过关训练 解直角三角形
一、填空题(每小题3分，共33分)
1．(2008年江西省)如图1，P是∠的边OA上一点，且P点坐标为(3，4)，则sin＝________，cos＝________．
图1
2．(2008年温州市)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，则tanB＝________．
3．(2008年重庆市)在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝0.8746，那么sinB的值为________．
4．(2008年北京西城区)如果是锐角，且sin2＋cos235°＝1，那么＝________°．
5．(2008年龙岩市)计算：(sin30°)-1-(tan60°)0＝________．
6．(2008年常州市)如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝5，CD⊥AB，则sin∠ACD的值是________，tan∠BCD的值是________．
图2
7．(2008年北京西城区)某风景区改造中，需测量湖两岸游船码头A、B间的距离，设计人员由码头A沿与AB垂直的方向前进了到达C处(如图3)，测得∠ACB＝60°，则这两个码头间的距离AB＝______m(答案可带根号)．
图3
8．(2008年北京东城区)如图4，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是，斜坡上相邻两树间的坡面距离是________m．
图4
9．(2008年河北省)如图5，某建筑物BC直立于水平地面，AC＝．要建造阶梯AB，使每阶高不超过，则此阶梯最少要建______阶(最后一阶的高不足时，按一阶计算：取1.732)．
图5
10．(2008年鄂州市)为了落实“三个代表”重要思想，确保人民群众利益，抵御百年不遇的洪水，市政府决定今年将长的粑铺大堤的迎水坡面铺石加固，如图6，堤高DF＝，堤面加宽，坡度由原来的1∶2改成1∶2.5．则完成这一工程需要的石方数为______m3．
图6
11．(2008年威海市)如图7所示，小明从自家的阳台上观测对面一幢大楼，测得楼顶的仰角为，楼底的俯角为．如果大楼的高为h，那么他家的阳台与大楼的水平距离为________．
图7
二、选择题(每小题3分，共24分)
12．在锐角三角形ABC中，若|2cosA-1|＋(-tanB)2＝0，则sinC等于( )
A． B． C． D．
13．(2001年湖北孝感)在Rt△ABC中，∠C为直角，下列等式不成立的是( )
A．tanA＝cotB B．sinA＝cos(90°-A)
C．cos(60°＋A)＝sin(45°-A) D．cos2B＋sin2B＝1
14．(2008年黄冈市)已知∠A为锐角，且cosA≤，那么( )
A．0°≤A≤60° B．60°≤A<90°. C．0° 15．已知sin＋cos＝m，sin·cos＝n，则m、n的关系是( ) A．m＝n B．m＝2n＋1 C．m2＝2n＋1 D．m2＝1-2n 图8 16．(2008年湖北荆州)如图8，Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，AB＝2，则AC的长是( ) A． B．2 C．3 D． 17．(2001黑龙江)已知a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，若关于x的方程(b＋c)x2-2ax＋c-b＝0有两个相等的实根，且sinB·cosA-cosB·sinA＝0，则△ABC的形状为( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 18．(2001临沂市)如图9，施工工地的水平地面上，有三根外径都是的水泥管两两相切，摞在一起，则其最高点到地面的距离是( ) 图9 A．2 B．1＋ C． D．1＋ 19．