第一章 特殊平行四边形检测题
（本检测题满分：120分，时间：120分钟）
选择题（每小题3分，共30分）
1.下列四边形中，对角线一定不相等的是（ ）
A.正方形 B.矩形 C.等腰梯形 D.直角梯形
2.从菱形的钝角顶点向对角的两条边作垂线，垂足恰好是该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（ ）
A.150° B. 135° C. 120° D. 100°
3.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形中满足条件的是（ ） ①平行四边形;②菱形;③等腰梯形;④对角线互相垂直的四边形.
A.①③ B.②③ C.③④ D.②④
4.已知一矩形的两边长分别为和，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（ ）
A和 B. 和 C. 和 D. 和
5.如图，在矩形中，分别为边的中点.若，
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A.3 B.6 D.8
6.如图，在菱形中，，∠，则对角线等于（ ）
A.20 B.10 D.5
7.若正方形的对角线长为，则这个正方形的面积为（ ）
A.4 B.2 C. D.
8.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A.每一条对角线平分一组对角 B.对角线相等
C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直
9.如图，将一个长为，宽为 的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（ ）
A. B. C. D.
（1） （2）
10.如图是一张矩形纸片， ，若将纸片沿折叠，使落在上，点的对应点为点，若，则（ ）
A. B. C. D.
填空题（每小题3分，共24分）
11.已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形的较短对角线的长是_________.
12.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别从点B，D同时以同样的速度沿边BC，DC向点C运动.给出以下四个结论：
① ;
② ∠∠;
③ 当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF是等边三角形；
④ 当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF的面积最大.
上述正确结论的序号有 .
13.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使，则∠BCE的度数是 .
14.如图，矩形的两条对角线交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，连接，已知△的周长为，则矩形的周长是 cm.
15.已知，在四边形ABCD中，，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是____________.
16.已知菱形的周长为，一条对角线长为，则这个菱形的面积为_________.
17.如图，矩形的对角线，，则图中五个小矩形的周长之和为_______.
18.如图，在矩形ABCD中，对角线与相交于点O，且 ，则BD的长为________cm，BC的长为_______cm.
三、解答题（共66分）
19.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC外角的平分线，已知∠BAC=∠ACD.
（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形.
20.（8分）如图，在□ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE、BD且AE=AB.
（1）求证：∠ABE=∠EAD；
（2）若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形.
21.（8分）辨析纠错.
已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，
DF∥AB.求证：四边形AEDF是菱形.
对于这道题，小明是这样证明的.
证明：∵ 平分∠，∴ ∠1＝∠2（角平分线的定义）.
∵ ∥，∴ ∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）.
∴ ∠1＝∠3（等量代换）.
∴（等角对等边）.同理可证：.
∴ 四边形是菱形（菱形定义）.
老师说小明的证明过程有错误，你能看出来吗？
(1)请你帮小明指出他错在哪里.
(2)请你帮小明做出正确的解答.
22.（8分）如图，正方形ABCD的边长为3，E，F 分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.
（1）求证：EF=FM；
（2）当AE=1时，求EF的长.
23.（8分）如图，在矩形中，相交于点，平分，交于点.若，求∠的度数.
24.（8分）如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC.
（1）求证：OE＝OF；
（2）若BC＝，求AB的长.
25.(8分)已知：如图，在四边形中，∥，平分∠，，为的中点.试说明：互相垂直平分.
26.(10分) 如图，在△中，∠， 的垂直平分线交于点，交于点，点在上，且.
(1)求证：四边形是平行四边形.
(2)当∠满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由.
第一章 特殊平行四边形检测题参考答案
一、选择题
1.D 解析：正方形、矩形、等腰梯形的对角线一定相等，直角梯形的对角线一定不相等.
2.C 解析：如图，连接AC.在菱形ABCD中，AD=DC,AE⊥CD， AF⊥BC，因为，所以AE是CD的中垂线，所以，所以△ADC是等边三角形，所以∠60°，从而∠120°.
3.D 解析:因为顺次连接任意一个四边形的各边中点，得到的是平行四边形，而要得到矩形，根据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形），所以该四边形的对角线应互相垂直，只有②④符合.
4.B 解析:如图，在矩形ABCD中，，，是∠的平分线，则∠∠C.由AE∥BC得∠∠AEB，所以∠∠AEB，即，所以，ED=AD-AE=15-10=5(cm)，故选B.
5.B 解析：因为矩形ABCD的面积为，
所以阴影部分的面积为，故选B．
6. D 解析：在菱形中，由∠= ，得 ∠.又∵ ，
∴ △是等边三角形，∴ .
7.B 解析：如图，在正方形中，，则，
即，所以，所以正方形的面积为2 ，故选B.
8.C
9. A 解析：由题意知AC⊥BD,且 4 ， 5 ，所以.
10.A 解析：由折叠知，四边形为正方形，∴ .
二、填空题
11.6 解析:较短的对角线将菱形分成两个全等的等边三角形，所以较短对角线的长为6.
12.①②③ 解析：因为四边形ABCD为菱形，所以ABCD，∠B=∠D，BE=DF，所以△≌△，所以AEAF，①正确.
由CB=CD，BE=DF,得CE=CF，所以∠CEF=∠CFE，②正确.
当E，F分别为BC，CD的中点时，BE=DF=BC=DC.连接AC，BD，知△为等边三角形，所以⊥.因为AC⊥BD,所以∠ACE=60°，∠CEF=30°.⊥，所以∠AEF=.由①知AEAF，故△为等边三角形，③正确.
