2008-2009学年度山东潍坊市高密初中学段第一学期九年级期末考试数学试卷
（时间：90分钟）
一、选择题（共12个小题，每小题3分，共36分）
1．下列各式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）．
A．“明大降雨的概率是80％”表示明天有80％的时间降雨
B．“抛一枚硬币正面朝上的概率是表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上
C．“彩票中奖的概率是1％”表示买100张彩票一定会中奖
D．“抛一枚正方体骰子朝正面的数为奇数的概率是表示如果这个骰子抛很多很多次，那么平均每2次就有1次出现朝正面的数为奇数
3．已知二次根式与是同类二次根式，则的值可以是（ ）
A．5 B． C．7 D．8
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB的垂直平分线MN交AC于D，连结BD，若，则BC的长是（ ）
A．4 B． C．8 D．10
5．一个布袋里装有3个红球、2个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是（ ）．
A． B． C． D．
6．如果方程组只有一个实数解，那么的值为（ ）
A． B． C． D．0
7．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（ ）
8．如图，已知∠ACB=∠CBD=90°，BC=，AC=，当CD=（ ）时，△CDB∽△ABC．
A． B． C． D．
9．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网的位置上，则球拍击球的高度h为（ ）米。．
A． B． C． D．
10．坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离为，则两树间的坡面距离为（ ）
A． B．米 C．米 D．米
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE:EB=4:1，EF⊥AC于F，连结FB，则tan∠CFB的值等于（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：
①△AED≌△AEF； ②△ABE∽△ACD； ③BE+DC=DE； ④BE2+DC2=DE2
其中正确的是
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
二、填空题（共8个小题，每个小题3分，共24分）
13．一元二次方程的解是________．
14．若，则=________．
15．某山路的路面坡度，沿此山路向上前进200，升高了________．
16．如图，点A1、A2、A3、A4在射线OA上，点B1、B2、B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3．若△A2B1B2、△A3B2B3的面积分别为1、4，则图中三个阴影三角形面积之和为________．
17．有大小、形状、颜色完全相同的5个乒乓球，每个球上分别标有数字1、2、3、4、5中的一个，将这5个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是________．
18．如图，共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分．现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是________．
19．已知关于的方程两个根是互为相反数，则的值为____．
20．如图，小明同学从A地沿北偏两60°方向走到B地，再从B地向正南方向走到达C地，此时小明同学离A地________米．
三、解答题（共6个小题，满分60分）
21．（本题满分8分）
计算
22．（本题满分10分）
如图，河流的两岸PQ、MN互相平行，河岸MN上有一排间隔为50的电线杆C、D、E、…，某人在河岸PQ的A处测得∠CAQ=30°，然后沿河岸走了110到达B处，测得∠DBQ=45°，求河流的宽度（结果可带根号）
23．（本题满分10分）
如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB=cos∠DAC，
（1）求证：AC=BD；
（2）若，BC=12，求AD的长．
24．（本题满分10分）
如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF．
（1）求证：EF∥BC．
（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．
25．（10分）有三张卡片（背面完全相同）分别写有，把它们背面朝上洗匀后，小军从中抽取一张，记下这个数后放回洗匀，小明又从中抽出一张．
（1）两人抽取的卡片上都是的概率是________．
（2）李刚为他们俩设定了一个游戏规则：若两人抽取的卡片上两数之积是有理数，则小军获胜，否则小明获胜，你认为这个游戏规则对谁有利?请用列表法或树状图进行分析说明．
26．课题研究（12分）
（1）如图（1），我们已经学习了直角三角形中的边角关系，在Rt△ACD中sin∠A=_____，所以CD=________，而S△ABC=AB·CD，于是可将三角形面积公式变形，得S△ABC=_____．①其文字语言表述为：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半．这就是我们将要在高中学习的正弦定理．
（2）如图（2），在△ABC中，CD⊥AB于D，∠ACD=，∠DCB=．
∵S△ABC=S△ADC+ S△BDC，由公式①，得
即 ②
请你利用直角三角形边角关系，消去②中的AC、BC、CD，将得到新的结论．并写出解决过程．
（3）利用（2）中的结论，试求sin75°和sin105°的值，并比较其大小。
2008-2009学年度潍坊市高密初中学段第一学期九年级期末考试
数学试卷参考答案
一、选择题（共12个小题，每小题3分，共36分）
1-5 ADBAC 6-10 BBDCC 11-12 CB
二、填空题（共8个小题，每个小题3分，共24分）
13．
14．
15．10
16．10.5
17．
18．
19．-3
20．
三、解答题（共6个小题，满分60分）
21．（本题满分8分）原式=10
22．（本题满分10分）
解：过D作DH∥CA交PQ于H。过D作DG⊥PQ，垂足为G．
∵PQ∥MN．
∴四边形CAHD是平行四边形．
∴AH=CD=50，∠DHQ=∠CAQ=30°．
在Rt△DBG中，
∵∠DBG=∠BDG=45°
∴BG=DG．
设BG=DG=
在Rt△DHG中得HG=，又BH=AB-AH=110-50=60
∴
∴（米）
∴河流的宽为米
23．（本题满分10分）
解：（1） ∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC
∴∠ADB=90°，∠ADC=90°．
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵
又已知tanB=cos∠DAC
∴
∴AC=BD
（2）在Rt△ADC中，，故可设AD=12，AC=13
∴
∵BC=BD+CD，又AC=BD，
∴BC=13+5=18
由已知BC=12，
∴18=12
∴
∴AD=12=12=8
24．（本题满分10分）
（1）证明：
∵CF平分∠ACB
∴∠1=∠2．
又∵DC=AC．
∴CF是△ACD的中线．
∴点F是AD的中点．
∵点E是AB的中点．
∴EF∥BD．
即EF∥BC．
（2）解：由（1）知，EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD．
∴
又∵AE=AB．
∴
∴
∴
∴△ABD的面积为8．
25．（本题满分10分）
解：（1） （4分）概率都是．
（2） （6分）由表可以看出：出现有理数的次数为5次．出现无理数的次数为4次，所以小军获胜的概率是>小明的，此游戏规则对小军有利．（使用树状图也行）
26．解．（1）
（2）ACsin∠A
（2）把两边同除以AC·BC，得
在Rt△BCD和Rt△ACD中分别可得：
∴
（3）
由此可见：sin75°=sin105°