2019年浙江省宁波市慈溪市中考数学模拟试卷（4月份）
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．﹣（﹣2019）的相反数是（ ）
A．﹣2019 B．C． D．
2．在下列运算中，正确的是（ ）
A．（x﹣y）2＝x2﹣y2 B．（a+2）（a﹣3）＝a2﹣6
C．（a+2b）2＝a2+4ab+4b2 D．（2x﹣y）（2x+y）＝2x2﹣y2
3．港珠澳大桥全线通车，港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海洪湾，它是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，港珠澳大桥总长度，则数据55000用科学记数法表示为（ ）
A．55×105 B．5.5×C．0.55×105 D．5.5×105
4．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．已知0≤a﹣b≤1且1≤a+b≤4，则a的取值范围是（ ）
A．1≤a≤2 B．2≤a≤C．≤a≤ D．≤a≤
6．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．某车间需加工一批零件，车间20名工人每天加工零件数如表所示：
每天加工零件数的中位数和众数为（ ）
A．6，5 B．6，C．5，5 D．5，6
9．一张半径为的扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，要求圆锥底面圆的半径为，那么这张扇形纸片的圆心角度数是（ ）
A．150° B．240° C．200° D．180°
10．下列四组图形中，相似图形为（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴相交于A、B两点，若在抛物线上有且只有三个不同的点C1、C2、C3，使得△ABC1、△ABC2、△ABC3的面积都等于m，则m的值是（ ）
A．6 B．C．12 D．16
12．如图，两个面积分别为35，23的图形叠放在一起，两个阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则a﹣b的值为（ ）
A．6 B．C．9 D．12
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．若a、b为实数，且b＝+4，则a+b＝ ．
14．因式分解：m2﹣4n2＝ ．
15．袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有 个．
16．拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝，则坡面AB的长度是 m．
17．如图，半径为2的⊙O与含有30°角的直角三角板ABC的AC边切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与⊙O相切时，该直角三角板平移的距离为 ．
18．如图，已知反比例函数y＝﹣的图象与直线y＝kx（k＜0）相交于点A、B，以AB为底作等腰三角形，使∠ACB＝120°，且点C的位置随着k的不同取值而发生变化，但点C始终在某一函数图象上，则这个图象所对应的函数解析式为 ．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（6分）计算： +tan60°﹣（sin45°）﹣1﹣|1﹣|
20．（8分）如图1，在6×6的方格纸中，有格点△ABC（三个顶点都在方格顶点上的三角形）
（1）请在图2中作一个格点三角形，使它与△ABC相似（不全等），且相似比为有理数；
（2）请在图3中作一个格点三角形，使它与△ABC相似，且相似比为无理数．
21．（9分）我市某中学为了了解孩子们对《中国诗词大会》、《挑战不可能》、《最强大脑》、《超级演说家》、《地理中国》五种电视节目的喜爱程度，随机在七、八、九年级抽取了部分学生进行调查（每人只能选择一种喜爱的电视节目），并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查中共抽取了 名学生．
（2）补全条形统计图．
（3）在扇形统计图中，喜爱《地理中国》节目的人数所在的扇形的圆心角是 度．
22．（9分）如图，已知菱形ABCD的对称中心是坐标原点O，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y＝（k≠0）的图象与AD边交于E（﹣4，），F（m，2）两点．
（1）求k，m的值；
（2）写出函数y＝图象在菱形ABCD内x的取值范围．
23．（10分）诗词是中国人最经典的情感表达方式，也是民族生存延续的命脉．为了弘扬诗词国学，我校开展了“经典咏流传”的活动．轻拨经典的琴弦，我们将国家、民族、文化的美好精神文化传承下来，赋予经典文化以时代的灵魂．现我校初二（1）班为参加“经典咏流传”活动，班委会准备租赁演出服装、购买部分道具供班级集体使用．
（1）班委会通过多方比较，决定用500元在A商店租赁服装，用300元在B商店购买道具．已知租赁一套服装比购买一套道具贵30元，同时所需道具比所需服装多5套，则初二（1）班班委会租赁了多少套演出服装、购买了多少套道具？
