第26章相似测试题
（时间90分钟，满分120分）
填空题（每小题3分，共30分）
1、如图1，在△ABC中，AB：DB=1：2，DE∥BC，若△ABC的面积为9，则四边形DBCE的面积为 。
2、由三角形三边中位线所围成的三角形的面积是原三角形面积的 。
3、图2中，x= 。
2
4、在△ABC中，AB＞BC＞AC，D是AC的中点，过D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l有 条。
5、已知M是线段AB延长线上的一点，且AM：BM=7：3，那么AM：AB= 。
6、雨后天晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m远处的一块小积水里，他看到了旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40m，该学生的眼部高度为1.5m，那么旗杆的高为 。
7、已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为25，则这两个多边形的面积分别是 和 。
8、如图3，已知在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，四边形EFDH为内接正方形，则AE：AB= 。
9、如果点C是线段AB靠近B的黄金分割点，且AC=2，那么AB= 。
10、如图4，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为 cm2。
选择题(每小题4分，共40分)
11、如图5，点A、B、C、D、E、F、G、H、K都是7×8方格纸上的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F、G、H、K四点中的（ ）
A、F B、G C、H D、K
12、已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则△ABC与△DEF的周长比等于（ ）
A、1：2 B、1：4 C、2：1 D、4：1
13、（2006年天津）如图6，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中共有相似三角形（ ）
4对 B、5对 C、6对 D、7对
14、已知==，且a-b+c=10，则a+b-c的值为（ ）
A、6 B、5 C、4 D、3
15、两个相似五边形，一组对应边的长分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和是78cm2，则较大的五边形面积是（ ）cm2。
A、44.8 B、52 C、54 D、42
16、如图7所示，它是小孔成像的原理，根据图中尺寸(AB∥CD)，如果已知物体AB=30，则CD的长应是（ ）
A、15 B、30 C、20 D、10
17、有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1：100和1：500，那么甲地图与乙地图表示这一地块的三角形的面积之比是（ ）
A、25：1 B、5：1 C、1：25 D、1：5
18、如图8，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD=，则△ABC的边长是（ ）
A、3 B、4 C、5 D、6
19、一个钢筋三角架三边长分别为20cm、50cm、60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有（ ）种
一 B、二 C、三 D、四
20、如图9，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，如果AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形ABCD的面积等于（ ）
A、 B、 C、 D、
解答题（每小题7分，共35分）
21、（1）若=，判断代数式-+1值的符号
（2）若==，求的值。
22、已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，且AB：BC：CD：DA=20：15：9：8，四边形A′B′C′D′的周长为26，求四边形A′B′C′D′各边的长。
23、如图10，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD等于2m的标杆，现测量者从E处可以看到标杆顶点C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD=20m，FD=4m，EF=1.8m，求树高。
24、如11图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C
求证：△ABF∽△EAD
若AB=4，S ABCD=，求AE的长
在（1）、（2）条件下，若AD=3，求BF的长（计算结果可含根号）
25、如图12，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45°
求证：△ABD∽△DCE
设BD=x，AE=y，求y与x的函数关系式
