2019房山一模数学试题
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 右图是某几何体的三视图，该几何体是
A．三棱柱 B．长方体
C．圆锥D．圆柱
2．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是
A． B． C． D．
3.2019年1月21日，国家统计局对外公布，经初步核算，2018年全年国内生产总值(GDP)为900309亿元，经济总量首次站上90万亿元的历史新台阶，稳居世界第二位.将900309用科学记数法表示为
A．0. 900309×106 B．9.00309×106 C．9.00309×105 D．90.0309×104
4. 若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是
A.6 B.10 C.12 D.16
5. 某地区有网购行为的居民约10万人. 为了解他们网上购物消费金额占日常消费总额的比例情况，现从中随机抽取168人进行调查，其数据如右表所示. 由此估计，该地区网购消费金额占日常消费总额的比例在20%及以下的人数大约是
A．1.68万
B．3.21万
C．4.41万
D．5.60万
6. 如果，那么的值是
A．2 B．3 C．4 D．5
7. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系（a，b，c是常数）， 如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为
A．3. 50分钟 B．3. 75分钟 C．4. 00分钟 D．4. 25分钟
8. 右图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：
①当表示保和殿的点的坐标为(0，0)，表示
养心殿的点的坐标为(-2，2)时，表示景仁
宫的点的坐标为(2，3)；
②当表示保和殿的点的坐标为(0，0)，表示
养心殿的点的坐标为(-1，1)时，表示景仁
宫的点的坐标为(1，1. 5)；
③当表示保和殿的点的坐标为(1，-1)，表
示养心殿的点的坐标为(0，0)时，表示
景仁宫的点的坐标为(2，0. 5)；
④当表示保和殿的点的坐标为(0，1)，表示
养心殿的点的坐标为(-1，2)时，表示景仁宫的点的坐标为(1，3).
上述结论中，所有正确结论的序号是
A．①②③B．②③④
C．①④ D．①②③④
二、填空题(本题共16分，每小题2分)
9. 如图所示的网格是正方形网格，点E在线段BC 上，
.(填“＞”，“＝”或“＜”)
10. 若代数式有意义，则实数的取值范围是.
11. 用一组的值说明式子“”是错误的，这组值可以是=，
=.
12. 如图，点在⊙O 上，若°，则∠A的度数为.
13. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就. 书中有一个方程问题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十. 今将钱三十，得酒二斗. 问醇、行酒各得几何？意思是：今有美酒一斗的价格是50钱；普通酒一斗的价格是10钱. 现在买两种酒2斗共付30钱，问买美酒、普通酒各多少？设买美酒x斗，买普通酒y斗，则可列方程组为.
14. 右图是计算机中“扫雷”游戏的画面．在一个有 9×9 个方
格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个方格内最
多只能藏1颗地雷．小王在游戏开始时随机地点击一个方
格，点击后出现了如图所示的情况．我们把与标号3的方
格相邻的方格记为A区域（画线部分），A区域外的部分记
为B区域．数字3表示在A区域有3颗地雷．为了最大限
度的避开地雷，下一步应该点击的区域是.
(填“A”或“B”)
15. 某校初一年级68名师生参加社会实践活动，计划租车前往，租车收费标准如下：
则租车一天的最低费用为元.
16. 如图，在正方形ABCD和正方形GCEF中，顶点G在边CD上，连接DE交GF于点H，若FH＝1，GH＝2，则DE的长为．
三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，第28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17. 下面是小明设计的“作三角形的高线”的尺规作图过程.
已知：△ABC．
求作：BC边上的高线．
作法：如图，
以点C为圆心，CA为半径画弧；
以点B为圆心，BA为半径画弧，两弧相交于点D；
连接AD，交BC的延长线于点E．
所以线段AE就是所求作的BC边上的高线．
根据小明设计的尺规作图过程，
使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
完成下面证明.
证明：∵CA=CD，
∴点C在线段AD的垂直平分线上（）（填推理的依据）．
∵=，
∴点B在线段AD的垂直平分线上．
∴BC是线段AD的垂直平分线.
∴AD⊥BC．
∴AE就是BC边上的高线．
18.
19. 解不等式组：
20. 关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，求此时方程的根．
21. 如图，矩形ABCD 中，对角线AC，BD交于点O，以 AD，OD为邻边作平行四边形ADOE，连接BE.
