平谷区2009～2010学年度第一学期末考试试卷
初 三 数 学 2010年1月
一、选择题（共8个题，每小题3分，共24分）
下列各小题均有4个选项，其中只有一个选项是正确的，请你把正确答案的字母序号填在下
表中相应的题号下面。
1．－5的相反数是（ ）
A．－5 B． C． D．5
2．如图1，在Rt⊿ABC中，，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（ ）
图1
3．，神舟七号航天员翟志刚完成中国历史上第一次太空行走，他相对地球行
走了5 100 路程，用科学记数法表示为 （ ）
A．米 B．5.1×
C．51× D．0.51×
4．已知:如图2，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，
若OC＝3，则弦AB的长为 （ ）
A．4 B． C．8 D．10 图2
5．如图3，在直角坐标系中，点是轴正半轴上的一个定点，点是
双曲线（）上的一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，
的面积将会（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．不变 D．先增大后减小 图3
6．如图4，小莉站在离一棵树水平距离为a 米的地方，用一块含
30°的直角三角板按如图所示的方式测量这棵树的高
度，已知小莉的眼睛离地面的高度是 ，那么她
测得这棵树的高度为（ ）
A.米 B.米
C. 米 D. 米 图4
7．甲、乙两袋均有红、黄色球各一个，分别从两袋中任意取出一球，那么
所取出的两球是同色球的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图5（1），在矩形ABCD中动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点
A停止，设点P运动的路程为x，⊿ABP的面积为y,如果y关于x的函数图像如图（2）
所示，那么，⊿ABC的面积是（ ）
A．20 B． C．10 D．16
\
二、填空题（共5道小题，每小题4分，共20分）
9. 二次函数y=x2－5x的图象与x轴的交点坐标是 .
10．在半径为的圆中，120°圆心角所对的弧长为 .（不取近似值）
11.把抛物线化为的形式，其中为常数，
则= .
12.如图6，⊿ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，
D是的中点，如果∠ABC=，那么
∠DBC= 度.
13. 如图7，已知矩形的面积为，它的对角线
与双曲线相交于点，且，则 ．
三、解答题（本题共13分，其中第14小题5分，第15、16小题各4分）
14．计算： cos45°－sin30°－
解 ：
15.已知，求代数式的值．
解：
16. 如图，已知是⊙O的直径，点在⊙O上，且，．
（1）求的值；
（2）如果，垂足为，求的长．
解：
四、证明题（本题共10分，每小题5分）
17.如图，已知是矩形的边上一点，于.
求证：．
证明：
18. 如图，AB是⊙O的直径，BCAB于点B，连接OC，弦AD//OC,作射线CD.
求证：.
证明：
五、解答题（本题共9分，第19小题4分，第20小题5分）
19. 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端处弹跳到人梯顶端椅子处，其身体（看成一点）
的路线是抛物线的一部分，如图．
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点的水平距离是，
问这次表演是否成功？请说明理由．
解：
20.已知：如图，反比例函数的图象经过点，点的坐标为，
点的坐标为(m,1)，点的坐标为．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求直线的解析式．
解：
六、解答题（本题共11分，第 21小题5分，第22小题6分）
21. 如图，在梯形中，，，，于
点，求梯形的高．
__________________________________________________________________________________________________________________解：
22．已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于Ｅ，＝，BF⊥AB与弦AD的延长
线相交于点F．
(1)求证:CD∥BF；
(2)连结BC,若⊙O的半径为4,cos∠C=,求线段AD、CD的长．
(1)证明：
（2）解：
七、解答题（本题6分）
23. 已知抛物线与轴交于不同的两点，与y轴的交点在x轴的上方，其顶点是C．
（1）求实数的取值范围；
（2）求顶点的坐标；
（3）求线段的长；
（4）当AB=时，求抛物线的解析式．
解：
八、解答题（本题7分）
24．如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点D，抛物线
与直线交于A、E(4,m)两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0).
⑴求该抛物线的解析式；
⑵设动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标..
解：
平谷区2009～2010学年度第一学期末初三数学试卷
参考答案及评分参考 2010年1月
一、选择题（共8个题，每小题3分，共24分）
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
9.，； 10．6∏； 11．； 12.； 14．12.
