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怀柔区初三数学期末试题及答案

试卷简介

这份试卷是怀柔区2015-2016学年第一学期初三期末质量检测的数学试卷。试卷分为选择题、填空题和解答题三个部分,总分120分。选择题包括10个小题,每题3分,主要考察学生的基础知识和基本技能;填空题共6个小题,每题3分,考查学生的综合运用能力;解答题共72分,包括计算、证明、应用等多种类型的题目,全面检验学生的数学思维和解决问题的能力。

所涉及的知识点

- 科学记数法的应用 - 相似三角形及其性质 - 反比例函数的解析式及性质 - 锐角三角函数的概念及其应用 - 抛物线的平移变换及其表达式 - 圆的基本性质及应用 - 解直角三角形的方法 - 函数的综合应用(包括最大面积问题)

怀柔区2015—2016学年第一学期初三期末质量检测

数 学 试 卷

一.选择题(共有10个小题,每小题3分,共30分)

下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.

1.我市南水北调配套工程建设进展顺利,工程运行调度有序.截止2015年12月底,已累计接收南水北调来水812000000立方米.使1100余万市民喝上了南水;通过“存水”增加了约550公顷水面,密云水库蓄水量稳定在10亿立方米左右,有效减缓了地下水位下降速率. 将812000000用科学记数法表示应为

A.812×106 B.81.2×107 C.8.12×108 D.8.12×109

2. 实数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图所示,这四个数中,相反数最大是

A.a B.b C.c D.d

3. 如图,在△ABC中,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.若AD=2,DB=4,则的值为

A. B. C. D.

4. 若△ABC∽△A′B′C′,相似比为1:2,则△ABC与△A′B′C′的面积的比为

A.1:2 B. 2:1 C.1:4 D.4:1

5. 二次函数y=(x﹣1)2+2的最小值为(  )

A.1 B. -1 C.2 D.-2

6. 将抛物线向上平移2个单位,则得到的抛物线表达式为

A. B. C. D.

7. 已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则cosA的值为(  )

  A. B. C. D.

8. 如图是拦水坝的横断面,斜坡AB的水平宽度为12米,斜面坡度为1:2,则斜坡AB的长为

A.4米 B.6米 C. 12米 D. 24米

9. 如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠ACO=45°,则∠B的度数为(  )

A.30° B. 35° C. 40° D. 45°

10.小刚在实践课上要做一个如图1所示的折扇,折扇扇面的宽度AB是骨柄长OA的,折扇张开的角度为120°.小刚现要在如图2所示的矩形布料上剪下扇面,且扇面不能拼接,已知矩形布料长为24cm,宽为21cm.小刚经过画图、计算,在矩形布料上裁剪下了最大的扇面,若不计裁剪和粘贴时的损耗,此时扇面的宽度AB为( )

A. 21cm B.20 cm C. 19cm D. 18cm

二、填空题(本题共6个小题,每小题3分,共18分)

11.4的平方根是 .

12.不等式组的正整数解是 .

13.如图,tan∠ABC= .

14.写出一个抛物线开口向上,与y轴交于(0,2)点的函数表达式 .

15. 已知⊙O的半径2,则其内接正三角形的面积为 .

16. 学校组织社会大课堂活动去首都博物馆参观,明明提前上网做了功课,查到了下面的一段文字:

首都博物馆建筑本身是一座融古典美和现代美于一体的建筑艺术品,既具有浓郁的民族特色,又呈现鲜明的现代感.首都博物馆建筑物(地面以上)东西长152米、南北宽66米左右,建筑高度41米.建筑内部分为三栋独立的建筑,即:矩形展馆,椭圆形专题展馆,条形的办公科研楼.椭圆形的青铜展馆斜出墙面寓意古代文物破土而出,散发着浓郁的历史气息.

明明对首都博物馆建筑物产生了浓厚的兴趣,站到首都博物馆北广场,他被眼前这座建筑物震撼了.整个建筑宏大壮观,斜出的青铜展馆和北墙面交出一条抛物线,抛物线与外立面之间和谐、统一,明明走到过街天桥上照了一张照片(如图所示).明明想了想,算了算,对旁边的文文说:“我猜想这条抛物线的顶点到地面的距离应是15.7米左右.” 文文反问:“你猜想的理由是什么”?明明说:“我的理由是 ”. 明明又说:“不过这只是我的猜想,这次准备不充分,下次来我要用学过的数学知识准确的测测这个高度,我想用学到的 知识, 我要带 等测量工具”.

三、解答题(本题共72分,第17—25题,每小题5分,第26题8分,第27题6分,第28题6分,第29题7分)

17. 计算:.