(1) 求证：四边形AOBE是菱形；
(2) 若∠EAO+∠DCO=180°，DC=2，
求四边形ADOE的面积.
22. 如图，在△ABC 中，AB = AC，以AB为直径的⊙O 分
别交AC，BC于点 D，E，过点B作⊙O的切线，交
AC的延长线于点F．
(1) 求证：∠CBF =∠CAB；
(2) 若CD = 2，，求FC的长．
23. 已知一次函数的图象与反比例函数(k≠0)在第一象限内的图象交于点
A（1，m）.
(1) 求反比例函数的表达式；
(2) 点B在反比例函数的图象上， 且点B的横坐标为2. 若在x轴上存在一点M，使MA+MB的值最小，求点M的坐标.
24. 为引导学生广泛阅读文学名著，某校在七年级、八年级开展了读书知识竞赛.该校七、八年级各有学生400人， 各随机抽取20名学生进行了抽样调查，获得了他们知识竞赛成绩（分），并对数据进行整理、描述和分析. 下面给出了部分信息.
七年级：74 97 96 89 98 74 69 76 72 78
99 72 97 76 99 74 99 73 98 74
八年级：76 88 93 65 78 94 89 68 95 50
89 88 89 89 77 94 87 88 92 91
平均数、中位数、众数如下表所示：
根据以上信息，回答下列问题：
a=，m=，n=；
你认为哪个年级读书知识竞赛的总体成绩较好，说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；
该校对读书知识竞赛成绩不少于80分的学生授予“阅读小能手”称号，请你估计该校七、八年级所有学生中获得“阅读小能手”称号的大约有人.
如图，AB为⊙O直径，点C是⊙O上一动点，过点C作⊙O直径CD，过点B作BE⊥CD于点E．已知AB=6cm，设弦AC的长为xcm，B，E两点间的距离为ycm(当点C与点A或点B重合时，y的值为0)．
小冬根据学习函数的经验，对函数y随
自变量x的变化而变化的规律进行了探
究． 下面是小冬的探究过程，请补充完整：
(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
经测量m的值为_______；（保留两位小数） (2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图
象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BE=2时，AC的长度约为cm.
在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点 A(−1，a)，
B(3，a)，且顶点的纵坐标为 -4． （1）求 m，n 和 a 的值； （2）记二次函数图象在点 A，B 间的
部分为 G (含 点A和点B )，若直
线 与 图象G 有公共点，结合
函数图象，求 k 的取值范围．
27. 已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.
(1) 如图1，点D是BC边上一点(不与点B，C重合)，连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE. 若∠BAD=α，求∠DBE的大小 (用含α的式子表示) ；
(2) 如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD上，连接CE.
①依题意补全图2；
②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明.
图1 图2
28. 在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，给出如下定义：若点P的横、纵坐标均为整数，且到圆心C的距离d≤r，则称P为⊙C的关联整点.
（1）当⊙O的半径r=2时，在点D（2，-2），E（-1，0），F（0，2）中，为⊙O的关联整点的是；
（2）若直线上存在⊙O的关联整点，且不超过7个，求r的取值范围；
（3）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，若直线上存在⊙C的关联整点，求圆心C的横坐标t的取值范围.
房山区2019年一模检测试卷答案
九年级数学学科
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
二、填空题(本题共16分，每小题2分)
9. ＜ ； 10. ；
11. 答案不唯一 ；12.50 ；
13. 14. B ；
15. 1450； 16..
三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，第28题，每小题7分
17. 补全图形 ………………………… 2分
到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 ………………… 3分
BA=BD. …………………………… 5分
18．解：原式………………………………… 4分
………………………………… 5分
19. 解：解不等式①得x≤1， ………………………………… 2分
解不等式②得x＞﹣3， ………………………………… 4分
∴不等式组的解集是：﹣3＜x≤1． ………………………………… 5分
20. 解：（1）∵
． ………………………………… 1分
依题意，得
解得且． ………………………………… 3分
（2）∵为正整数，
∴． ………………………………… 4分
∴原方程为．
解得，． ………………………………… 5分
21. （1）证明：∵矩形ABCD，
∴OA=OB=OC=OD.
∵平行四边形ADOE，
∴OD∥AE，AE=OD.
∴AE=OB.
