24.3 命题与证明(B卷)
(综合应用创新训练题)
一、学科内综合题:(每小题6分,共12分)
1.小华在钻研数学问题时发现:12<22, 22<32, 32<42, 42<52, ……于是他得出结论:对于任意实数a、b, 若a 2.有一位同学在钻研三角形的全等问题时发现:如图所示,在△ABC 和△A1B1中,如果AB=A1B1,BC=B1,AD和A1D1分别是这两个三角形的高,且AD= A1D1, 那么△ABC≌△A1B1,于是他得出结论: 有两条边和其中一边上高对应相等的两个三角形全等,这个结论正确吗?若不正确,请说明理由,并指出添加什么条件后可使这个命题变为真命题;若正确,请说明理由. 二、学科间综合题:(6分) 3.张红说:“时,食盐的溶解度是, 则此时食盐溶液中含食盐的浓度为36%”.你认为张红的说法对吗?若对,请给予解答;若不对,请说明理由. 三、实践应用题:(每小题6分,共36分) 4.如图所示,工人师傅砌门时,常用木条EF固定矩形门框ABCD,使其不变形,这种做法的根据是什么? 5.一工人师傅在做门框或矩形时常用测量平行四边形的两条对角线是否等来检查直角的精度,这是根据几何中的什么知识? 6.植树时只要定出两个树坑的位置,就能确定同一行树坑所在的直线,这是什么道理? 7.如图所示,有时需要把弯曲的河道改直,根据什么可以说明这样做能缩短航程? 8.如图所示,要把水渠中的水引到水池C,在渠岸AB的什么地方开沟,才能使沟最短?画出图来,并说明根据什么道理? 9.如图所示,要测量池宽AB,可从点A出发,在地面上画一条线段AC,使AC⊥AB,再从点C观测,在BA的延长线上测得一点B′,使∠ACB′=∠ACB,这时量得的AB′的长度就是AB的长度.请按图写出“已知”、“求证”，并加以证明。 四、创新题:(10、12、13每题6分,11题7分,共25分) (一)教材中的变型题 10.课本P97中习题24,第4题为:如图所示,OA=OB,PA=PB,试证明:OP平分∠AOB, 变形为:OA=OB,OP平分∠AOB,试证明PA=PB. (二)多解题 11.如图所示,AB∥EF,求证:∠BCF=∠B+∠F. 12.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°. 已知:△ABC. 求证:∠A+ ∠B+∠C=180°. (三)多变题 13.同学们知道:只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等, 你如何自理和安排这三个条件,使这两个三角形全等,请你仿照方案(1),写出方案(2)、(3)、(4). 方案(1):若这个角是钝角,则这两个三角形全等. 五、中考题:(每小题3分,共21分) 14.(2003,南宁)下列命题正确的是( ) A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形; B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线相等的四边形是矩形; D.一组邻边相等的矩形是正方形 15.(2003,长沙)下列命题中,不正确的是( ) A.一组邻边相等的平行四边形是菱形;B.直角三角形斜边上的高等于斜边的一半 C.等腰梯形同一底上的两个角相等; D.有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形 16.(2003,广东)下列说法中正确的是( ) A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 B.等腰三角形是轴对称图形,也是中心对称图形 C.对角线互相平分的四边形是平行四边形; D.有两边平行的四边形是菱形 17.(2003,上海)下列命题中正确的是( ) A.有限小数是有理数; B.无限小数是无理数 C.数轴上的点与有理数一一对应; D.数轴上的点与实数一一对应 18.(2002,福州)下列四个命题中错误的是( ) A.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形;B.两条对角线相等的四边形是矩形 C.两条对角线互相垂直的矩形是正方形; D.两条对角线相等的菱形是正方形 19.(2002,镇江)给出下列命题: (1)平行四边形的对角线互相平分;(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形; (3)菱形的对角线互相垂直;(4)对角线互相垂直的四边形是菱形. 