周角定理的推论由BE为⊙O的直径得到∠BAE=90°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠AEB的度数．
解答：解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=70°，
∵BE为⊙O的直径，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEB=90°﹣∠ABC=20°．
故选A．
点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了平行四边形的性质．
5.甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均环数及方差如下表所示：
若要选出一个成绩较好且状态稳定的运动员去参赛，那么应选运动员（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
考点：方差；算术平均数．.
专题：分类讨论．
分析：先比较平均数，乙丙的平均成绩好且相等，再比较方差即可解答．
解答：解：由图可知，乙、丙的平均成绩好，
由于S2乙＜S2丙，故丙的方差大，波动大．
故选B．
点评：本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
6．如图，圆锥的底面半径OB＝，高OC＝，则这个圆锥的侧面积是
A．30 B．30π C．60π D．48π
考点：圆锥的计算；勾股定理．.
分析：首先根据底面半径OB=6cm，高OC=8cm，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求出即可．
解答：解：∵它的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．
∴BC==10（cm），
∴这个圆锥漏斗的侧面积是：πrl=π×6×10=60π（cm2）．
故选：C．
点评：此题主要考查了圆锥的侧面积公式求法，正确的记忆圆锥侧面积公式是解决问题的关键．
7.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为
A． B． C．3 D．5
考点：切线的性质．.
专题：压轴题．
分析：因为PQ为切线，所以△OPQ是Rt△．又OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最小．根据垂线段最短，知OP=3时PQ最小．根据勾股定理得出结论即可．
解答：
解：∵PQ切⊙O于点Q，
∴∠OQP=90°，
∴PQ2=OP2﹣OQ2，
而OQ=2，
∴PQ2=OP2﹣4，即PQ=，
当OP最小时，PQ最小，
∵点O到直线l的距离为3，
∴OP的最小值为3，
∴PQ的最小值为=．
故选B．
点评：此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PQ最小时点P的位置是解题的关键，难度中等偏上．
8．如图，在扇形纸片AOB中，OA =10，AOB=36，OB在直线l上．将此扇形沿l按顺时针方向旋转(旋转过程中无滑动)，当OA落在l上时，停止旋转．则点O所经过的路线长为（ ）
A． B． C． D．
考点：弧长的计算；三角形的面积；旋转的性质．.
专题：计算题；压轴题．
分析：点O所经过的路线是2段弧和一条线段，一段是以点B为圆心，10为半径，圆心角为90°的弧，另一段是一条线段，和弧AB一样长的线段，最后一段是以点A为圆心，10为半径，圆心角为90°的弧，从而得出答案．
解答：解：点O所经过的路线长=++
==12π．
故选A．
二、填空题30分
9．如果一组数据 －2，0，3，5，x的极差是9，那么x的值是 ．
考点：极差．.
分析：根据极差的定义，分两种情况：x为最大值或最小值时分别列式计算即可．
解答：解：∵数据﹣2，0，3，5，x的极差是9，
∴当x为最大值时，x﹣（﹣2）=9，解得x=7，
当x是最小值时，5﹣x=9，解得：x=﹣4；
故答案为：﹣4或7．
点评：此题主要考查了极差的定义，正确理解极差的定义，列出算式是本题的关键，注意应该分两种情况讨论．
10． 关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋－1＝0的一个根是0，则实数a的值是 .
考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义．.
分析：已知了一元二次方程的一个实数根，可将其代入该方程中，即可求出a的值．
解答：解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1=0的一个根是0，
∴|a|﹣1=0，
即a=±1，
∵a﹣1≠0
∴a=﹣1，
故答案为：﹣1．
点评：此题主要考查了方程解的定义，所谓方程的解，即能够使方程左右两边相等的未知数的值．
11.方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 。
考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．.
专题：计算题；分类讨论．
分析：求出方程的解，分为两种情况：①当等腰三角形的三边是3，3，6时，②当等腰三角形的三边是3，6，6时，看看是否符合三角形的三边关系定理，若符合求出即可．
解答：解：x2﹣9x+18=0，
∴（x﹣3）（x﹣6）=0，
∴x﹣3=0，x﹣6=0，
∴x1=3，x2=6，
当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3=6，不符合三角形的三边关系定理，
∴此时不能组成三角形，
当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=15，
故答案为：15．
点评：本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理，等腰三角形的性质的应用，关键是确定三角形的三边的长度，用的数学思想是分类讨论思想．
12．如右图，一圆与平面直角坐标系中的x轴切于点A(8，0)，与y轴交于点B(0，4)，C(0，16)，则该圆的直径为 ．
考点：坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理．.