（2）因后期参赛节目人员的调整，需要租赁更多的服装，购买更多的道具．经初步统计，最终需要租赁的演出服装套数比（1）中的演出服装套数增加了%（a＜60），道具套数比（1）中的道具套数增加了%．初二（1）班班委会需要再次租赁服装和购买道具，又前去与A商店、B商店议价，两个商店都在原来的售价上给予了a%的优惠，这次租赁服装和购买道具总共用了279元，求a的值．
24．（10分）已知：BD为⊙O的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，点C为⊙O上一点，且AB＝AC，连接BC交AD于点E，连接AC．
（1）如图1，求证：∠ABF＝∠ABC；
（2）如图2，点H为⊙O内部一点，连接OH，CH若∠OHC＝∠HCA＝90°时，求证：CH＝DA；
（3）在（2）的条件下，若OH＝6，⊙O的半径为10，求CE的长．
25．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE＝AD，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若AF平分∠DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明；
（3）在（2）的条件下，若BD＝3，CF＝4，求AD的长．
26．（14分）如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于点E，交⊙O的切线BC于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝3，CE＝2，
①求的值；
②若点G为AE上一点，求OG+EG最小值．
2019年浙江省宁波市慈溪市中考数学模拟试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．【分析】根据相反数的意义，直接可得结论．
【解答】解：﹣（﹣2019）＝2019，
所以﹣（﹣2019）的相反数是﹣2019，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义．理解a的相反数是﹣a，是解决本题的关键．
2．【分析】根据完全平方公式判断A、C；根据多项式乘多项式的法则判断B；根据平方差公式判断D．
【解答】解：A、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故本选项错误；
B、（a+2）（a﹣3）＝a2﹣a﹣6，故本选项错误；
C、（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故本选项正确；
D、（2x﹣y）（2x+y）＝4x2﹣y2，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握法则与公式是解题的关键．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将数据55000用科学记数法表示为5.5×104．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
5．【分析】根据不等式的性质，将两个不等式相加，即可得出a的取值范围．
【解答】解：0≤a﹣b≤1①，
1≤a+b≤4②，
①+②得1≤≤5，
0.5≤a≤2.5，
故选：C．
【点评】本题考查了利用不等式的基本性质解不等式的能力．
6．【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项正确；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
7．【分析】先根据三角形外角的性质求出∠BEF的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．
【解答】解：如图，∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝20°，∠F＝30°，
∴∠BEF＝∠1+∠F＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BEF＝50°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质．
8．【分析】根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：由表知数据5出现了6次，次数最多，所以众数为5；
因为共有20个数据，
所以中位数为第10、11个数据的平均数，即中位数为＝6，
故选：A．
【点评】本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
9．【分析】直接利用圆锥的底面圆的周长等于扇形弧长进而得出答案．
【解答】解：设这张扇形纸片的圆心角度数是n，
根据题意可得：＝2×4π，
解得：n＝240，
故选：B．
【点评】此题主要考查了圆锥的计算，掌握圆锥的底面圆的周长等于扇形弧长是解题关键．
10．【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；
B．形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，此选项符合题意；
C．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；
