三角形的内切圆一周强化
一、一周知识概述
一般地，与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆．
内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，到三角形的三边距离相等．
二、重难点知识
1、内心是三角形三个内角的平分线的交点．
2、内心到三角形各边的距离相等．
3、内心的位置：三角形的内心都在三角形的内部．
4、三角形内心与外心可对照记忆．
三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等.三角形的外心的位置与三角形的形状(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形)有关，而三角形的内心位置与三角形的形状无关，都在三角形的形内.
三、典型例题讲解
例1、求一个圆，使它与已知三角形的各边都相切．
作法：(1)作△ABC的∠B、∠C平分线ＢＥ、ＣＦ，设它们交于点I．
(2)过点I作ID⊥BC，交BC于D．
(3)以I为圆心，以ID为半径作⊙I，
则⊙I为所求．
例2、已知：在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，求△ABC内切圆⊙O的半径.
解：可证四边形ODCE为正方形.设⊙O的半径为r，
则CD=CE=r，BD=a－r，AE=b－r，
∴(a－r)＋(b－r)=c,
∴r=,即△ABC内切圆⊙O的半径为.
小结：
直角三角形内切圆半径为，还可以由例3方法求得内切圆半径为r＝.
例3、△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，求内切圆的半径．
解：
作AH⊥BC于H点，则
在Rt△ABH中，,
设内切圆半径为，以面积为等量关系建立方程，
有：，
即
解得，所以内切圆半径为．
例4、O是△ABC的内心，∠A=80°，求∠BOC的度数．
解：
例5、已知正三角形边长为6cm，求他的内切圆半径及外接圆半径．
分析：关键是确定正三角形的内切圆圆心和外接圆圆心.
解：如图，已知△ABC是正三角形，AD⊥BC于D，O为内心，
由已知得BD = BC = 3cm，
∠OBD = ∠ABD = 30°
内切圆半径OD=BD×tan30°=3×=cm，
外接圆半径OB=OD×sin30°=×=cm．
小结：
由例题得到结论：等边三角形内心与外心重合、且外接圆半径是内切圆半径的二倍，即把等边三角形中线(角平分线、高线（三线合一））分成2︰1的比例关系．