分析：过圆心O′作y轴的垂线，垂足为D，连接O′A，由垂径定理可知，D为BC中点，BC=16﹣4=12，OD=6+4=10，由切线性质可知，O′A⊥x轴，四边形OAO′D为矩形，半径O′A=OD=10，故可求得圆的直径．
解答：解：过圆心O′作y轴的垂线，垂足为D，连接O′A，
∵O′D⊥BC，
∴D为BC中点，
∴BC=16﹣4=12，OD=6+4=10，
∵⊙O′与x轴相切，
∴O′A⊥x轴，
∴四边形OAO′D为矩形，
半径O′A=OD=10，
∴直径是20．
故本题答案为：20．
点评：求某一点的坐标可以过这一点向x轴，y轴作垂线，求这个矩形的长宽，根据点的象限确定点的坐标，由于圆与x轴相切，O′A恰好是半径．
13.如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点在小量角器上对应的度数为，那么在大量角器上对应的度数为__________（只需写出～的角度）。
考点：圆周角定理．.
专题：压轴题．
分析：依题意，设大量角器的左端点为A，小量角器的圆心为B．利用三角形的内角和定理求出∠PAB的度数．然后根据圆的知识可求出大量角器上对应不度数．
解答：解：设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则∠APB=90°，∠ABP=65°，因而∠PAB=90°﹣65°=25°，在大量角器中弧PB所对的圆心角是50°，因而P在大量角器上对应的度数为50°．
故答案为：50．
点评：本题主要考查了直径所对的圆周角是90度．能把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．
14.设a、b是方程x2+x-2014=0的两个不等的根，则a2++b的值为 ．
考点：根与系数的关系．.
分析：由方程的解的定义求得a2+a=2014，由根与系数的关系求得a+b=﹣1，然后将其代入所求的代数式进行解题．
解答：解：∵a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个不等的根，
∴a2+a=2014，a+b=﹣1，
∴a2+2a+b=a2+a+a+b=2014﹣1=2013．
故答案是：2013．
点评：本题考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系．把方程的解代入原方程，等式的两边相等．
15. 已知实数a、b满足等式，则a2+b2= .
考点：换元法解一元二次方程．.
分析：将a2+b2看作一个整体，然后用换元法解方程即可．
解答：解：设a2+b2=x，则有：
x（x﹣2）=8
x2﹣2x﹣8=0，
（x+2）（x﹣4）=0
解得x1=﹣2，x2=4；
∵a2+b2≥0，
故a2+b2=x2=4；
点评：本题的关键是把a2+b2看成一个整体来计算，即换元法思想．
16．一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为的圆盘，如图所示，AB与CD是平行的，且水平，BC与水平面的夹角为60°，其中AB=，CD=，BC=，则该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线的长度为 ．
考点：弧长的计算．.
专题：应用题；压轴题．
分析：A点滚动到D点其圆心所经过的路线在点B处少走了一段，在点C处又多求了一段弧长，所以A点滚动到D点其圆心所经过的路线=（60+40+40）﹣+=cm．
解答：解：A点滚动到D点其圆心所经过的路线=（60+40+40）﹣+
=cm．
点评：本题的关键是弄明白圆中心所走的路线是由哪几段组成的．
17．在矩形ABCD中，已知AB=，BC=，现有一根长为的木棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的图形的面积为 cm2．
考点：直角三角形斜边上的中线；扇形面积的计算；轨迹．.
分析：连接BP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BP=EF，然后判断出点P在运动过程中所围成的图形的面积为长方形的面积减去四个扇形的面积，列式计算即可得解．
解答：解：如图，∵P是EF的中点，
∴BP=EF=×2=1cm，
∵AB=2，
∴点P在运动过程中所围成的图形的面积为长方形的面积减去四个扇形的面积，：
又∵四个扇形的面积正好等于一个相同半径的圆的面积，
∴4×2﹣π•12=（8﹣π）cm2．
故答案为：（8﹣π）．
点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，扇形面积的计算，轨迹，判断出点的P运动的轨迹和所组成的图形的面积组成是解题的关键．
18、我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于.若我们规定一个新数“”,使其满足（即方程有一个根为）。并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有从而对于任意正整数,我们可以得到, 同理可得 , , .那么 的值为 。
考点：解一元二次方程-直接开平方法．.
专题：新定义．
分析：i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4•i=i，i6=i5•i=﹣1，从而可得4次一循环，一个循环内的和为0，计算即可．
解答：
解：由题意得，i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4•i=i，i6=i5•i=﹣1，
故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，
∵=503…2，
∴i+i2+i3+i4+…+i2013+i2014=i﹣1．
故答案是：i﹣1．
点评：本题考查了实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的和再计算，有一定难度．
三、解答题
19.解方程（每小题4分，共8分）
⑴; (配方法) ⑵
考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．.