三、解答题（本题共13分，其中第14小题5分，第15、16小题各4分）
14．计算： cos45°－sin30°－
解 ：原式= …………………………………………4分
…………………………………………………………………….5分
15.解：原式=………………………………2分
=.……………………………………………………………………..3分
∵,
∴原式． ………………………………………………..4分
16. 解：（1）AB是⊙O的直径，点C在⊙O上
∠ACB = 90o ……………………………………….. 1分
AB＝13，BC＝5
．…………………………….2分
（2）在Rt△ABC中，
．………………………………….3分
，
．…………………………………………………………4分
四、证明题（本题共10分，每小题5分）
17.证明： 四边形是矩形，
∴，.
．……………………..2分
，，
．……………………………………………………………….3分
．…………………………………………………………..4分
∴ ……………………………………………………………………5分
18. 证明：联结OD. …………… ………………1分
∵AD∥OC,
∴∠A=∠COB,∠ADO=∠COD ……………..2分
∵OA=OD,∴∠A=∠ADO.
∴∠COB=∠COD ……………………………3分
∵OD=OB,OC=OC,
∴△OCD≌△OCB. ………………..……………4分
∴CD=CB …………………………………..……………………………………5分
五、解答题（本题共9分，第19小题4分，第20小题5分）
19. 解：（1）．……………………………1分
，函数的最大值是．…………………………………………2分
答：演员弹跳的最大高度是米． …………………………………………3分
（2）因为当时，，所以这次表演成功．…4分_______________________________________________________________________________________________________________________________
20. 解：（1）设所求反比例函数的解析式为：．
点在此反比例函数的图象上，
，．…………………………………………………………1分
故所求反比例函数的解析式为：． ………………………………2分
（2）设直线的解析式为：．
点在反比例函数的图象上，点的纵坐标为1，
，．…………………………………………………………………3分
点的坐标为．……………………………………………………………4分
由题意，得 解得：
直线的解析式为：．…………………………………………………5分
六、解答题（本题共11分，第 21小题5分，第22小题6分）
21. 解：作DF⊥BC于点F. ………………………………………………………………1分
∵AD∥BC，∴∠1=∠2.
∵AB=AD，∴∠2=∠3.
∴∠1=∠3……………………………………….2分
又∵AB=DC，∠C=60°，
∴=∠1=∠3=30°…………………………………………………3分
又∵AE⊥BD于点E，AE=1，∴AB=DC=2………………………………………….4分
在Rt△CDF中，由正弦定义，可得.
所以梯形ABCD的高为…………………………………………………………….5分__________________________________________________________________________________________________________________
22．(1)证明：∵直径AB平分，
∴AB⊥CD. ……………………………………………………1分
∵BF⊥AB,
∴CD∥BF. …………………………………………………2分
(2)联结BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°. ………………………………………………………………………3分
在Rt△ADB中，
∵cos∠A cos∠C=AB=4×28
∴AD=AB·cos∠A, ………….…………………………………………4分
在Rt△AED中，
AE=AD·cos∠A.…………………………………………………………5分
由勾股定理，得 DE
∵直径AB平分，∴CD………………………………………6分
七、解答题（本题6分）
23.解：（1）令，由题意知，方程有两不等实根，
解得，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴.
∴n的取值范围是……………………………………………………………2分
（2）直接用顶点坐标公式得；… ………………………………………..3分
（3）由于在轴上，令，
用求根公式解得，
∴……………………………………………………………4分
（4）依题意，得 解得， ……………………………………….5分
∴抛物线的解析式为： ………………………………………6分
八、解答题（本题7分）
24．解：（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入得
解得
∴抛物线的解折式为………2分
（2）∵点E(4,m)在直线上
∴ ∴E的坐标为（4，3）……………………………………3分
（Ⅰ）当A为直角顶点时，过A作AP1⊥DE交x轴于P1点，设P1（a,0）
易知D点坐标为（－2，0） 由Rt△AOD∽Rt△POA得
i即，∴a＝ ∴P1（，0）…………………………………4分
（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，P2点坐标为（，0） …………………………5分
（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3（、）由∠OPA+∠FPE＝90°，
得∠OPA＝∠FEP ∴ Rt△AOP∽Rt△PFE
∴ 得，解得，.
∴此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0）………………………………………7分
所以满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）.(不写不扣分)