海淀区九年级第一学期数学期中测评
一. 选择题（本题共40分，每题4分）
1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 2，-3，-4 B. 2，3， C. 2，-3，4 D. 2，3，-4
2. 函数中自变量x的取值范围是（ ）
A. x≠0 B. x≠ C. x≠1 D. x>-1
3. 据报道，生命科学家开发出一项突破性的技术，只要把所需的尺寸输入电脑，就能培养出完全符合要求的肌体组织或骨骼，而所使用的材料每层只有0.001厘米厚，这个数字用科学记数法表示正确的是（ ）
A. 1×103 B. 1×10 C. 1×104 D. 1×10-4
4. 方程的根是（ ）
A. x1=2，x2=0 B. x1=-2，x2=0
C. x=2 D. x=-2
5. 如图1，AB、CD是⊙的两条弦，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，如果AB=CD，那么下列判断中错误的是（ ）
A. B. ∠AOB=∠COD
C. OE=OF D. ∠AOC=∠BOD
6. 下列运算中，结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图2，C、D是以AB为直径的⊙O上的两个点，∠ACD=15°，则∠BAD的度数为（ ）
A. 15° B. 30° C. 60° D. 75°
8. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（ ）
A. -1 B. C. 1或-1 D. -1或0
9. 根据图3中信息，经过估算，下列数值与tanα的值最接近的是（ ）
A. 0.6246 B. C. 1.2252 D. 2.1809
10. 如图4，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积占玻璃瓶容积的（ ）
A. B. C. D.
二. 填空题：（本题共16分，每题4分）
11. 若x2=9，则x=___________。
12. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是___________。
13. 观察下列各等式：
依照以上各式成立的规律，在括号中填入适当的数，使等式成立。
14. 如图5，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=80°，则∠CBD=___________度。
三. 解答题：（本题共28分，第15、16题各4分，其余每题5分）
15. 利用公式法解方程：
解：
16. 利用配方法解方程：
解：
17. 先化简，再求值：，其中x=6。
解：
18. 解分式方程：
解：
19. 如图6，AD//BC，∠BAD=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE，垂足为F，线段BF与图中现有的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。
结论：BF=__________。
证明：
20. 学校图书馆七月底有图书共计5万册，为了满足学生“十一”长假的阅读需求，预计到九月底增加到7.2万册，求这两个月的月平均增长率。
解：
四. （本题共12分，每题6分）
21. 已知：如图7，⊙O的半径为1，弦，若点C在⊙O上，且，求∠BAC的度数。
解：
22. 已知关于x的方程①有两个不相等的实数根。
（1）求m的取值范围。
（2）若m为整数，且m<3，a是方程①的一个根，求代数式的值。
解：
五. （本题共24分，每题8分）
23. 如图8，阅读并填空：
（1）根据规则一，求代数式的值；
（2）根据规则二，判断点P（a，b）、A（c，d）、B（0，）是否在同一条直线上，并说明理由。
解：（1）
（2）判断：P、A、B三点__________（填“在”或“不在”）同一条直线上。
理由：
24. 已知：三个边长为个单位长度的正方形如图9所示方式摆放。
（1）画出覆盖图9的最小圆；
（2）将图9中上面的正方形向右平移a个单位长度，得到图10，请用尺规作出覆盖新图形的最小圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）可以利用图11，比较（1）和（2）中的两个圆的大小，通过计算简要说明理由。
∴______________为所求的圆，∴____________为所求作的圆。