设菱形的边长为1，当点E，F分别为边BC，DC的中点时，的面积为，而当点E，F分别与点B，D重合时，=，故④错.
° 解析:由四边形是正方形，得∠∠又，所以.5°，所以∠
14.48 解析:由矩形可知，又⊥，所以垂直平分，所以.已知△的周长为，即
所以矩形ABCD的周长为
15.
16.96 解析：因为菱形的周长是40，所以边长是10．
如图，，．根据菱形的性质，有⊥，，
所以 ，．
所以．
17. 28 解析：由勾股定理,得 .又，，所以所以五个小矩形的周长之和为
18.4 解析：因为 cm，所以 cm.又，所以.
因为∠ABC=90°，所以在Rt△ABC中，由勾股定理，得，所以（cm）.
三、解答题
19.证明：（1）∵ AB=AC，∴ ∠B=∠ACB，∴ ∠FAC=∠B+∠ACB=2∠BCA.
∵ AD平分∠FAC，∴ ∠FAC=2∠CAD，∴ ∠CAD=∠ACB.
在△ABC和△CDA中，∠BAC＝∠DCA ，AC＝AC，∠DAC＝∠ACB，
∴ △ABC≌△CDA.
（2）∵ ∠FAC=2∠ACB，∠FAC=2∠DAC，∴ ∠DAC=∠ACB，∴ AD∥BC.
∵ ∠BAC=∠ACD，∴ AB∥CD，∴ 四边形ABCD是平行四边形.
∵ ∠B=60°，AB=AC，∴ △ABC是等边三角形，
∴ AB=BC，∴ 平行四边形ABCD是菱形.
20.证明：（1）在□ABCD中，AD∥BC，∴ ∠AEB=∠EAD.
∵ AE=AB，∴ ∠ABE=∠AEB，∴ ∠ABE=∠EAD.
（2）∵ AD∥BC，∴ ∠ADB=∠DBE.
∵ ∠ABE=∠AEB，∠AEB=2∠ADB，∴ ∠ABE=2∠ADB，
∴ ∠ABD=∠ABE-∠DBE=2∠ADB-∠ADB=∠ADB，∴ AB=AD.
又∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ 四边形ABCD是菱形.
21.解：能.⑴小明错用了菱形的定义.
⑵改正：∵ ∥，∥，∴ 四边形是平行四边形.
∵ 平分∠，∴ ∠∠2.
∵ ∥，∴ ∠∠2，∴ ∠＝∠3.
∴ ，∴ 平行四边形是菱形.
22.（1）证明：∵ △DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴ ∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°， ∴ F，C，M三点共线，DE=DM，∠EDM=90°，∴ ∠EDF+∠FDM=90°. ∵ ∠EDF=45°，∴ ∠FDM=∠EDF=45°. 在△DEF和△DMF中，DE=DM，∠EDF=∠MDF，DF=DF，
∴ △DEF≌△DMF（SAS），∴ EF=MF.
（2）解：设EF=MF=x，∵ AE=CM=1，且BC=3，∴ BM=BC+CM=3+1=4，
∴ BF=BM－MF=BM－EF=4－x.
∵ EB=AB－AE=3－1=2，在Rt△EBF中，
由勾股定理得EB2+BF2=EF2，即22+（4－x）2=x2， 解得：x=，即EF=.
23.解：因为 平分，所以.
又知，所以
因为，所以△为等边三角形，所以
因为，
所以△为等腰直角三角形，所以．
所以，，所以=75°.
24.（1）证明:∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB∥CD.
∴ ∠OAE=∠OCF.
又∵ OA=OC, ∠AOE=∠COF.∴ △AEO≌△CFO（ASA）.∴ OE=OF.
（2）解:连接BO.∵ BE=BF，∴ △BEF是等腰三角形.
又∵ OE=OF,∴ BO⊥EF,且∠EBO=∠FBO.∴ ∠BOF=90°.
∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠BCF=90°.
又∵ ∠BEF=2∠BAC,∠BEF=∠BAC+∠EOA,
∴ ∠BAC=∠EOA.∴ AE=OE.
∵ AE=CF,OE=OF,∴ OF=CF.
又∵ BF=BF,∴ Rt△BOF≌Rt△BCF（HL）.
∴ ∠OBF=∠CBF.∴ ∠CBF=∠FBO=∠OBE.
∵ ∠ABC=90°,∴ ∠OBE=30°.∴ ∠BEO=60°.∴ ∠BAC=30°.
在Rt△BAC中，∵ BC=2,∴ AC=2BC=4.
AB=
点拨:证明线段相等的常用方法有以下几种：①等腰三角形中的等角对等边；②全等三角形中的对应边相等；③线段垂直平分线的性质；④角平分线的性质；⑤勾股定理；⑥借助第三条线段进行等量代换．
25.解：如图，连接∵ AB⊥AC，∴ ∠BAC=90°.
因为在Rt△中，是的中点，所以是Rt△的斜边BC上的中线，
所以，所以．
因为平分，所以，所以所以∥.
又AD∥BC，所以四边形是平行四边形．
又，所以平行四边形是菱形，所以互相垂直平分．
26.（1）证明：由题意知∠∠，
∴ ∥，∴ ∠∠ .
∵ ，∴ ∠∠AEF =∠EAC =∠ECA .
又∵ ，∴ △≌△，
∴ ，∴ 四边形是平行四边形 ．
（2）解：当∠时，四边形是菱形 ．理由如下：
∵ ∠，∠，∴ .
∵ 垂直平分，∴ .
又∵ ，∴ ，∴ ，
∴ 平行四边形是菱形．