专题：计算题．
分析：（1）方程两边加上1变形后，开方即可求出解；
（2）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．解答：
解：（1）配方得：x2﹣2x+1=2，
即（x﹣1）2=2，
开方得：x﹣1=±，
解得：x1=1+，x2=1﹣；
（2）分解因式得：（x+3）（x+3﹣2）=0，
可得x+3=0或x+1=0，
解得：x1=﹣3，x2=﹣1．
点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法与配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
20．（8分）某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．
甲、乙两人射箭成绩统计表
（1）求a和乙的方差S乙；
（2）请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
考点：方差；算术平均数．.
分析：（1）根据总成绩相同可以求得a的值，然后求得平均数，利用方差的公式进行计算即可；
（2）因平均数相同，故谁的方差小谁就更稳定，谁就会被选中．
解答：解：（1）∵乙=（7+5+7+a+7）=6，
∴a=4；
S2乙=[（7﹣6）2+（5﹣6）2+（7﹣6）2+（4﹣6）2+（7﹣6）2]=1.6；
（2）因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，
所以乙将被选中．
点评：本题考查了方差及算术平均数的知识，解决本题的关键是熟记方差的计算公式及意义．
21．（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，以A(5，1)为圆心，2个单位长度为半径的⊙A交x轴于点B、C．解答下列问题：
（1）将⊙A向左平移 个单位长度与y轴首次
相切，得到⊙A1．此时点A1的坐标为 ，
阴影部分的面积S＝ ；
（2）求BC的长．
考点：直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．.
分析：（1）根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，知点A′的坐标是（2，1），从而求得移动的距离；阴影部分的面积即为底3、高2的平行四边形的面积；
（2）连接AC，过点A作AD⊥BC于点D．根据垂径定理和勾股定理进行计算．
解答：解：（1）根据直线和圆相切的位置关系与数量之间的联系，得点A′的坐标是（2，1）；
则移动的距离是5﹣2=3；
根据平移变换的性质，则阴影部分的面积即为图中平行四边形的面积=2×3=6；
（2）如图，连接AC，过点A作AD⊥BC于点D，
则BC=2DC．由A（5，1）可得AD=1．
又∵半径AC=2，
∴在Rt△ADC中，
DC===，
∴BC=2．
故答案为3，（2，1），6．
点评：本题考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形性质，平移变换、垂径定理和勾股定理，难度适中．
22．（本题满分8）已知关于x的方程．
（1）若此方程有两个不相等的实数根，求a的范围；
（2）在（1）的条件下，当a取满足条件的最小整数，求此时方程的解．
考点：根的判别式；解一元二次方程-因式分解法．.
分析：（1）先根据方程有两个不相等的实数根可知△＞0，求出a的取值范围即可；
（2）根据（1）中a的取值范围得出a的最小整数解，代入原方程求出x的值即可．
解答：解：（1）∵关于x的方程x2+10x+24﹣a=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=100﹣4（24﹣a）＞0，解得a＞﹣1；
（2）∵a＞﹣1，
∴a的最小整数解为a=0，
∴此时方程为 x2+10x+24=0
解得：x1=﹣4，x2=﹣6．
点评：本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根是解答此题的关键．
23.（本题满分10分）
小林准备进行如下操作实验：把一根长为的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于，小林该怎么剪？
（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于．”他的说法对吗？请说明理由．
考点：一元二次方程的应用．.
专题：几何图形问题．
分析：（1）利用正方形的性质表示出边长进而得出等式求出即可；
（2）利用正方形的性质表示出边长进而得出等式，进而利用根的判别式求出即可．
解答：解：设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm，
由题意，得（）2+（）2=52；
解得：x1=16，x2=24，
当x=16时，较长的为40﹣16=24cm，当x=24时，较长的为40﹣24=16＜24（舍去）
∴较短的这段为16cm，较长的这段就为24cm；
（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm，
由题意得：（）2+（）2=44，
变形为：m2﹣40m+448=0，
∵△=﹣192＜0，∴原方程无解，
∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于44cm2．
点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，根据正方形的性质表示出正方形的边长是解题关键．
24．（本题共10分）如图⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，AD是⊙O的切线交BC的延长线于D，AB交OC于E。(1)求证：AD∥OC
(2)若AE=2 CE=2. 求⊙O的半径和线段BE的长。
考点：切线的性质．.
