第二十四章 一元二次方程
（本检测题满分：100分，时间：90分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.下面关于的方程：①；②；③；
④（）；⑤=-1.其中是一元二次方程的个数是（ ）
A.1 B.3 D.4
2.方程的根是（ ）
A. B. C. D.
3.若关于的一元二次方程的两个根为，则这个方程是（ ）
4.若是关于的方程的根，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5.已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足的条件是（ ）
6.某商品原价元，经连续两次降价后售价为元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7.一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为（ ）
A.25 B.36 C.25或36 D.-25或-36
8.某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的，则平均每次降价的百分率 是（ ）
A. B. C. D.
9.关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定
10.已知分别是三角形的三边长，则方程的根的情况是（ ）
A.没有实数根 B.可能有且只有一个实数根
C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.如果，那么的关系是________.
12.如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围为_____________.
13.若，则________.
14.若（是关于的一元二次方程，则的值是________.
15.若方程的两根为，则_______．
16.2012年国家扶贫开发工作重点县农村居民人均纯收入为元，2014年增长到元.若设年平均增长率为，则根据题意可列方程为_____________.
17.若两个连续偶数的积是224，则这两个偶数的和是__________.
18.已知关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一个根为 .
三、解答题（共46分）
19.（5分）在实数范围内定义运算“”，其法则为：，求方程（43） 的解.
20.(5分)若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是多少？
21.（6分）在长为，宽为的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去的小正方形的边长.
22.(6分)如果关于的一元二次方程有实
根，求的取值范围.
23.（6分）已知关于的方程（ 的两根之和
为，两根之差为1，其中是△的三边长.
（1）求方程的根；（2）试判断△的形状.
24.（6分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4 万
元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第一年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为.
（1）用含的代数式表示第3年的可变成本为__________万元；
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分
率.
25.（6分）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款元，第三天收到捐款元.
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？
26.（6分）已知方程的较大根为，方程
的较小根为，求的值.
第二十四章 一元二次方程检测题参考答案
1.B 解析：方程①与的取值有关；方程②经过整理后，二次项系数为2，是一元二次方程；方程③是分式方程；方程④的二次项系数经过配方后可化为，不论取何值，都不为0，所以方程④是一元二次方程；方程⑤不是整式方程，也可排除.故一元二次方程仅有2个．
2.C 解析：由，得所以
3.B 解析：两个根为，则两根的和是3，积是2． A.两根之和等于3，两根之积却等于-2，所以此选项不正确． B.两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确． C.两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确． D.两根之和等于-3，两根之积等于2，所以此选项不正确． 故选B．
4.D 解析：将代入方程得，∵ ，∴ ，
∴ .故选D.
5.B 解析：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ．故选B．
6.A 解析：根据题意可得两次降价后售价为，故方程为．
7.C 解析：设这个两位数的十位数字为，则个位数字为.
依题意，得，解得.∴ 这个两位数为25或36.故选C.
8.A 解析：设平均每次降价的百分率是
由题意得所以
所以
所以平均每次降价的百分率是
9.A 解析：因为，
所以方程有两个不相等的实数根.
10.A 解析：因为且分别是三角形的三边长，所以
所以所以方程没有实数根.
11. 解析：原方程可化为，∴.
12. 解析：∵，∴ ．
13.14 解析：由，得．两边同时平方，得，即
，所以．
14. 解析：由得或．
15.1 解析：∵ ∴
∴ 或.∵ ，∴ .
∴ .
16. 解析：∵ 2012年农村居民人均纯收入为元，人均纯收入的年平均增长率为，∴ 2013年农村居民人均纯收入为元，∴ 2014年农村居民人均纯收入为元，∴ 可列方程为.
17. 解析：设其中一个偶数为，则，解得所以另一个偶数为16或-14．故这两个偶数的和是．
18. 解析：把代入 化为
19.解：∵ ，∴ ．
∴ ．∴ ．∴ ．
20.解:由题意得
即当时，一元二次方程的常数项为
21.解：设小正方形的边长为.
由题意得，
解得
所以截去的小正方形的边长为.
22.解：由于方程是一元二次方程，所以，解得.
由于方程有实根，
因此,
解得.
因此的取值范围是且.
23.解：（1）设方程的两根为，则
解得
（2）当时，，所以.
当时,
所以，所以，
所以△为等边三角形．
24.解：（1）；
（2）根据题意可得解得（舍去）.
答：可变成本平均每年增长的百分率为10％.
25.解：（1）设捐款增长率为，
根据题意列方程，得，
解得（不合题意，舍去）.
答：捐款增长率为10%．
（2）．
答：第四天该单位能收到13 310元捐款．
26.解：将方程因式分解，得，
∴ 或，∴ ，.
∴ 较大根为1，即.
将方程变形为
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或，
∴ ，.
∴ 较小根为，即.
∴ .