北九上第三章证明（三）水平测试（B）
一、选择题（每小题3分，共15分）
1．已知△ABC的周长为，中位线DE=，EF=，则DF的长是（ ）
A． B． C． D．
2．如图１，在□ABCD中， ∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，则∠E+∠F的值为（ ）
Ａ．110° Ｂ．30° Ｃ．50° Ｄ．70°
3．如图2所示，已知菱形ABCD的一条对角线BD上一点O，到菱形一边AB的距离为2，那么点O到（ ）
A．BC的距离也为2 B．CD的距离也为2
C．AD的距离也为2 D．AC的距离也为2
4．如图3所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的一点，PE⊥AC，垂足为E，PF⊥BD，垂足为F，则PE+PF的值为（ ）
A． B． C．2 D．
5．如图4，已知点M，N，P，Q分别是凸四边形ABCD四边的中点，在下列4个命题：
①四边形MNPQ是梯形；
②当四边形ABCD的对角线相等时，四边形MNPQ是菱形；
③当四边形ABCD的对角线垂直时，四边形MNPQ是矩形；
④当四边形ABCD的对角线相等且垂直时，四边形MNPQ是正方形．
正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共15分）
6．如图5所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够，一位同学帮他想了一个主意，先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为，则AB两点间的距离为 ．
7．已知：如图6，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．若AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
8．菱形的两条对角线的长分别是和，则这个菱形的周长为 ；面积为 ．
9．如图7，延长正方形ABCD的边AB到E，使BE=AC，则∠E= ．
10．如图8，BE，CF是△ABC的高，M是BC的中点，若不添加辅助线，则图中的三角形一定是等腰三角形的有 个．
三、解答题（共70分）
11．（10分）如图9，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F．
求证：四边形AEDF是菱形．
12．（10分）如图10，EG，FH过正方形ABCD的对角线的交点O，EG⊥FH．
求证：四边形EFGH是正方形．
13．（10分）已知：平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．
求证：（1）BE⊥AC；
（2）EG=EF．
14．（12分）如图12，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF为菱形?并证明你的结论．
15．（14分）已知：如图13，AD是△ABC的高，∠B=2∠C，M为BC的中点．
求证：DM=AB．
16．（14分）O点是△ABC所在平面内一动点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，如果DEFG能构成四边形．
（1）如图14，当O点在ABC内时，求证四边形DEFG是平行四边形；
（2）当O点移动到△ABC外时，（1）的结论是否成立?画出图形并说明理由；
（3）若四边形DEFG为矩形，O点所在位置应满足什么条件?试说明理由．
17．（做对可得附加分20分）如图15、图16，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．
（1）如图15，当点E在AB边的中点位置时：
①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ；
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ；
③请证明你的上述两个猜想．
（2）如图16，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE＝BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系．
参考答案：
一、1．B 2．D 3．A 4．A 5．C
二、6． 7．4 8．，2 9．22.5° 10．4个
三、11．略．
12．略．
13．（1）略．（2）略．
14．（1）略．（2）略．
15．提示：证法一：取AC的中点N，连接MN，DN．
证法二：取AB中点P，连接DP，MP．
16．提示：（1）利用三角形中位线性质证得DG平行且等于EF，得四边形DEFG是平行四边形；（2）略；（3）略．
17．（1）①DE=EF；②NE＝BF；③利用四边形ABCD是正方形，BF平分∠CBM根据“ASA”证明△DNE≌△EBF，得出DE=EF，NE=BF；
（2）在DA边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连接NE，点N就使得NE=BF成立（图略）．此时，DE=EF．