3.3 圆心角 同步练习
一、填空题：
1. 在同一个圆中，同弧所对的圆周角和圆心角的关系是 ．
2. 如图1，直径垂直于弦，垂足为，，则的度数为 ，的度数为 ，的度数为 ，的度数为 ．
图1 图2
3. 如图2，是半圆的直径，为圆心，是半圆上一点，且，是延长线上一点，与半圆相交于点，如果，则 ， ， ．
4. 如图3，，则 ， ， ， ．
5. 如图4，△内接于，，点，分别在和上，若，则 ， ．
图3 图4 图5
6. 如图5反映某学校学生上学方式的扇形统计图，图中步行上学同学所占扇形圆心角的度数是 ．
7. 如图，已知：是△的外接圆，，，则=__________度．
二、选择题：
1. 下列说法正确中的是（ ）
Ａ．顶点在圆周上的角称为圆周角;Ｂ．相等的圆周角所对的弧相等
Ｃ．若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这一边必为此三角形外接圆的直径
Ｄ．圆周角等于圆心角的一半
2. 在同圆中，同弦所对的两个圆周角（ ）
Ａ．相等 Ｂ．互补 Ｃ．相等或互补 Ｄ．互余
3. 在中，弦所对的劣弧为圆的，有以下结论：①为，②，③，④△为等边三角形，⑤弦的长等于这个圆的半径．其中正确的是（ ）
Ａ．①②③④⑤ Ｂ．①②④⑤ Ｃ．①② Ｄ．②④⑤
4.，，，，依次是上的四个点，，弦，的延长线交于点，若，则等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5. 如图6，圆内接四边形的对角线，把四边形的四个内角分成八个角，这八个角中相等的角的对数至少有（ ）
Ａ．1对 Ｂ．2对 Ｃ．3对 Ｄ．4对
图6 图7 图8
6. 如图7，是的直径，，是的两条弦，且．如果，则的度数是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7. 如图8，四边形内接于，若，则的度数（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8. 如图，，在以为直径的半圆上，，在上，为正方形，若正方形边长为1，，，则下列式子中，不正确的是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
三、解答题：
1. 如图，△为锐角三角形，△内接于圆，，是△的垂心，是的直径．求证：．
2. 如图，为的直径，，垂足为，，与交于．
（1）求证：；
（2）若，把半圆三等分，，求的长．
3. 如图，已知是外任意一点，过点作直线，，分别交于点，，，．求证：（的度数的度数）．
4. 如图，是△的外角的平分线，交的延长线于，延长交△的外接圆于点，连结，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若是△外接圆的直径，，，求的长．
5. 求证：三角形两边的积等于其外接圆的直径与第三边的高的积．
参考答案
一、填空题：
1. 在同一个圆中，同弧所对的圆周角和圆心角的关系是 ．
答案：圆周角度数等于圆心角度数的一半
2. 如图1，直径垂直于弦，垂足为，，则的度数为 ，的度数为 ，的度数为 ，的度数为 ．
答案：
图1 图2
3. 如图2，是半圆的直径，为圆心，是半圆上一点，且，是延长线上一点，与半圆相交于点，如果，则 ， ， ．
答案：
4. 如图3，，则 ， ， ， ．
答案：
5. 如图4，△内接于，，点，分别在和上，若，则 ， ．
答案：
图3 图4 图5
6. 如图5反映某学校学生上学方式的扇形统计图，图中步行上学同学所占扇形圆心角的度数是 ．
答案：
7. 如图，已知：是△的外接圆，，，则=__________度．
答案：
二、选择题：
1. 下列说法正确中的是（ ）
Ａ．顶点在圆周上的角称为圆周角
Ｂ．相等的圆周角所对的弧相等
Ｃ．若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这一边必为此三角形外接圆的直径
Ｄ．圆周角等于圆心角的一半
答案：Ｃ
2. 在同圆中，同弦所对的两个圆周角（ ）
Ａ．相等 Ｂ．互补 Ｃ．相等或互补 Ｄ．互余
答案：Ｃ
3. 在中，弦所对的劣弧为圆的，有以下结论：①为，②，③，④△为等边三角形，⑤弦的长等于这个圆的半径．其中正确的是（ ）
Ａ．①②③④⑤ Ｂ．①②④⑤ Ｃ．①② Ｄ．②④⑤
答案：Ｂ
4.，，，，依次是上的四个点，，弦，的延长线交于点，若，则等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
5. 如图6，圆内接四边形的对角线，把四边形的四个内角分成八个角，这八个角中相等的角的对数至少有（ ）
Ａ．1对 Ｂ．2对 Ｃ．3对 Ｄ．4对
答案：Ｄ
图6 图7 图8
6. 如图7，是的直径，，是的两条弦，且．如果，则的度数是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
7. 如图8，四边形内接于，若，则的度数（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
8. 如图，，在以为直径的半圆上，，在上，为正方形，若正方形边长为1，，，则下列式子中，不正确的是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
三、解答题：
1. 如图，△为锐角三角形，△内接于圆，，是△的垂心，是的直径．求证：．
答案：连结，，．是直径，．
又，，．
在Rt△中，，是△的垂心，，．
又，，四边形为平行四边形．
，．
2. 如图，为的直径，，垂足为，，与交于．
（1）求证：；
（2）若，把半圆三等分，，求的长．
答案：（1）连．，
，．
，，，．
（2）连．，
，．，，
△为正三角形．，为中点，，．
在Rt△中，，，，
．
3. 如图，已知是外任意一点，过点作直线，，分别交于点，，，．求证：（的度数的度数）．
答案：连结，，．
的度数等于的度数，的度数等于的度数，
（的度数的度数）．
4. 如图，是△的外角的平分线，交的延长线于，延长交△的外接圆于点，连结，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若是△外接圆的直径，，，求的长．
答案：（1），，．
，
，
，，
．，
，．
（2），，
．又，
△△，，
即．
（3）是直径，．
，，
．
在Rt△中，，
，．在Rt△中，．
5. 求证：三角形两边的积等于其外接圆的直径与第三边的高的积．
答案：已知：是△的外接圆，是△中边上的高，是直径．求证：．
证明：连．是直径，．，，，，△△，，即．