18. 已知,求代数式的值.

19.已知如图,△ABC中,AE交BC于点D,∠C=∠E,AD:DE=3:5,AE=8,BD=4,求DC的长.

20.如图,一次函数y1=﹣x+2的图象与反比例函数y2=的图象相交于A,B两点,点B的坐标为(2m,-m).

(1)求出m值并确定反比例函数的表达式;

(2)请直接写出当x<m时,y2的取值范围.

21.已知如图,在△ABC中,∠A=30°,∠C=105°,AC=,求AB的长.

22. 已知如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,连接AC.若∠A=22.5°,CD=8cm,求⊙O的半径.

23. 如图,在数学实践课中,小明为了测量学校旗杆CD的高度,在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB,测得旗杆顶端D的仰角为32°,AC为22米,求旗杆CD的高度.(结果精确到0.1米.参考数据:sin32°= 0.53,cos32°= 0.85,tan32°= 0.62)

24. 如图,已知AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PD切⊙O于点D,过点B作BE垂直于PD,交PD的延长线于点C,连接AD并延长,交BE于点E.

(1)求证:AB=BE;

(2)若PA=2,cosB=,求⊙O半径的长.

25.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=xm.

(1)若花园的面积为192m2,求x的值;

(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求x取何值时,花园面积S最大,并求出花园面积S的最大值.

26.在“解直角三角形”一章我们学习到“锐角的正弦、余弦、正切都是锐角的函数,统称为锐角三角函数” .

小力根据学习函数的经验,对锐角的正弦函数进行了探究. 下面是小力的探究过程,请补充完成:

(1)函数的定义是:“一般地,在一个变化的过程中,有两个变量x和y,对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确定的值和它对应,我们就把x称为自变量,y称为因变量,y是x的函数”.由函数定义可知,锐角的正弦函数的自变量是 ,因变量是 ,自变量的取值范围是___________.

(2)利用描点法画函数的图象. 小力先上网查到了整锐角的正弦值,如下:

sin1°=0.01745240643728351 sin2°=0.03489949670250097 sin3°=0.05233595624294383

  sin4°=0.0697564737441253 sin5°=0.08715574274765816 sin6°=0.10452846326765346

  sin7°=0.12186934340514747 sin8°=0.13917310096006544 sin9°=0.15643446504023087

  sin10°=0.17364817766693033 sin11°=0.1908089953765448 sin12°=0.20791169081775931

  sin13°=0.22495105434386497 sin14°=0.24192189559966773 sin15°=0.25881904510252074

  sin16°=0.27563735581699916 sin17°=0.2923717047227367 sin18°=0.3090169943749474

  sin19°=0.3255681544571567 sin20°=0.3420201433256687 sin21°=0.35836794954530027

  sin22°=0.374606593415912 sin23°=0.3907311284892737 sin24°=0.40673664307580015

  sin25°=0.42261826174069944 sin26°=0.4383711467890774 sin27°=0.45399049973954675

  sin28°=0.4694715627858908 sin29°=0.48480962024633706 sin30°=0.5000000000000000

  sin31°=0.5150380749100542 sin32°=0.5299192642332049 sin33°=0.544639035015027

  sin34°=0.5591929034707468 sin35°=0.573576436351046 sin36°=0.5877852522924731

  sin37°=0.6018150231520483 sin38°=0.6156614753256583 sin39°=0.6293203910498375

  sin40°=0.6427876096865392 sin41°=0.6560590289905073 sin42°=0.6691306063588582

  sin43°=0.6819983600624985 sin44°=0.6946583704589972 sin45°=0.7071067811865475

  sin46°=0.7193398003386511 sin47°=0.7313537016191705 sin48°=0.7431448254773941

  sin49°=0.7547095802227719 sin50°=0.766044443118978 sin51°=0.7771459614569708

  sin52°=0.7880107536067219 sin53°=0.7986355100472928 sin54°=0.8090169943749474

  sin55°=0.8191520442889918 sin56°=0.8290375725550417 sin57°=0.8386705679454239

  sin58°=0.848048096156426 sin59°=0.8571673007021122 sin60°=0.8660254037844386

  sin61°=0.8746197071393957 sin62°=0.8829475928589269 sin63°=0.8910065241883678

  sin64°=0.898794046299167 sin65°=0.9063077870366499 sin66°=0.9135454576426009

  sin67°=0.9205048534524404 sin68°=0.9271838545667873 sin69°=0.9335804264972017

  sin70°=0.9396926207859083 sin71°=0.9455185755993167 sin72°=0.9510565162951535

  sin73°=0.9563047559630354 sin74°=0.9612616959383189 sin75°=0.9659258262890683

  sin76°=0.9702957262759965 sin77°=0.9743700647852352 sin78°=0.9781476007338057

  sin79°=0.981627183447664 sin80°=0.984807753012208 sin81°=0.9876883405951378

  sin82°=0.9902680687415704 sin83°=0.992546151641322 sin84°=0.9945218953682733

  sin85°=0.9961946980917455 sin86°=0.9975640502598242 sin87°=0.9986295347545738

sin88°=0.9993908270190958 sin89°=0.9998476951563913

①列表(小力选取了10对数值);