解：
25. 如图12，已知点B的坐标为（6，9），点A的坐标为（6，6），点P为⊙A上一动点，PB的延长线交⊙A于点N，直线CD⊥AP于点C，交PN于点D，交⊙A于E、F两点，且PC：CA=2：3
（1）当点P运动使得点E为劣弧的中点时，求证：DF=DN；
（2）在（1）的条件下，求tan∠CDP的值；
（3）当⊙A的半径为5，且△APD的面积取得最大值时，求点P的坐标。
海淀区九年级第一学期数学期中测评
试题答案
一. 选择题：（本题共40分，每题4分）
1. D 2. B 3. B 4. A 5. D 6. C 7. D
8. A 9. C 10. A
二. 填空题：（本题共16分，每题4分）
11. ±3 12. 1 13. -4，-4 14. 40
三. 解答题：（本题共28分，第15、16题各4分，其余每题5分）
15. 解： 2分
4分
16. 解：
2分
4分
17. 解法一：原式
2分
3分
4分
当x=6时，原式 5分
解法二：原式 2分
3分
4分
当x=6时，原式 5分
18. 解：方程两边同时乘以，得
2分
3分
经检验，x=-1是原方程的增根 4分
∴原方程无解 5分
19. 解：BF=EA 1分
证明：∵BE、BC为⊙O的半径
∴BE=BC 2分
∵AD//BC，∴∠AEB=∠EBC
∵CF⊥BE于F，∠BAD=90°
∴∠BFC=∠BAE=90°
在△ABE和△FCB中
∴△ABE≌△FCB 4分
∴EA=BF 5分
20. 解：设这两个月的月平均增长率为x 1分
3分
（不合题意，舍去） 4分
答：这两个月的月平均增长率为20%。 5分
四. （本题共12分，每题6分）
21. 解：如图1，当AC、AB位于OA同侧时
作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E 1分
∵⊙O的半径为1
∴在Rt△ODA中，
2分
又∵在Rt△OEA中，
∴∠OAE=30° 3分
∴∠BAC=∠OAD-∠OAE=45°－30°=15° 4分
如图2，当AC、AB位于OA异侧时
同理，易求得∠BAC=∠OAD+∠OAE=45°+30°=75° 6分
（若只写出一种情况，给4分）
22. 解：（1）∵关于x的方程①有两个不相等的实数根
∴，且
∴m>0，且m≠1 2分
（只写对m>0或m≠1的，给1分）
（2）∵m为整数，且m<3
又m>0，且m≠1
∴m=2 3分
∴a是方程的一个根 4分
∴代数式的值为2 6分
五. （本题共24分，每题8分）
23. 解：（1）当，c=1，d=2时， 1分
2分
（2）判断：P、A、B三点不在同一条直线上 3分
依题意可得P（，）、A（2，1） 5分
设直线AB的解析式为
∵点A（2，1）在直线AB上，∴
可得
∴直线AB的解析式为 7分
∵当时，
∴P、A、B三点不在同一直线上 8分
（P、A两点各1分）
24. 解：（1）
∴⊙O为所求。 1分
（2）方法一：
方法二：
∴⊙O'为所求作的圆（没有作圆痕迹的不给分） 4分
（3）解法一：
如图3，延长B'O'与EF相交于点G，与PQ相交于点M，连接O'F
易证△O'B'C'与△O'GF为直角三角形
∵B'C'>GF，O'C'=O'F
∴
在Rt△OBC和Rt△O'B'C'中
∵BC=B'C'
∴
∴（1）中的圆比（2）中的圆大 8分
解法二：
如图4，延长B'O'与EF相交于点G，与PQ相交于点M，连接O'F
设O'B'=x
依题意可得，
又O'F=O'C'
∴
即
∵a≠0，∴
∴O'C' ∴（1）中的圆比（2）中的圆大 8分 （直接写结论，没有过程的只给1分） 25. （1）证明：如图5，连接NF ∵CD⊥AP于C，∴ ∵点E为劣弧的中点，∴ ∴∠PNF=∠EFN ∴DF=DN 2分 （2）解：如图6，连接AE、AN ，∴∠PAE=∠NAE ∵AP=AN，∴AE⊥PN于Q ∵CD⊥AP于G，∴∠DCP=∠AQP=90° ∵∠DPC=∠APQ，∴∠QAP=∠CDP ∵PC：CA=2：3 设⊙A的半径为5k，则CA=3k，AE=5k 根据勾股定理，可得EC=4k 5分 （3）如图7所示 ∵⊙A的半径为5，PC：CA=2：3 ∴PC=2 过点A作AQ⊥PB于Q ∵CD⊥AP，∴△PCD∽△PQA ∴ 即 ∴当PQ最小时，PD最大 ∵，∴当AB⊥PB时，AQ最大 ∵ ∴此时PQ最小，则PD最大 又∵ ∴此时CD最大 即当AB⊥PB时，CD之长达到最大，如图8 由可知，此时△APD的面积也达到最大 7分 此时，点P的坐标为（2，9）或（10，9） 8分 （对于各题不同的解法请老师们根据评分标准酌情给分）