D．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．
11．【分析】根据题目中的函数解析式可以求得该抛物线与x轴的交点坐标和顶点的坐标，再根据在抛物线上有且只有三个不同的点C1、C2、C3，使得△ABC1、△ABC2、△ABC3的面积都等于m，可知其中一点一定在顶点处，从而可以求得m的值．
【解答】解：∵抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴相交于A、B两点，
∴点A（﹣1，0），点B（3，0），该抛物线的对称轴是直线x＝＝1，
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，该抛物线顶点的纵坐标是：y＝（1+1）×（1﹣3）＝﹣4，
∵在抛物线上有且只有三个不同的点C1、C2、C3，使得△ABC1、△ABC2、△ABC3的面积都等于m，
∴m＝＝8，
故选：B．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
12．【分析】设重叠部分面积为c，（a﹣b）可理解为（a+c）﹣（b+c），即两个长方形面积的差．
【解答】解：设重叠部分的面积为c，
则a﹣b＝（a+c）﹣（b+c）＝35﹣23＝12，
故选：D．
【点评】本题考查了整式的加减，将阴影部分的面积之差转换成整个图形的面积之差是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a的值，b的值，根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：由被开方数是非负数，得
，
解得a＝1，或a＝﹣1，b＝4，
当a＝1时，a+b＝1+4＝5，
当a＝﹣1时，a+b＝﹣1+4＝3，
故答案为：5或3．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14．【分析】先将所给多项式变形为m2﹣（2n）2，然后套用公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），再进一步分解因式．
【解答】解：m2﹣4n2，
＝m2﹣（2n）2，
＝（m+2n）（m﹣2n）．
【点评】主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
15．【分析】根据若从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为，列出关于n的方程，解方程即可．
【解答】解：∵袋中装有6个黑球和n个白球，
∴袋中一共有球（6+n）个，
∵从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为，
∴＝，
解得：n＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．注意方程思想的应用．
16．【分析】利用坡比的定义得出AC的长，进而利用勾股定理求出AB的长．
【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝，
∴＝＝，
解得：AC＝10，
则AB＝＝20（m）．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确利用坡比的定义求出AC的长是解题关键．
17．【分析】根据题意画出平移后的图形，如图所示，设平移后的△A′B′C′与圆O相切于点D，连接OD，OA，AD，过O作OE⊥AD，根据垂径定理得到E为AD的中点，由平移前AC与圆O相切，切点为A点，根据切线的性质得到OA与AC垂直，可得∠OAA′为直角，由A′D与A′A为圆O的两条切线，根据切线长定理得到A′D＝A′A，再根据∠B′A′C′＝60°，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形A′AD为等边三角形，平移的距离AA′＝AD，且∠DAA′＝60°，由∠OAA′﹣∠DAA′求出∠OAE为30°，在直角三角形AOE中，由锐角三角函数定义表示出cos30°＝，把OA及cos30°的值代入，求出AE的长，由AD＝2AE可求出AD的长，即为平移的距离．
【解答】解：根据题意画出平移后的图形，如图所示：
设平移后的△A′B′C′与圆O相切于点D，连接OD，OA，AD，
过O作OE⊥AD，可得E为AD的中点，
∵平移前圆O与AC相切于A点，
∴OA⊥A′C，即∠OAA′＝90°，
∵平移前圆O与AC相切于A点，平移后圆O与A′B′相切于D点，
即A′D与A′A为圆O的两条切线，
∴A′D＝A′A，又∠B′A′C′＝60°，
∴△A′AD为等边三角形，
∴∠DAA′＝60°，AD＝AA′＝A′D，
∴∠OAE＝∠OAA′﹣∠DAA′＝30°，
在Rt△AOE中，∠OAE＝30°，AO＝2，
∴AE＝AO•cos30°＝，
∴AD＝2AE＝2，
∴AA′＝2，
则该直角三角板平移的距离为2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了切线的性质，切线长定理，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，垂径定理，以及平移的性质，是一道多知识点的综合性题，根据题意画出相应的图形，并作出适当的辅助线是本题的突破点．