②建立平面直角坐标系(两坐标轴可视数值需要分别选取不同长度做为单位长度);

③描点.在平面直角坐标系xOy 中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点;

④连线. 根据描出的点,画出该函数的图象;

(3)结合函数的图象,写出该函数的一条性质: .

27.已知:抛物线与轴分别交于点A(-3,0),B(m,0).将y1向右平移4个单位得到y2.

(1)求b的值;

(2)求抛物线y2的表达式;

(3)抛物线y2与轴交于点D,与轴交于点E、F(点E在点F的左侧),记抛物线在D、F之间的部分为图象G(包含D、F两点),若直线与图象G有一个公共点,请结合函数图象,求直线与抛物线y2的对称轴交点的纵坐标t的值或取值范围.

28. 如图1,点O在线段AB上,AO=2,OB=1,OC为射线,且∠BOC=60°,动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发,沿射线OC做匀速运动,设运动时间为t秒.

(1)当t=秒时,则OP=      ,S△ABP=            ;

(2)当△ABP是直角三角形时,求t的值;

(3)如图2,当AP=AB时,过点A作AQ∥BP,并使得∠QOP=∠B,求证:AQ·BP=3.为了证明AQ·BP=3,小华同学尝试过O点作OE∥AP交BP于点E.试利用小华同学给我们的启发补全图形并证明AQ·BP=3.

29.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点A(,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C.

求抛物线的表达式;

点P从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点Q从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度向C点运动.其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动.当△PBQ存在时,求运动多少秒使△PBQ的面积最大,最大面积是多少?

当△PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点K,使,求K点坐标.

2015—2016学年度第一学期期末初三质量检测

数学试卷答案及评分标准

一、选择题(每小题有且只有一个选项是正确的,请把正确的选项前的序号填在相应的表格内. 本题共有10个小题,每小题3分,共30分)

二、填空题(本题共6个小题,每小题3分,共18分)

11.. 12. 1,2. 13.. 14. a>0,c=2,答案不唯一. 15. 3. 16. 黄金分割,解直角三角形(答案不唯一),测角仪、皮尺(答案不唯一).

三、解答题(本题共72分,第17—25题,每小题5分,第26题8分,第27题6分,第28题6分,第29题7分)

17.解:原式= ……………………………………………………4分

=2 ………………………………………………………………………5分

18.解:

= ……………………………………………………2分

=. …………………………………………………………………3分

∵,

∴,

∴原式=3+4=7. ………………………………………………………………… 5分

19.解:∵∠C=∠E,∠ADC=∠BDE,

△ADC∽△BDE,………………………………………………… 2分

∴,

又∵AD:DE=3:5,AE=8,

∴AD=3,DE=5,…………………………………………………………………… 3分

∵BD=4,……………………………………………………………………………… 4分

∴,

∴DC=.……………………………………………………………………………… 5分

20.解:(1)∵据题意,点B的坐标为(2m,-m)且在一次函数y1=﹣x+2的图象上,代入得-m=-2m+2.

∴m=2. ……………………………………………………… 1分

∴B点坐标为(4,-2)………………………………………… 2分

把B(4,﹣2)代入y2=得k=4×(﹣2)=﹣8,

∴反比例函数表达式为y2=﹣;…………………………………………………… 3分

(2)当x<4,y2的取值范围为y2>0或y2<﹣2.……………………………… 5分

21.

解:在△ABC中,∠A=30°,∠C=105°

∴∠B=45°,…………………………………………………… 1分

过C作CD⊥AB于D,

∴∠ADC=∠BDC=90°,

∵∠B=45°,

∴∠BCD=∠B=45°,

∴CD=BD,…………………………………………………… 2分

∵∠A=30°,AC=2,

∴CD=,…………………………………………………… 3分

∴BD=CD=,

由勾股定理得:AD==3,…………………………………………………… 4分

∴AB=AD+BD=3+.…………………………………………………… 5分

22.解:连接OC,………………………… 1分

∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,

∴CE=DE=CD=4cm,………………………… 2分

∵∠A =22.5°,

∴∠COE=45°,………………………… 3分

∴△COE为等腰直角三角形,………………………… 4分

∴OC=CE=4cm,………………………… 5分

23.解:过点B作,垂足为E(如图),……………………………… 1分

在Rt△DEB中,∠DEB= ,(米),

……………………………… 2分

(米)……………………………… 3分

……………………………… 4分

(米)……………………… 5分

答:旗杆CD的高度为15.1米.