其中,真命题的个数为( ) A.4 B.2 D.1 20.(2002,曲靖)下列命题正确的是( ) A.对角相相等的四边形是平行四边形;B.四条边相等的四边形是正方形 C.等腰梯形对角互补; D.矩形的对角线互相垂直 Ｂ卷答案 一、1.不正确.解:例如-5<1,但(-5)2>12,所以小华的结论不正确. 2.不正确.解:如答图所示,AA′∥BC,AB=A′C,BC=BC,AD和A′D′分别是锐角△ABC和钝角△A′BC的高,且AD=A′D′,但锐角△ABC不可能与钝角△A′BC全等.添加条件为:在两个锐角三角形中(或其他条件,只需能保证两个三角形一定全等). 二、 3.不正确.理由:因为溶解度是“某温度下,溶剂中溶解某固体物质达到饱和状态所溶解的克数”所以时,食盐的溶解度是,此时食盐溶液中含食盐的浓度为,故张红的说法不对. 三、 4.根据是“三角形的稳定性”. 5.根据“对角线相等的平行四边形是矩形”. 6.经过两点,有且只有一条直线. 7.两点之间,线段最短. 8.解:如答图所示,这样的根据是“垂线段最短”. 9.已知:如答图所示,在△BB′C中,CA⊥BB′,垂足为A,∠ACB′=∠ACB. 求证:AB=AB′. ∵CA⊥BB′,∴∠1=∠2=90°.在△ACB和△ACB′中,∠1=∠2,AC=AC,∠ACB= ∠ACB′,∴△ACB≌△ACB′,∴AB=AB′.故测得AB′的长度就是AB的长度. 四、(一) 10.原题答案:证明:在△AOP和△BOP中,OA=OB,OP=OP,PA=PB, ∴△AOP≌△BOP,∴∠1=∠2,即OP平分∠AOB. 变形题答案:证明:在△AOP和△BOP中,OA=OB,∠2=∠1,OP=OP, ∴△AOP ≌△BOP,∴PA=PB. (二) 11.证法一:如答图1所示,过C作CD∥AB,∴∠B=∠BCD,∵AB∥EF,CD∥AB, ∴CD∥EF,∴∠F=∠DCF,∴∠BCD+∠DCF=∠B+∠F,即∠BCF=∠B+∠F. 证法二:如答图2所示,过C作DC∥AB,∴∠B+∠BCD=180°, ∵AB∥EF,DC ∥AB, ∴DC∥EF,∴∠DCF+∠F=180°,∴∠B+∠BCD+∠DCF+∠F=360°, ∴∠B+∠F=360°-(∠BCD+∠DCF)=∠BCF,即∠BCF=∠B+∠F. 证法三:如答图3所示,延长BC交EF于D,∵AB∥EF,∴∠CDF=∠B, ∵∠BCF=∠CDF+ ∠F,∴∠BCF=∠B+∠F. 证法四:如答图4所示,连结BF,∵AB∥EF, ∴∠ABF+∠EFB=180°, 即∠ABC+∠CBF+∠BFC+∠CFE=180°, ∴∠ABC+∠CFE=180°-(∠CBF+∠BFC)= ∠BCF, 即∠BCF= ∠ABC+∠EFC. 证法五:如答图5所示,过B作CF的平行线,交EF的延长线于D, ∵AB∥EF,∴∠GBA= ∠D.∵BD∥CF,∴∠CFE=∠D, ∴∠GBA=∠CFE,BD∥CF, ∴∠BCF=∠CBG=∠ABC+∠GBA=∠ABC+∠CFE,即∠BCF=∠ABC+∠CFE. 12.证法一:如图1所示,作BC的延长线CD,在△ABC的外部,以CA为一边,CE 为一边画∠1=∠A,∴CE∥BA,∴∠B=∠2.∵∠1+∠2+∠ACB=180°,∴∠A+∠B+∠ACB=180° 证法二:如答图2所示,过A作BC的平行线DE,∴∠B=∠DAB,∠C=∠EAC. ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°,∴∠BAC+∠B+∠C=180°. 证法三:如答图3所示,过B作CA的平行线DB, 则有∠DBA=∠A,∠DBA+ ∠ABC+ ∠C=180°.∴∠A+∠ABC+∠C=180°. 证法四:如答图4所示,在BC上取一点D,过D分别作AB、AC的平行线交AC、AB于E、F,则有四边形AFDE为平行四边形,所以∠FDE=∠A,∠EDC=∠B,∠FDB=∠C. ∵∠EDC+ ∠FDE+∠FDB=180°,∴∠A+∠B+∠C=180°. (三) 13.解:方案(2):若这个角是两边的夹角,则这两个三角形全等. 方案(3):若这个角是直角,则这两个三角形全等. 方案(4):若这两个三角形是锐角三角形,则这两个三角形全等. 五、14.D 15.B 16.C 17.A、D 18.B 19.B 20.C 更多资料请访问http://www.maths.name