∴四边形AOBE为平行四边形. ………………………………… 2分
∵OA=OB，
∴四边形AOBE为菱形. ………………………………… 3分
（2）解：∵菱形AOBE，
∴∠EAB=∠BAO.
∵矩形ABCD，
∴AB∥CD.
∴∠BAC=∠ACD，∠ADC=90°.
∴∠EAB=∠BAO=∠DCA.
∵∠EAO+∠DCO=180°，
∴∠DCA=60°.
∵DC=2，
∴AD=. ………………………………… 4分
∴SΔADC=.
∴S四边形ADOE=. ………………………………… 5分
22.
（1）证明：∵AB 为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°.
∴∠BAE+∠ABC=90°，
∵AB = AC，
∴∠BAE=∠EAC=∠CAB.
∵BF为⊙O 的切线，
∴∠ABC+∠CBF=90°.
∴∠BAE=∠CBF.
∴∠CBF =∠CAB. ………………………………… 2分
（2）解：连接BD，
∵AB 为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°.
∵∠DBC=∠DAE，
∴∠DBC=∠CBF.
∵tan∠CBF=.
∴tan∠DBC=.
∵CD=2，
∴BD=4. ………………………………… 3分
设AB=x，则AD= ，
在RtΔABD中，∠ADB=90°，由勾股定理得x=5.
∴AB=5，AD=3. ……………………………… 4分
∵∠ABF=∠ADB=90°，∠BAF=∠BAF.
∴ΔABD∽ΔAFB.
∴.
∴AF=.
∴FC=AF-AC=. ……………………………… 5分
23. 解：
∵A（1，m）在一次函数y=2x的图象上
∴m=2， ………………………………… 1分
将A（1,2）代入反比例函数得k=2
∴反比例函数的表达式为………………………………… 3分
作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，
此时MA+MB最小 ………………………………… 4分
A关于x轴的对称点（1，-2），
∵B（2,1）
∴直线的表达式为，………………………………… 5分
∴点M的坐标为………………………………… 6分
24. 解：（1）a=2，m=88.5，n=89. ………………………………… 3分
（2）答案不唯一. ………………………………… 5分
（3）460.………………………………… 6分
25．解：（1）2.76.………………………………… 2分
（2）如图 ………………………………… 4分
（3）2.14， 5.61………………………………… 6分
26. （1）∵ 抛物线 过点 A(−1,a)， B(3,a)，
∴ 抛物线的对称轴 x=1．
∵ 抛物线最低点的纵坐标为 −4， ∴ 抛物线的顶点是 (1,−4)． ∴ 抛物线的表达式是，
即 ．
m=−2，n=−3，………………………………… 2分 把 A(−1,a) 代入抛物线表达式 ，
求得a=0．………………………………… 3分 (2) 如图， 当 y=kx+2 经过点B(3,0) 时， 0=3k+2， k=−，……………………… 4分 当y=kx+2 经过点A(−1,0) 时， 0=−k+2， k=2， ……………………… 5分 综上所述，当k ≤− 或k≥2时，直线 y=kx+2 与 G 有公共点． …………… 6分
27.
（1）解: 依题意，∠CAB=45°，
∵∠BAD=α，
∴∠CAD=.
∵∠ACB=90°，BE⊥AD，∠ADC=∠BDE，
∴∠DBE=∠CAD=. ………………………………… 2分
（2）解：
①补全图形如图 ………………………………… 4分
②猜想：
当D在BC边的延长线上时，EB - EA =EC.………………………………… 5分
证明：过点C作CF⊥CE，交AD的延长线于点F.
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF=∠BCE.
∵CA=CB，∠CAF =∠CBE，
∴△ACF≌△BCE.………………………………… 6分
∴AF=BE，CF=CE.
∵∠ECF=90°，
∴EF=EC.
即AF-EA =EC.
∴EB -EA =EC. ………………………………… 7分
28.
（1）E、F………………………………… 2分
（2）当⊙C过点G（2,2）时，r=，
⊙C过点L（-2,6）时，r=，
∴≤ r ＜………………………………… 4分
（3）当⊙C过点M（3,1）时，CM=2，MH=1，
则CH=，此时点C的横坐标t=，
当⊙C过点N（5,-1）时，点C的横坐标t=，
∴≤t≤. ………………………………… 7分