24.解:(1)证明:连接OD,……………………… 1分

∵PD切⊙O于点D,……………………… 2分

∴OD⊥PD,

∵BE⊥PC,

∴OD∥BE,

∴∠ADO=∠E,

∵OA=OD,

∴∠OAD=∠ADO,

∴∠OAD=∠E,

∴AB=BE;……………………… 3分

(2)解:有(1)知,OD∥BE,

∴∠POD=∠B,……………………… 4分

∴cos∠POD=cosB=,

在Rt△POD中,cos∠POD=,

∵OD=OA,PO=PA+OA=2+OA,

∴,

∴OA=3,

∴⊙O半径为3.……………………… 5分

25.解:(1)∵AB=xm,则BC=(28﹣x)m,

∴x(28﹣x)=192,

解得:x1=12,x2=16,

答:x的值为12m或16m;……………………… 2分

(2)由题意可得出:,………………… 3分

解得:.

又S=x(28﹣x)=﹣x2+28x=﹣(x﹣14)2+196,

∴当x≤14时,S随x的增大而增大.

∴x=13时,S取到最大值为:S=﹣(13﹣14)2+196=195.……………………… 5分

答:x为13m时,花园面积S最大,最大面积为195m2.

26.(1)锐角的角度;正弦值;大于0°且小于90°;…………………………………… 3分

(2)(3)答案不唯一. …………………………………… 8分

27.解:

(1)把A(-3,0)代入

∴b=4……………………………………2分

∴y1的表达式为:

(2)将y1变形得:y1=(x+2)2-1

据题意y2=(x+2-4)2-1=(x-2)2-1

∴抛物线y2的表达式为…………………………………4分

(3)的对称轴x=2

∴顶点(2,-1)

∵直线过定点(-1,-1)

当直线与图像G有一个公共点时

…………………………………… 4分

当直线过F(3,0)时,直线

把x=2代入

当直线过D(0,3)时,直线

把x=2代入

∴结合图象可知或.…………………………………… 6分

28.解:(1)1,;…………………………………… 2分

(2)①∵∠A<∠BOC=60°,

∴∠A不可能是直角.

②当∠ABP=90°时,

∵∠BOC=60°,

∴∠OPB=30°.

∴OP=2OB,即2t=2.

∴t=1. …………………………………… 3分

③当∠APB=90°,如图,过点P作PD⊥AB于点D,则OP=2t,OD=t,PD=,AD=,DB=.

∵∠APD+∠BPD=90°,∠B+∠BPD=90°,∴∠APD=∠B. ∴△APD∽△PBD.

∴,即,即,解得(舍去).

…………………………………… 4分

(3)补全图形,如图

∵AP=AB,

∴∠APB=∠B.

∵OE∥AP

∴∠OEB=∠APB=∠B.

∵AQ∥BP,

∴∠QAB+∠B=180°.

又∵∠3+∠OEB=180°,

∴∠3=∠QAB.

又∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP,

∵∠B=∠QOP,

∴∠1=∠2.

∴△QAO∽△OEP.

∴,即AQ·EP=EO·AO.

∵OE∥AP,

∴△OBE∽△ABP.

∴.

∴OE=AP=1,BP=EP.

∴AQ·BP=AQ·EP=AO·OE=×2×1=3. …………………………………… 6分

29.解:(1)将A(-2,0),B(4,0)两点坐标分别代入y=ax2+bx-3(a≠0),

即,………………………… 1分

解得:

抛物线的表达式为:……………………………… 2分

设运动时间为t秒,由题意可知:

…………………………………… 3分

过点Q作QD⊥AB,垂直为D,

易证△OCB∽△DQB,

…………………………………… 4分

OC=3,OB=4,BC=5,AP=3t,PB=6-3t,BQ=t,

对称轴

当运动1秒时,△PBQ面积最大,,最大为.

…………………………………… 5分

(3)如图,设K(m,)

连接CK、BK,作KL∥y轴交BC与L,

由(2)知:,

设直线BC的表达式为y=kx+n

,解得:

直线BC的表达式为y=x-3

即:

解得:

K坐标为(1,)或(3,)…………………………………… 7分

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