平谷区2014～2015学年度第一学期末考试试卷
初 三 数 学 2015年1月
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下列各小题均有4个选项，其中只有一个选项是正确的.
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则的值是
A． B． C． D．
2．将抛物线向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式为
A． B． C． D．
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则是
A． B． C． D．
4．如图，已知A、B、C三点在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为
A．50° B．25° C．75° D．100°
5．在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号为偶数的概率为
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF=80°，则图中阴影部
分的面积为
A．4 B．
C． D．
7．若关于的二次函数的图象与x轴仅有一个公共点，则k的取值范围是
A． B． C． D．
8．如图反映的过程是：矩形中，动点从点出发，依次沿对角线、边、边运动至点停止，设点的运动路程为， ．则矩形的周长是
A．6 B．12 C．14 D．15
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．在函数中，自变量的取值范围是 ．
10．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 米．
11．请写出一条经过原点的抛物线解析式 ．
12．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．设坐标轴的单位长度为1cm，整点P从原点O出发，作向上或向右运动，速度为1cm/s．当整点P从原点出发1秒时，可到达整点（1,0）或（0,1）；当整点P从原点出发2秒时，可到达整点（2,0）、（0,2）或 ；当整点P从原点出发4秒时，可以得到的整点的个数为 个．当整点P从原点出发n秒时，可到达整点（x,y），则x、y和n的关系为 ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．
（1）求证：△ABC∽△DAE；
（2）若AB=8，AD=6，AE=4，求BC的长．
14．计算：．
15．如图，小明要测量河内小岛B到河边公路AD的距离，在A点测得，在C点测得，又测得米，求小岛B到公路AD的距离．
16．我区某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内
温度y(℃)随时间x (小时)变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分．请根据图中信息解答下列问题：
（1）恒温系统在这天保持大棚内温度的时间有 小时；
（2）求k的值；
（3）当x=16时，大棚内的温度约为 度．
17．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于点E．
连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO=∠BCD．
（2）若BE=3，CD=8，求⊙O的直径．
18．如图，抛物线经过点A、B、C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线和x轴的另一个交点为D，求△ODC的面积．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结AP、CP，
延长CP交AD于E，交BA的延长线于F．
（1）求证：∠DCP=∠DAP；
（2）若AB=2，DP:PB=1:2，且PA⊥BF，求对角线BD的长．
20．如图，BC为⊙O的直径，以BC为直角边作Rt△ABC，∠ACB=90°，斜边AB与⊙O交于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，DG⊥BC于点F，交⊙O于点G．
（1）求证：AE=CE；
（2）若AD=4，AE=，求DG的长．
21．如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于A、B两点，且与反比例函数的图象在第二象限交于点C．如果点A的坐标为，OA=2OB，点 B是AC的中点．
（1）求点C的坐标；
（2）求一次函数和反比例函数的解析式．
②线段AD，BE之间的数量关系为 ；
（2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请求出点A到BP的距离．
平谷区2014～2015学年度第一学期末考试试卷答案及评分标准
初 三 数 学 2015年1月
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．；10．5；11．答案不唯一，如：；
12．（1,1）；……………………………………………………………………………………1分
5； ………………………………………………………………………………………2分
x+y=n………………………………………………………………………………………4分
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．（1）证明：∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠CAB．……………………………………1分
∵∠B=∠DAE，
∴△ABC∽△DAE．…………………… ……………3分
（2）∴．………………………………………4分
∵AB=8，AD=6，AE=4，
∴．
∴．…………………………………………5分
14．解：
……………………………………………………………………………4分
………………………………………………………………………………………5分
15．解：过B作BE⊥AD于E
∵，，
∴．……………………………………1分
∴．…………………………2分
∴BC = AC=50（米）．…………………………………3分
在Rt△BCE中，．
∴（米）． ………………………………………………………………………4分
答：小岛B到公路AD的距离是米．…………………………………………………5分
16．解：（1）恒温系统在这天保持大棚温度的时间为 10 小时．………………1分
（2）∵点B(12，18)在双曲线上， …………………………………………2分
∴18=，
∴k=216. ………………………………………………………………………3分
（3）当x=16时，，…………………………………………………4分
所以当x=16时，大棚内的温度约为 13.5 度．……………………………………5分
17．证明：(1)∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于E，
∴CE=ED， .………………………1分
∴BCD=BAC.