(2008年济南市)如图10，已知AB和CD分别是半圆O的直径和弦，AD和BC相交于点E，若∠AEC＝，则S△CDE∶S△ABE等于( ) 图10 A．sin2 B．cos2 C．tan2 D．cot2 三、解答题(20~24每小题7分，25题8分，共43分) 20．(2008年呼和浩特市)a、b、c是△ABC的三边，a、b、c满足等式(2b)2＝4(c＋a)(c-a)，且有＝0，求sinA＋sinB＋sinC的值． 21．如图11，D是△ABC中BC边的中点，∠BAD＝90°，∠DAC＝45°，求sin∠ADB． 图11 22．(2008年济宁市)新村乡计划在河道虚线表示处建一座桥AB(如图12)，预先需要测量桥长AB．由于不能过河直接测量，因此请你设计一个测量方案． 图12 要求：(1)简述测量方法，画出示意图； (2)用你测量的数据(用字母表示)表示桥长AB． 说明：河的两岸及其周围在同一高度上，并且比较平坦． 23．(2008年苏州市)燕尾槽的横断面是等腰梯形，如图13是一个燕尾槽的横断面，其中燕尾角B为55°，外口宽AD为，燕尾槽的深度为，求它的里口宽BC(精确到)． 图13 24．(2008年威海市)如图14，是一块四边形形状薄钢板，∠A＝60°，∠C＝120°，AB＝AD． 图14 (1)能否先沿一条对角线将钢板切割成两块，再焊接成一块与原钢板面积相同的三角形状钢板？若能，请说明切割、焊接的方法，用虚线画出示意图，并说明焊接的钢板为什么是三角形状；若不能，请说明理由． (2)若BC＝，CD＝，求这块钢板的面积． 25．(2008年烟台市)如图15，某港口有一灯塔A，灯塔A的正东有B、C两灯塔，以BC为直径的半圆区域内有若干暗礁，BC＝，一船在M处测得灯塔A、C分别在船的南偏西60°和南偏西15°方向，船沿MA方向行驶恰好处在灯塔C的正北方向N处． 图15 (1)求CN的长(精确到)； (2)若船继续沿MA方向朝A行驶，是否有触礁的危险？ (参考数值：＝1.414，＝1.732，sin15°＝0.2588，cos15°＝0.9658，tan15°＝0.2680，cot15°＝3.732) 参考答案 一、1． 2． 3．0.8746 4．35 5．1 6． 7．500 8．3 9．26 10．144000 11． 二、12．B 13．C 14．B 15．C 16．A 17．D 18．D 19．B 三、20．由(2b)2＝4(c＋a)(c-a)得b2＝c2-a2即c2＝a2＋b2， ∴ △ABC为Rt△，∠C＝90° 由＝0，∴ ，即sinA＝ 设a＝3k，c＝5k，∴ b＝＝4k， ∴ sinB＝， ∴ sinA＋sinB＋sinC＝． 21．延长AD到E，使DE＝AD，连结CE． ∵ BD＝DC，∠1＝∠2，AD＝DE， ∴ △ABD≌△ECD，∴ ∠BAD＝∠CED＝90°． ∵ ∠DAC＝45°， ∴ △AEC为等腰直角三角形． ∴ AE＝CE，又AD＝DE，∴ DE＝EC． 在Rt△CDE中，设DE为x，CD为x． ∴ sinCDE＝． ∵ ∠CDE＝∠ADB，∴ sinADB＝． 22．略 23．里口宽BC约为． 24．(1)能，沿AC切割，将AB与AD重合，得△ACC′． ∵ ∠BAD＋∠BCD＝60°＋120°＝180°， ∴ ∠B＋∠ADC＝180°． 即：C、D、C′共线． ∴ 应为三角形． (2)如图，作BE⊥CD于E，BF⊥AD于F，连BD．易得S△BCD＝． S△ABD＝， ∴ S四边形ABCD＝4(m)2． 25．(1)设BC中点为O，作ND⊥CM，OE⊥AM，垂足分别为D、E，在Rt△MND中，ND＝MN． sinNMD＝6·sin45°＝3． 在Rt△NCD中，CN＝≈16.4(海里) (2)在Rt△ANC中，AC＝CN·cotA＝16.4×cot30°＝16.4×≈28.4(海里)． ∴ AO＝AC-BC≈28.4-×18＝19.4(海里) ∴ OE＝AO≈×19.4＝9.7(海里)． ∵ 9.7＞9， ∴ 船沿MA方向继续行驶，没有触礁的危险．