专题：证明题．
分析：（1）连结OA，根据切线的性质得到OA⊥AD，再根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ABC=90°，然后根据平行线的判定即可得到结论；
（2）设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R﹣2，AE=2，在Rt△OAE中根据勾股定理可计算出R=4；作OH⊥AB于H，根据垂径定理得AH=BH，再利用面积法计算出OH=，然后根据勾股定理计算出AH=，则HE=AE﹣AH=2﹣=，再利用BE=BH﹣HE进行计算．
解答：（1）证明：连结OA，如图，
∵AD是⊙O的切线，
∴OA⊥AD，
∵∠AOC=2∠ABC=2×45°=90°，
∴OA⊥OC，
∴AD∥OC；
（2）解：设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R﹣2，AE=2，
在Rt△OAE中，∵AO2+OE2=AE2，
∴R2+（R﹣2）2=（2）2，解得R=4，
作OH⊥AB于H，如图，OE=OC﹣CE=4﹣2=2，
则AH=BH，
∵OH•AE=•OE•OA，
∴OH===，
在Rt△AOH中，AH==，
∴HE=AE﹣AH=2﹣=
∴BH=，
∴BE=BH﹣HE=﹣=．
点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理．
25．（本题满分10分）
某市的特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中属于菌类的一种猴头菇远销国外，上市时，有一外商按市场价格10元/千克收购了猴头菇存入冷库中，据预测，猴头菇的市场价格每天每千克上涨0.5元，但冷库存放这批猴头菇时每天需要支出各种费用合计220元，而且这种猴头菇在冷库中最多能保存130天，同时，平均每天有的猴头菇损坏不能出售．
（1）若外商要将这批猴头菇存放x天后一次性出售，则x天后这批猴头菇的销售单价为 元，销售量是 千克（用含x的代数式表示）；
（2）如果这位外商想获得利润24000元，需将这批猴头菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额―收购成本―各种费用）
考点：一元二次方程的应用．.
专题：销售问题．
分析：（1）根据猴头菇的销售单价市场价格+0.5×存放天数和销售量=原购入量﹣6×存放天数列出代数式即可；
（2）利用总利润﹣各种费用﹣收购成本即可列出方程求解；
解答：解：（1）10+0.5x，2000﹣6x；
（2）由题意得：（10+0.5x）（2000﹣6x）﹣10×2000﹣220x=24000，
解得x1=40，x2=200（不合题意，舍去）
答：这位外商想获得利润24000元需将这批猴头菇存放40天后出售．
点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是分别表示出销售单价和销售量．
26．（本小题满分10分）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B。小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB。
（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；
（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AB=8㎝，BC=10㎝，求大圆与小圆围成的圆环的面积。（结果保留π）
考点：切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．.
专题：几何综合题；压轴题．
分析：（1）只要证明OE垂直BC即可得出BC是小圆的切线，即与小圆的关系是相切．
（2）利用全等三角形的判定得出Rt△OAD≌Rt△OEB，从而得出EB=AD，从而得到三者的关系是前两者的和等于第三者．
（3）根据大圆的面积减去小圆的面积即可得到圆环的面积．
解答：解：（1）BC所在直线与小圆相切．
理由如下：
过圆心O作OE⊥BC，垂足为E；
∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O，
∴OA⊥AC；
又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，
∴OE=OA，
∴BC所在直线是小圆的切线．
（2）AC+AD=BC．
理由如下：
连接OD．
∵AC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E，
∴CE=CA；
∵在Rt△OAD与Rt△OEB中，，
∴Rt△OAD≌Rt△OEB（HL），
∴EB=AD；
∵BC=CE+EB，
∴BC=AC+AD．
（3）∵∠BAC=90°，AB=8cm，BC=10cm，
∴AC=6cm；
∵BC=AC+AD，
∴AD=BC﹣AC=4cm，
∵圆环的面积为：S=π（OD）2﹣π（OA）2=π（OD2﹣OA2），
又∵OD2﹣OA2=AD2，
∴S=42π=16π（cm2）．
点评：此题考查了学生对切线的性质与判定，全等三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用能力．
27. （本题满分12分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具.
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x > 40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：
（2）在（1）条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元？
考点：一元二次方程的应用．.
专题：销售问题．
分析：（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得y=600﹣（x﹣40）×10=1000﹣10x，利润=（1000﹣10x）（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣30000；
（2）令﹣10x2+1300x﹣30000=10000，求出x的值即可；
解答：解：（1）
（2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000，
解之得：x1=50 x2=80，
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润．
点评：本题主要考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是得出W与x的函数关系
28.（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（1，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，C为x轴正半轴上的一个动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，直线DA交y轴于E点．
（1）如图，当C点在x轴上运动时，设AC＝x，请用x表示线段AD的长；
（2）随着C点的变化，直线AE的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出直线AE的解析式．
（3）以线段BC为直径作圆，圆心为点F，
①当C点运动到何处时直线EF∥直线BO？此时⊙F和直线BO的位置关系如何？请说明理由．
②G为CD与⊙F的交点，H为直线DF上的一个动点，连结HG、HC，求HG＋HC的最小值，并将此最小值用x表示．
考点：一次函数综合题；等边三角形的性质；直线与圆的位置关系；轴对称-最短路线问题．.