18．【分析】连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，证明△AOD∽△OCE，根据相似三角形的性质求出△AOD和△OCE面积比，根据反比例函数图象上点的特征求出S△AOD，得到S△EOC，根据反比例函数比例系数k的几何意义求解．
【解答】解：连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵反比例函数y＝﹣的图象与直线y＝kx（k＜0）相交于点A、B，以AB为底作等腰三角形，使∠ACB＝120°，
∴CO⊥AB，∠CAB＝30°，
则∠AOD+∠COE＝90°，
∵∠DAO+∠AOD＝90°，
∴∠DAO＝∠COE，
又∵∠ADO＝∠CEO＝90°，
∴△AOD∽△OCE，
∴＝＝＝tan60°＝，
∴＝（）2＝3，
∵点A是双曲线y＝﹣在第二象限分支上的一个动点，
∴S△AOD＝×|xy|＝，
∴S△OCE＝，即×OE×CE＝，
∴OE×CE＝，
∴这个图象所对应的函数解析式为y＝．
故答案为：y＝．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及相似三角形的判定与性质，得出△AOD∽△OCE是解题关键．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．【分析】将特殊锐角的三角函数值代入，同时化简二次根式、计算绝对值，再进一步计算可得．
【解答】解：原式＝3+﹣（）﹣1﹣（﹣1）
＝3+﹣﹣+1
＝2+1．
【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算顺序和运算法则及特殊锐角的三角函数值．
20．【分析】（1）直接利用相似三角形的性质结合网格得出答案；
（2）直接利用相似三角形的性质结合网格得出答案．
【解答】解：（1）如图2所示：它与△ABC相似（不全等），且相似比为2；
（2）如图3所示：它与△ABC相似（不全等），且相似比为．
【点评】此题主要考查了相似变换，正确应用网格分析是解题关键．
21．【分析】（1）用“中国诗词大会”的人数处于其所占百分比可得总人数；
（2）根据各节目的人数之和等于总人数求得“挑战不可能”的人数，据此补全条形图即可；
（3）用360°乘以《地理中国》的人数所占比例即可得．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为30÷15%＝200（名），
故答案为：200；
（2）“挑战不可能”的人数为200﹣（20+60+40+30）＝50（人），
补全条形图如下：
（3）在扇形统计图中，喜爱《地理中国》节目的人数所在的扇形的圆心角是360°×＝36°，
故答案为：36．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）根据函数图象，写出反比例函数的图象在菱形内部的自变量的取值范围即可；
【解答】解：（1）∵点E（﹣4，）在y＝上，
∴k＝﹣2，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣，
∵F（m，2）在y＝上，
∴m＝﹣1．
（2）函数y＝图象在菱形ABCD内x的取值范围为：﹣4＜x＜﹣1或1＜x＜4．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的特征、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．【分析】（1）设需租赁x套演出服装，则需购买（x+5）套道具，根据单价＝总价÷数量结合租赁一套服装比购买一套道具贵30元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据总价＝单价×数量结合这次租赁服装和购买道具总共用了279元，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设需租赁x套演出服装，则需购买（x+5）套道具，
根据题意得：﹣＝30，
解得：x1＝10，x2＝﹣，
经检验，x＝10是原分式方程的解，且符合题意，x＝﹣是原分式方程的解，但不符合题意，
∴x+5＝15．
答：初二（1）班班委会租赁了10套演出服装、购买了15套道具．
（2）根据题意得：10×%××（1﹣a%）+15×%××（1﹣a%）＝279，
整理得：a2﹣+900＝0，
解得：a1＝10，a2＝90（不合题意，舍去）．
答：a的值为10．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24．【分析】（1）由BD为⊙O的直径，得到∠D+∠ABD＝90°，根据切线的性质得到∠FBA+∠ABD＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠ABC，等量代换即可得到结论；
（2）如图2，连接OC，根据平行线的判定和性质得到∠ACO＝∠COH，根据等腰三角形的性质得到∠OBC＝∠OCB，∠ABC+∠CBO＝∠ACB+∠OCB，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）根据相似三角形的性质得到＝2，根据勾股定理得到AD＝＝16，根据全等三角形的性质得到BF＝BE，AF＝AE，根据射影定理得到AF＝＝9，根据相交弦定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠D+∠ABD＝90°，
