23.2 一元二次方程的解法（3）
——公式法
【知能点分类训练】
知能点1 一元二次方程的求根公式
1．一元二次方程x2+x=3中，a=____，b=_____，c=_____，则方程的根是________．
2．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________．
3．用公式法解方程:
（1）2x2－3x+1=0； （2）2y（y－1）+3=（y+1）2．
4．有一长方形的桌子，长为，宽为，一长方形桌布的面积是桌面面积的2倍，且将桌布铺到桌面上时各边垂下的长度相同，则桌布长为_______，宽为______．
5．如果x2+1与4x2－3x－5互为相反数，则x的值为_______．
知能点2 根的判别式
6．一元二次方程中，b2－=______，所以原方程______实数根．
7．写出一个一元二次方程，使它有两个不相等的实数根_________．
8．求出方程x2－5x=（x+3）的根的判别式的值，并判断方程根的情况．
9．若方程－x2+kx－3=0无实数根，求k的取值范围．
10．是否存在这样的m值，使最简二次根式与同类二次根式？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【综合应用提高】
11．不解方程，判断下列方程根的情况．
（1）－2x2+3x=－1； （2）x2－kx+2（k－1）=0．
12．已知a，b，c均是实数，且│a－1│++（c+2）2=0，求方程：ax2+bx+c=0的根．
13．阅读并回答问题．
求一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根（用配方法）．
解：ax2+bx+c=0，
∵a≠0，∴x2+x+=0， 第一步
移项得：x2+x=－， 第二步
两边同时加上（）2，得x2+x+（）2=－+（）2， 第三步
整理得：（x+）2=，
直接开方得x+=±， 第四步
∴x=，
∴x1=． 第五步
上述解题过程是否有错误？若有，说明在第几步，指明产生错误的原因，写出正确的过程；若没有，请说明上述解题过程所用的方法．
14．关于x的方程mx2+3x+1=0有两个实数根，求m的取值范围．
15．已知方程x2－8xy－9y2=0，求证：x=－y或x=9y．
【开放探索创新】
16．m为何值时，关于x的一元二次方程mx2－2（+1）x+－1=0：
（1）有两个相等实数根；（2）有两个不相等的实数根；（3）无实根．
【中考真题实战】
17．（福州）解方程4x2+8x+1=0．
18．（泰安）若关于x的方程kx2+2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）．
A．k>－1 B．k<－．k≥－1且k≠0 D．k>－1且k≠0
19．（烟台）设a，b，c都是实数，且满足（2－a）2++│c+2│=0，ax2+bx+c=0，求代数式x2+x+1的值．
20．（上海）关于x的一元二次方程mx2－（－1）x+－1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根．
参考答案:
1． 1 －3 x1=－+，x2=－1－
2．x=，b2－≥0
3．（1）a=2，b=－3，c=1，
∵b2－=9－4×2×1=1>0，
∴x=，
x=．
∴x1=1，x2=．
（2）2y2－2y+3=y2+2y+1，
2y2－y2－4y+2=0，
y2－4y+2=0，
∴a=1，b=－4，c=2．
b2－=（－4）2－4×1×2=8>0．
∴x=，
x=，
∴x1=2+，x2=2－．
4． 点拨：设垂下的长度为x，根据题意，（3+2x）（2+2x）=12．
5． －
点拨：由题意知，互为相反数的两个数之和为0，可得x2+1+4x2－3x－5=0．
6．25 有两个不相等的
7．x2+x－1=0
8．整理得2x2－11x－3=0，
b2－=（－11）2－4×（－3）×2=145>0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
9．若方程－x2+kx－3=0无实数根，
∴b2－=k2－4×（－）×（－3）=k2－9<0，k2<9，
∴－3 10．∵与是同类二次根式， ∴－m=－2， －+2=0， ∴m1=2，m2=． 当m=2时，=，=， 当m=时，=， ∴当m=2时，与是同类二次根式． 11．（1）原方程可整理为2x2－3x－1=0， b2－=9+4×1×2=17>0， ∴原方程有两个不相等实数根． （2）b2－=k2－4××2（k－1）=k2－4k+4=（k－2）2≥0， ∴原方程有两个不相等实数根或有两个相等的实数根． 12．由已知条件│a－1│++（c+2）2=0， ∴a=1，b=－1，c=－2， ∴ax2+bx+c=0为x2－x－2=0， ∴x1=2，x2=－1． 13．有错误，在第四步． 错误的原因是在开方时对b2－的值是否是非负数没有进行讨论． 正确步骤为：（x+）2=， 当b2－≥0时， x+=±， x+=±， x=， ∴x1=． 14．原方程mx2+3x+1=0有两个实数根． ∴b2－=9－≥0， ∴m≤，且m≠0． 15．∵x2－8xy－9y2=0， 把y看做常数可得： x=， ∴x1=9y，x2=－y． 16．b2－=4（+1）2－（－1）=+4． （1）当+4=0，即m=－时，方程有两个相等的实数根． （2）当m>－且m≠0时，方程有两个不相等的实数根． （3）m<－时，原方程无实数根． 17．解：由公式法可得x=． 18．D 点拨：注意一元二次方程成立的条件． 19．由（2－a）2++│c+2│=0， 可得a=2，c=－2，b=2． ∴ax2+bx+c=0． 即2x2+2x－2=0， ∴x2+x－1=0，∴x2+x=1． ∴x2+x+1=1+1=2， 即代数式x2+x+1=1+1=2． 20．∵一元二次方程mx2－（－1）x+－1=0的判别式的值为1， 即[－（－1）] 2－（－1）=1， 解得：m1=2，m2=0（舍去）． 当m=2时，2x2－5x+3=0， 解得x1=，x2=1．