【本章知识框架】
【本章重点】
1．一元二次方程的定义
一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式
我们把(a≠0)叫做一元二次方程的一般形式，特别注意二次项系数一定不为0，b、c可以为任意实数，包括可以为0，即一元二次方程可以没有一次项，常数项．(a≠0)，(a≠0)， (a≠0)都为一元二次方程．
3．一元二次方程的解法
一元二次方程的解法有四种：(1)直接开平方法；(2)因式分解法；(3)配方法；(4)公式法．要根据方程的特点灵活选择方法，其中公式法是通法，可以解任何一个一元二次方程．
4．一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式为．
△>0方程有两个不相等的实数根．
△＝0方程有两个相等的实数根．
△<0方程没有实数根．
上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．
5．一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程(a≠0)的两个根是，那么．
6．解应用题的步骤
(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；
(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；
(3)找出相等关系，并用它列出方程；
(4)解方程求出题中未知数的值；
(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．
【解题思想】
1．转化思想
转化思想是初中数学最常见的一种思想方法．
运用转化的思想可将未知数的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题．在本章中，将解一元二次方程转化为求平方根问题，将二次方程利用因式分解转化为一次方程等．
2．从特殊到一般的思想
从特殊到一般是我们认识世界的普遍规律，通过对特殊现象的研究得出一般结论，如从用直接开平方法解特殊的问题到配方法到公式法，再如探索一元二次方程根与系数的关系等．
3．分类讨论的思想
一元二次方程根的判别式体现了分类讨论的思想．
【经典例题精讲】
1．对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．
2．解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．
3．一元二次方程(a≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．
4．一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
【中考热点】
本章的应用性较强，本章内容一直是命题的热点，填空题、选择题有，解答题也有，单独出现或和其他内容结合出现．
【历届中考题目】
一、填空题
1．(2003·吉林)方程的解是_____________．
2．(2002·江苏泰州)如果是方程的两根，那么＝_____________．
3．(2002·杭州)已知2是关于x的方程的一个解，则2a－1的值为_____________．
4．(2003·大连)某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4万平方米，到2002年的7万平方米．设这两年该房屋开发公司建设住宅面积的年平均增长率为x，则可列方程为_____________．
5．(2003·四川)已知关于x的一元二次方程有两个负数根，那么实数m的取值范围是_____________．
6．(2003·青岛)九年义务教育三年制初级中学教科书《代数》第三册第52页的例2是这样的：“解方程”．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为 ①，解这个方程得：．当y＝1时，，∴x＝±1；当y＝5时，，∴．所以原方程有四个根：．
(1)在由原方程得方程①的过程中，利用_____________法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
(2)解方程，若设，则原方程可化为_____________．
7．(2003·泰安)已知实数x、y满足，则x＋2y的值为_____________．
8．(2003·泰安)如图22－1，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两条直角边的长分别为_____________．
9．(2003·济宁)关于x的二次方程的两个实数根为，如果，那么k＝_____________．
二、选择题
1．(2002·泰州)k为实数，则关于x的方程的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
2．(2002·杭州)用配方法将二次三项式变形的结果是( )
A． B．
C． D．
3．(2002·桂林)如果方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是( )
A．m<1 B．m>1
C．m<－1 D．m>－1
4．(2003·重庆)下列一元二次方程中，没有实数根的是( )
A． B．
C． D．
5．(2003·威海)对于一元二次方程，下面的结论错误的是( )
A．若c＝0，则方程必有一个根为0
B．若c<0，则方程必有两个正数根
C．若c>0，b<0，则方程必有两个正数根
D．若b>c＋1，则方程有一个根大于－1，一个根小于－1
6．(2003·青岛)已知，且α≠β，则αβ＋α＋β的值为( )
A．2 B．－2
C．－1 D．0
三、解答题
1．(2003·潍坊)已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围．
(2)是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？
解：(1)根据题意，得
＝－12k＋13>0，
所以，．
所以，当时，方程有两个不相等的实数根．
(2)存在．
如果方程的两个实数根互为相反数，则
，
解得，
检验知：
是的解．
所以，时，方程的两实数根互为相反数．
当你读了上面的解答过程后，请判断是否有错误？
如果有，请指出错误之处，并直接写出正确的答案．
2．(2003·菏泽)已知方程的两个实数根的平方和等于11，求m的值．
3．(2003·滨州)设(a，b)是一次函数y＝(k－2)x＋m与反比例函数的图象的交点，且a，b是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，其中k为非负数，m，n为常数．
(1)求k的值；
(2)求一次函数与反比例函数的解析式．
4．(2003·淄博)下面是一位同学做的一道练习题．
已知关于x的方程的两个实数根为p、q，求p、q的值．
解：将p、q分别代入，得
，
；；．
(1)请判断该同学的解法是否存在问题，并说明理由；
(2)这道题还可以怎样解？请写出你的解法．
参考答案
【历届中考题目】
一、
1．
2．
3．5
4．
5．m>7
6．换元法，
7．－3或2
8．4，6
9．－3
二、
1．A 2．A 3．A 4．C 5．C 6．B
三、
1．(1)中忽视k－1≠0的情况，当k－1＝0时，方程为一元一次方程，只有一个实数根．
正确答案为：当，且k≠1时，方程有两个不相等的实数根．
(2)中的实数k不存在，当时，判别式△＝－5<0，方程没有实数根．
应为：不存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数
2．解：设方程的两根为，由韦达定理，得．
又，
整理，得，
解之，得．
由二次方程有两个实数根，
∴，
解之，得．
故m＝－3不合题意应舍去．
取m＝1，即m＝1为所求．
3．解：(1)∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得k<3，且k≠0．
又∵一次函数y＝(k－2)x＋m存在且k为非负整数，
∴k＝1．
(2)∵k＝1，
∴原方程可变形为．
∴a＋b＝4，ab＝－2．
又当k＝1时，一次函数y＝－x＋m过点(a，b)，
∴a＋b＝m．
∴m＝4．
同理可得n＝－2．
故所求的一次函数与反比例函数的解析式分别为y＝－x＋4与．
4．答：(1)该同学的解法存在问题．
问题出在没有把求出的解代入根的判别式进行检验．
因为，当时，方程，此时△＝0；
当时，方程，此时△>0，符合题意．
而当时，方程，此时△>0，与方程有等根不符．
所以，p、q的值只能取；．
(2)解：由根与系数的关系，得
，
解得；．
分别对p，q的两组值对应的方程判别式检验，知这两组值符合题意要求．