∵OA=OC,
∴OAC=OCA .
∴ACO=BCD. …………………………2分
(2) ∵CE=ED=4，……………………………3分
方法一：在RtBCE中，.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠BEC=90°.
∵∠B=∠B，
∴△CBE∽△ABC．………………………………………………………………4分
∴．
∴.………………………………………………………………5分
方法二：设⊙O的半径为Rcm，则OE=OBEB=R-3
在RtCEO中，由勾股定理可得
OC=OE+CE 即R= (R3) +4
解得 R=………………………………………………………………………4分
∴2R=2=………………………………………………………………5分
答：⊙O的直径为．
18．解：（1）由题意知，，
设抛物线的解析式为．………………1分
把代入，解得a=1．……………………………2分
∴．………………………3分
（2）∵对称轴x=1，
∴点D的坐标为．………………………………………………………………………4分
∴．…………………………………………………………………………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AD，∠CDP=∠ADP．
∵DP=DP，
∴△CDP≌△ADP．……………………………………………………………………………1分
∴∠DCP=∠DAP． ……………………………………………………………………………2分
（2）解：∵CD∥BA，
∴△CDP∽△FPB．
∴．……………………………………3分
∵CD=BA，
∴BA=AF．
∵PA⊥BF，
∴PB=PF．………………………………………………4分
∴∠PBA=∠PFA．
∴∠PCD=∠PDC．
∴PD =PC=PA．
∴BD=BP+PD．
∵，
∴．
在Rt△ABP中，，
∵AB=2，
∴，．
∴．…………………………………………………………………………………5分
20．（1）证明：连结CD，
∵BC为⊙O的直径，∠ACB=90°，
∴AC是⊙O的切线.
又∵DE与⊙O相切，
∴ED=EC. ……………………………1分
∴∠1=∠3.
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°.
∵∠1+∠2=∠3+∠A=90°,
∴∠A=∠2.
∴ED=EA.
∴AE=CE. ………………………………………………………………………………………2分
（2）解：∵AE=,
∴AC=2AE=．
在Rt△ACD中，.…………………………………………………3分
∴
∵∠3+∠4=∠3+∠A=90°,
∴∠A=∠4.
∴
∴…………………………………………………………………………………4分
∵DG⊥BC于点F，
∴DG=2DF=．……………………………………………………………………………5分
21．解：⑴作CD⊥轴于D，
∴CD∥BO．
∵OA=2OB，
∴OB=2．
∴．………………………………………1分
∵点B是AC的中点，
∴O是AD的中点．………………………………2分
∴OD=OA=4，CD=2OB=4．
∴点C的坐标为．………………………3分
⑵设反比例函数的解析式为，
∴．
∴所求反比例函数的解析式为．……………………………………………………4分
设一次函数为，
∵A（4,0），C ，
∴ 解得： ．
∴所求一次函数的解析式为．…………………………………………………5分
22．解：（1）S△ABD：S△ABC= 1：2 ；………………………………………………………1分
（2）如图，作OM⊥BC于M，作AN⊥BC于N，
∴OM∥AN．
∴△OMD∽△AND．……………………………………2分
∴．
∵AD=nOD；
∴
∵，
∴．……………………………………………………………………3分
（3）…………………………………………………………………4分
． ………………………………………………………………5分
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．解:（1）证明：
.……………………………………………………………………………………1分
∵二次函数有两个不重合的零点
∴…………………………………………………………………………2分
∵
∴当且时，二次函数有两个不重合的零点． …………………………………3分
（2）解方程得：,
∴或．…………………………………………………………………………4分
∵函数的两个零点都是整数，是整数，
∴是整数．
∴． ……………………………………………………………………………………5分
（3）∵k<0，
∴．
∴，．
∵函数的两个零点分别是A，B（点A在点B的左侧），
∴，．
∴平移后的点为，．
平移后的解析式为．
∴ 解得 ，………………………………………………………6分
解得 ．
∴．……………………………………………………………………………………7分
24．解：（1）∵抛物线过点A，B，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：.…………………………………………………1分
∴C．……………………………………………………………………………………2分
（2）方法一：∵
∴∠ACO=∠OBC．
∴∠ACO+∠OCB=90°，即∠ACB=90°，
∴．…………………………………………………………………………………3分
由抛物线的对称性可知，
∴当﹣1＜m＜0或3＜m＜4时，∠APB为钝角．…………………………………………5分
方法二：以AB为直径作圆M，与y轴交于点P.则抛物线在圆内的部分，能是∠APB为钝角，
∴M（，0），⊙M的半径=．
在Rt△OMP中，∴．
∴．……………………………………3分
以下同方法一.