∵FB是⊙O的切线，
∴∠FBD＝90°，
∴∠FBA+∠ABD＝90°，
∴∠FBA＝∠D，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝∠D，
∴∠ABF＝∠ABC；
（2）如图2，连接OC，
∵∠OHC＝∠HCA＝90°，
∴AC∥OH，
∴∠ACO＝∠COH，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠ABC+∠CBO＝∠ACB+∠OCB，
即∠ABD＝∠ACO，
∴∠ABC＝∠COH，
∵∠H＝∠BAD＝90°，
∴△ABD∽△HOC，
∴＝＝2，
∴CH＝DA；
（3）由（2）知，△ABD∽△HOC，
∴＝2，
∵OH＝6，⊙O的半径为10，
∴AB＝2OH＝12，BD＝20，
∴AD＝＝16，
在△ABF与△ABE中，，
∴△ABF≌△ABE，
∴BF＝BE，AF＝AE，
∵∠FBD＝∠BAD＝90°，
∴AB2＝AF•AD，
∴AF＝＝9，
∴AE＝AF＝9，
∴DE＝7，BE＝＝15，
∵AD，BC交于E，
∴AE•DE＝BE•CE，
∴CE＝＝＝．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，射影定理，相交弦定理，正确的识别图形是解题的关键．
25．【分析】（1）根据SAS，只要证明∠1＝∠2即可解决问题；
（2）结论：BD2+FC2＝DF2．连接FE，想办法证明∠ECF＝90°，EF＝DF，利用勾股定理即可解决问题；
（3）过点A作AG⊥BC于G，在Rt△ADG中，想办法求出AG、DG即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝∠DAC+∠2＝90°，
又∵∠BAC＝∠DAC+∠1＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE．
（2）解：结论：BD2+FC2＝DF2．理由如下：
连接FE，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠3＝45°
由（1）知△ABD≌△ACE
∴∠4＝∠B＝45°，BD＝CE
∴∠ECF＝∠3+∠4＝90°，
∴CE2+CF2＝EF2，
∴BD2+FC2＝EF2，
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF＝∠EAF，
在△DAF和△EAF中
，
∴△DAF≌△EAF
∴DF＝EF
∴BD2+FC2＝DF2．
（3）解：过点A作AG⊥BC于G，
由（2）知DF2＝BD2+FC2＝32+42＝25
∴DF＝5，
∴BC＝BD+DF+FC＝3+5+4＝12，
∵AB＝AC，AG⊥BC，
∴BG＝AG＝BC＝6，
∴DG＝BG﹣BD＝6﹣3＝3，
∴在Rt△ADG中，AD＝＝＝3．
【点评】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
26．【分析】（1）根据切线的判定，连接过切点E的半径OE，利用等腰三角形和平行线性质即能证得OE⊥DE．
（2）①观察DE所在的△ADE与CE所在的△BCE的关系，由等角的余角相等易证△ADE∽△BEC，即得的值．②先利用的值和相似求出圆的直径，发现∠BAC＝30°；利用30°所对直角边等于斜边一半，给EG构造以EG为斜边且有30°的直角三角形，把EG转化到EP，再从P出发构造PQ＝OG，最终得到三点成一直线时线段和最短的模型．
【解答】（1）证明：连接OE
∵OA＝OE
∴∠OAE＝∠OEA
∵AE平分∠BAF
∴∠OAE＝∠EAF
∴∠OEA＝∠EAF
∴OE∥AD
∵ED⊥AF
∴∠D＝90°
∴∠OED＝180°﹣∠D＝90°
∴OE⊥DE
∴DE是⊙O的切线
（2）解：①连接BE
∵AB是⊙O直径
∴∠AEB＝90°
∴∠BED＝∠D＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°
∵BC是⊙O的切线
∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝90°
∴∠BAE＝∠CBE
∵∠DAE＝∠BAE
∴∠DAE＝∠CBE
∴△ADE∽△BEC
∴
∵DE＝3，CE＝2
∴
②过点E作EH⊥AB于H，过点G作GP∥AB交EH于P，过点P作PQ∥OG交AB于Q
∴EP⊥PG，四边形OGPQ是平行四边形
∴∠EPG＝90°，PQ＝OG
∵
∴设BC＝2x，AE＝3x
∴AC＝AE+CE＝3x+2
∵∠BEC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C
∴△BEC∽△ABC
∴
∴BC2＝AC•CE 即（2x）2＝2（3x+2）
解得：x1＝2，x2＝﹣（舍去）
∴BC＝4，AE＝6，AC＝8
∴sin∠BAC＝，
∴∠BAC＝30°
∴∠EGP＝∠BAC＝30°
∴PE＝EG
∴OG+EG＝PQ+PE
∴当E、P、Q在同一直线上（即H、Q重合）时，PQ+PE＝EH最短
∵EH＝AE＝3
∴OG+EG的最小值为3
【点评】本题考查了等腰三角形和平行线性质，切线的判定和性质，相似的判定和性质，最短路径问题．第（1）题为常规题型较简单；第（2）①题关键是发现DE、CE所在三角形的相似关系；②是求出所有线段长后发现30°角，利用30°构造，考查了转化思想．