专题：综合题．
分析：（1）由△OAB和△BCD都为等边三角形，等边三角形的边长相等，且每一个内角都为60°，得到∠OBA=∠DBC，等号两边都加上∠ABC，得到∠OBC=∠ABD，根据“SAS”得到△OBC≌△ABD，即可得到对应边AD与OC相等，由OC表示出AD即可；
（2）随着C点的变化，直线AE的位置不变．理由为：由（1）得到的两三角形全等，得到∠BAD=∠BOC=60°，又等边三角形BCD，得到∠BAO=60°，根据平角定义及对顶角相等得到∠OAE=60°，在直角三角形OAE中，由OA的长，根据tan60°的定义求出OE的长，确定出点E的坐标，设出直线AE的方程，把点A和E的坐标代入即可确定出解析式；
（3）由EA与OB平行，且EF也与OB平行，根据过直线外一点作已知直线的平行线有且只有一条，得到EF与EA重合，所以F为BC与AE的交点，又F为BC的中点，得到A为OC中点，由A的坐标即可求出C的坐标；相切，理由是由F为等边三角形BC边的中点，根据“三线合一”得到DF与BC垂直，由EF与OB平行得到BF与OB垂直，得证；
（4）根据等边三角形的“三线合一”得到DF垂直平分BC，所以C与D关于DF对称，所以GB为HC+HG的最小值，GB的求法是：由B，C及G三点在圆F圆周上，得到FB，FC及FG相等，利用一边的中线等于这边的一半得到三角形BCG为直角三角形，根据“三线合一”得到∠CBG为30°，利用cos30°和BC的长即可求出BG，而BC的长需要过B作BM垂直于x轴，根据等边三角形的性质求出BM及AM，表示出CM，在直角三角形BMC中，根据勾股定理表示出BC的长即可．
解答：解：（1）∵△OAB和△BCD都为等边三角形，
∴OB=AB，BC=BD，
∠OBA=∠DBC=60°，即∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC，
∴∠OBC=∠ABD，
∴△OBC≌△ABD，
∴AD=OC=1+x；
（2）随着C点的变化，直线AE的位置不变．理由如下：
由△OBC≌△ABD，得到∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠BAO=60°，∴∠DAC=60°，
∴∠OAE=60°，又OA=1，
在直角三角形AOE中，tan60°=，
则OE=，点E坐标为（0，﹣），A（1，0），
设直线AE解析式为y=kx+b，把E和A的坐标代入得：，
解得：，
所以直线AE的解析式为y=x﹣；
（3）根据题意画出图形，如图所示：
∵∠BOA=∠DAC=60°，EA∥OB，又EF∥OB，
则EF与EA所在的直线重合，∴点F为DE与BC的交点，
又F为BC中点，∴A为OC中点，又AO=1，则OC=2，
∴当C的坐标为（2，0）时，EF∥OB；
这时直线BO与⊙F相切，理由如下：
∵△BCD为等边三角形，F为BC中点，
∴DF⊥BC，又EF∥OB，
∴FB⊥OB，即∠FBO=90°，
故直线BO与⊙F相切；
（4）根据题意画出图形，如图所示：
由点B，点C及点G在圆F的圆周上得：FB=FC=FG，即FG=BC，
∴△CBG为直角三角形，又△BCD为等边三角形，
∴BG为∠CBD的平分线，即∠CBG=30°，
过点B作x轴的垂直，交x轴于点M，由△OAB为等边三角形，
∴M为OA中点，即MA=，BM=，MC=AC+AM=x+，
在直角三角形BCM中，根据勾股定理得：
BC==，
∵DF垂直平分BC，∴B和C关于DF对称，∴HC=HB，
则HC+HG=BG，此时BG最小，
在直角三角形BCG中，BG=BCcos30°=．
点评：此题综合考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质以及对称的有关知识．此题的难点是（3）和（4）小问，（3）重点要确定出点F的特殊位置即直线ED与BC的交点，把EF平行OB作为已知条件，推导点C的位置；（4）解题的关键是利用等边三角形“三线合一”的性质找出C关于FD的对称点为B，进而得到BG为所求的最小值．