平谷区2010～2011学年度第一学期末考试试卷
初 三 数 学 2011年1月
一、选择题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
下列各小题均有4个选项，其中只有一个选项是正确的，请你把正确答案的字母序号填在下表中相应的题号下面。
1．如果，那么的值是
A． B． C． D．
2．反比例函数（k≠0）的图象过点（2，-2），则此函数的图象在直角坐标系中的
A．第二、四象限 B．第一、三象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC＝12，则sinB的值是
A． B． C． D．
4．如图,点C、O在线段AB上，且AC=AO=OB=5,过点A作
以BC为直径的⊙O切线，D为切点，则AD的长为
A．5 B．6
C． D．10
第4题
5．在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有4个红球且摸到红球的概率为，那么口袋中球的总数为
Ａ．12个 Ｂ．9个 Ｃ．6个 Ｄ．3个
6．已知点与点都在反比例函数的图象上，则m与n的关系是
A． B．
C． D．不能确定
7．如图，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C
两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8．如图，等边△ABC的边长为3，点P为BC边上一点，
且BP=1，点D为AC上一点；若∠APD=60°，则CD
长是
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
二、填空题（本题共5道小题，每小题3分，共15分）
9．将二次函数化为的形式，结果为
y= ．
10．已知两个相似三角形的周长比是1:3，它们的面积比是 ．
11．已知抛物线与y轴交于点C,则点C的坐标是（ ）；若
点C′是点C关于该抛物线的对称轴对称的点，则点的坐标是（ ）.
12．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若
AD：DB=1：2，AE=2，则AC= ．
13.如图，⊙O的半径为2，是函数的图象， 是函数的图象，是函数y=x的图象，则阴影部分的面积是 ．
三、解答题（本题共5道小题，每小题5分，共25分）
14．计算：
解：
15．当时，求代数式的值.
解：
16. 如图，是⊙O的一条弦，，垂足为，交⊙O于点，
点在⊙O上．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
解：
17．如图，在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为，点在第一象限内，，．
求：（1）点的坐标；（2）的值．
解：（1）
（2）
18. 如图，在中，，在边上取一点，使，过作交于，．求的长．
解：
四、解答题（本题共2道小题，每小题5分，共10分）
19．小红和小慧玩纸牌游戏．如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小慧从剩余的3张牌中也抽出一张．
（1）请用树状图表示出两人抽牌可能出现的所有结果；
（2）求抽出的两张牌都是偶数的概率．
解：
20. 已知二次函数图象的顶点是，且过点．
（1）求二次函数的表达式，并在右面的网格中画出它的图象；
（2）说明对于任意实数，点在不在这个
二次函数的图象上．
解：
五、解答题（本题共2道小题，每小题5分，共10分）
21. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，CD＝4，
AB=10，.
求BC的长.
解：
22. 已知：如图，AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D，
过D作DE⊥AC于点E.
求证：DE是⊙O的切线；
如果⊙O的半径为2，sin∠B=,求BC的长.
（1）证明：
六、解答题（本题共2道小题，每小题5分，共10分）
23. 如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数的图象
经过点B.
(1) 求k的值；
（2）将正方形OABC分别沿直线AB，BC翻折，得到正方形MABC′和NA′BC.设线段MC′，NA′分别与函数的图象交于点F，E. 求线段EF所在直线的解析式.
解：
24.已知：抛物线经过点．
（1）求的值；
（2）若，求这条抛物线的顶点坐标；
（3）若，过点作直线轴，交轴于点，交抛物线于另一点，且，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．（提示：请画示意图思考）
解：
七、解答题（本题6分）
25. △ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，把一个三角板的直角顶点放在点D处，将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB、AC于E、F .
（1）如图1，观察旋转过程，猜想线段AF与BE的数量关系并证明你的结论；
（2）如图2，若连接EF，试探索线段BE、EF、FC之间的数量关系，直接写出你的结论（不需证明）；
（3）如图3，若将“AB=AC，点D是BC的中点”改为：“∠B=30°，AD⊥BC于点D”，其余条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不成立，请探索关于AF、BE的比值.
解：
平谷区2010～2011学年度第一学期末初三数学试卷
参考答案及评分参考 2011年1月
一、选择题（共8个小题，每小题3分，共24分）
二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）
9.； 10．1:9； 11．(0,),； 12.6； 13. .