(3)在Rt△OBC中，.
第一种情况：过A作AP∥BC，交抛物线于点P .
∴∠PAB=∠ABC.
过P作PQ⊥AB于Q，
∴.
∵P（m，n）,
∴PQ=n，AQ=m+1
∴.
∴.
解得
∴………………………………………………6分
第二种情况：
方法一：点P关于x轴的对称点的坐标为
∴直线AP″的解析式为
∴解得
∴……………………………………………………………………………………7分
方法二：假设∠P’AB=∠ABC，交抛物线于点P’ .
过P’作P’Q’⊥AB于Q’，
∴.
∵P（m，n）,
∴P’Q’=﹣n，AQ’=m+1
∴.
∴.
解得
∴………………………………………7分
∴
25．解：（1）①60°．…………………………………………………………………………1分
②AD=BE．……………………………………………………………………………………2分
（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．
理由：如图2，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE．……………………………………………………………………………3分
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°．
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．……………………………………………………………4分
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME．
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM．
∴AE=AD+DE=BE+2CM．……………………………………………………………………5分
（3）方法一：∵CD=，
∴BD=2．
第一种情况：当点P在BD上方时
∵PD=1，∠BPD=90°
∴∠PBD=30°．
∴∠PBA=∠PDA=15°．
在BP上截取BE=PD，
∴△ABE≌△ADP．
∴AE=AP，∠PAD=∠EAB
∵∠BAE+∠EAD=90°，
∴∠PAD +∠EAD=90°．
即∠EAP=90°．…………………………………6分
过A作AH⊥BP于H，
由（2）可知，BP=DP+2AH.
∴AH=.…………………………………7分
第二种情况：当点P在BD下方时
同理可得：BP’=2AH’﹣P’D．
∴AH=.…………………………………………………………………………………8分
方法二：∵PD=1，
∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．
∵∠BPD=90°，
∴点P在以BD为直径的圆上．
∴点P是这两圆的交点．
①当点P在如图3①所示位置时，
连接PD、PB、PA，作AH⊥BP于H，
过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①．
∵四边形ABCD是正方形，w!w!w.!x!k!b!1.com
∴∠ADB=45°，CD=，∴BD=2．
∵DP=1，∴BP=．
∵A、P、D、B四点共圆，∴∠APB=∠ADB=45°．
∴△PAE是等腰直角三角形．…………………………………………………………………6分
又∵△BAD是等腰直角三角形， AH⊥BP，
∴由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD．
∴AH=．…………………………………7分
②当点P在如图3②所示位置时，
连接PD、PB、PA，作AH⊥BP于H，
过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②．
同理可得：BP=2AH﹣PD．
∴AH=．……………………………………8分
综上所述：点A到BP的距离为或．
以上答案仅供参考，其它解法按相应步骤给分！