拓广探索题（共15分）
26、（7分）已知，如图13，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明+=成立，若将图13中的垂直改为斜交，如图14，AB∥CD，AB与BC交于点E，过点E作EF∥AB交BD于F，则
+=还成立吗？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由。
请找出S△ABC，S△BED和S△BDC间的关系，并给出证明。
27、（8分）若矩形的一个短边与长边的比值为，（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形
操作：请你在如图15所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD。
探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由。
归纳：通过上述操作及探究，请概括出具体有一般性的结论（不需证明）
填空题
1～10 8 2 4 7：4 30 5，20 1+ 30
提示：4、如图1，过D分别作BC、AB的平分线有两条，另外，作∠ADE=∠ABC又一条，作∠CDF=∠ABC又一条，共4条
8、====
9、∵==，又∵=
∴= ∴BC=-1 ∴AB=2+-1=1+
10、如题图：EF=DE=8-3=5 ∵EC=3，∴FC=4，易证△ABF∽△EFC
∴BF：3=8：4 BF=6
∴S阴影=·6·8+·4·3=30
选择题
11～20 CACAC DAABC
提示：18、∵△ABC为等边三角形 ∴∠B=∠C=60°，又∠APD=60°
∴∠BAP+∠APB=∠APB+∠CPD=120°，∴∠BAP=∠DPC，∴△APB∽△PCD
∴：1=（AB-1）：AB ∴AB=3
20、∵AE2+EF2=42+32=52=AF2
∴∠AEF=90°，∴易证△ABE∽△EFC ∴AB：EC=4：3 设AB=x
x：（x-）=4：3 ∴x2=
解答题
21、解：（1）设==k，则a=bk，c=dk，代入，得，求值式=-+1=k-k+1=1＞0，故所求式的符号为正
（2）当a+b+c≠0时，因为abc≠0，所以由等比性质得：===所以a+b=2c，b+c=2a，c+a=2b，代入得，求式==8
当a+b+c=0，a+b=--c，b+c=-a，c+a=-b，代入所求式==-1
22、解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，且AB：BC：CD：DA=20：15：9：8，
∴A′B′：B′C′：C′D′：D′A′=20：15：9：8
设A′B′=20x，B′C′=15x，C′D′=9x，D′A′=8x，由四边形A′B′C′D′的周长为26，得20x+15x+9x+8x=26，解得x=
∴A′B′=10，B′C′=7.5，C′D′=4.5，D′A′=4
23、解：如图2，过E作EN⊥AB，交AB于N点交CD于M点，由题意知，MN=BD=20，EM=FD=4，MB=MD=EF=1.8，则CM=0.2
由CM∥AN，得△ECM∽△EAN
∴CM：AN=EM：EN
∴AN==1.2
∴AB=AN+NB=1.2+1.8=3
所以树高为3m
24、证明：（1）∵四边形ABCD
为平行四边形，∴∠BAF=∠AED
∠C+∠D=180°，∴∠C=∠BFE，∠BFE+∠BFA=180°，∴∠D=∠BFA
∴△ABF∽△EAD
（2）解：∵S ABCD=，∴AB·BE=，∵AB=4
∴BE= ∴AE2=AB2+BE2=42+（）2 AE=
（3）解：由（1）有=，又AD=3，∴BF==4×3×=
25、（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°
∴∠ADB+∠DAB=135°，∵∠ADE=45°，∴∠ADB+∠EDC=135°
∴∠DAB=∠EDC，∴△ABD∽△DCE
(2)解：∵△ABD∽△DCE，∴=
∴AB=AC=1，∠BAC=90°，
∴BC=，CD=-x，
∴= ∴CE=x-x2
∴AE=AC-CE=1-（x-x2）=x2-x+1
即y=x2-x+1（0＜x＜）
拓广探索题
26、（1）解：成立，证明如下
由AB∥EF∥CD得，=，=
两式相加，得+=+===1
∴EF·CD+EF·AB=AB·CD，两边同除以AB·CD·EF得
+=
（2）解：+=
证明如下：作AG⊥BD于G，EH⊥BD于H，CK⊥BD交BD延长线于k，由平行线性质得：
==，==
所以+=1，∴+=
∴+=
27、解（1）以AD为边可作出两个正方形AEFD与AE′F′D′（AB＞AD），如图4所示
（2）矩形EBCF不是黄金矩形，理由如下：
设AB=a，AD=b（a＞b），则BE=BA+AE=a+b，BE′=BA-E′A=a-b，
由ABCD为黄金矩形，得=
∴==÷（1+）=÷（1+）=≠
∴矩形EBCF不是黄金矩形
矩形E′BCF′是黄金矩形
证明：如图4，∵==（1-）÷=（1-）÷=
∴E′BCF′是黄金矩形
（3）由（1）、（2）可发现结论：若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为黄金矩形。