三、解答题（本题共5个小题，每小题5分，共25分）
14．计算：
解：原式=………………………..…………….4分
…………………………………………………………5分
15．当时，求代数式的值.
解：
= …………………………………………………………2分
= …………………………………………………………………………….3分
当时，
原式……………………………………………………..5分
16. 解：（1），
∴ . ………………………………………1分
………………….2分
（2），
. …………………………………...3分
∵为直角三角形，
OC=3，，
由勾股定理,可得. ……..…………………….4分
. ……….………………………………………………………5分
17. 解：（1）如图，作，垂足为，…………………………………1分
在中，，，
．
．……………………………… 2分
点的坐标为．……………………3分
（2），，．
在中，，．………………………………………… 4分
．（得不扣分）………………………………….5分
18. 解：在中，
．………………………1分
又，
．
，
．
又，
．………………………………………….……………………3分
．……………………………………………………………….………4分
．……………………………..……………………5分
四、解答题（本题共2道小题，每小题5分，共10分）
19．解： (1) 树状图为：
…………………….…………….２分
共有12种可能结果． ……………………………………………………….…….3分
（2）∵ 两张牌的数字都是偶数有6种结果
∴ P（偶数）==．…………………………………..……………………….5分
20.解：（1）依题意可设此二次函数的表达式为，
又点在它的图象上，可得，解得．………………………. 1分
所求为．…………………… 2分
令，得
画出其图象如右．……………………………….. 3分
（2）若点在此二次函数的图象上，
则．………………………4分
得．
方程的判别式：，该方程无解．
所以点不在此二次函数的图象上．………………………5分
五、解答题（本题共2道小题，每小题5分，共10分）
21. 解：作CE⊥AB于E, ……………………..1分
∵AB∥CD，∠A＝90°
∴四边形AECD是矩形.
∴AE=DC=4. …………………………………..2分
∵AB=10，
∴BE=6. ………………………………………. 3分
在Rt△BEC中，
∵ ，BE=6.
∴CE=4. ……………………………………………………………………………….4分
由勾股定理，得
∴ …….………………………………………………………………5分
22. (1) 证明：连结OD，AD.
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°………………………………1分
∴ AD⊥BC.
∵ AB=AC,
∴ BD=DC.
∵ OA=OB,
∴ OD是△ABC的中位线. ………………………………………….…………2分.
∴ OD∥AC.
∵ DE⊥AC,
∴ OD⊥DE.
∴ DE是⊙O的切线………………………………………………………………3分.
(2) 解：∵sin∠B=,
∴∠B =30°.
∵ AB=4，
∴ BD=………………………………………………4分
∵ BD=DC.
∴ BC =4. ……………………………………………………………………….5分
六、解答题（本题共2道小题，每小题5分，共10分）
23.解：(1) ∵ B（2,2），
∴ k= 4 ………………………………………1分
(2) 由翻折可知，M（4,0）N（0,4）
可求得F（4,1），E（1,4）………………….3分
设直线EF的解析式为，
可求得 …………………………..…………………………………………..…..4分
所以，线段EF所在直线的解析式为……………………………………5分
24.解：（1）依题意得：，
．…………………………………………………..1分
（2）当时，，
抛物线的顶点坐标是．……………………………2分
（3）当时，抛物线对称轴，
对称轴在点的左侧．
因为抛物线是轴对称图形，且．
…………….…………………………………………………………….3分
．
．………………………………………………………………………………………4分
又，．
抛物线所对应的二次函数关系式．……………………………………..5分
七、解答题（本题6分）
25 .解：（1）结论：AF=BE. ………………………………………………….1分
证明：连接AD，
∵ AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC的中点
∴ AD=BD=DC=BC ，∠ADB=∠ADC=90°,
∴ ∠B=∠C=∠1=∠2=45°.
∴ ∠3+∠5==90°.
∵ ∠3+∠4==90°,
∴ ∠5=∠4
∵ BD=AD,
∴ △BDE≌△ADF.
∴ BE=AF. ………………………………………………………………………3分
（2）…………………………………………………………4分
（3）（1）中的结论BE=AF不成立. ……………………………………… 5分
∵ ∠B=30°，AD⊥BC于点D，∠BAC=90°,
∴ ∠3+∠5==90°， ∠B+∠1==90°.
∵ ∠3+∠4==90°，∠1+∠2==90°
∴ ∠B=∠2 ， ∠5=∠4.
∴ △BDE∽△ADF.
∴ .………………………………………………… 6分