相似多边形 图形的位似一周强化
一、一周知识概述
1、相似多边形
对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．
2、相似多边形的性质
相似多边形的对应角相等，对应边成比例．
性质：相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方．
例如：如图所示，已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，且．则：
(1)∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′；
(3)四边形ABCD的周长︰四边形A′B′C′D′的周长=k；
(4)S四边形ABCD︰S四边形A′B′C′D′=k2．
3、位似图形
两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形．
位似图形的两个相关概念：
(1)位似中心：每组对应点所在的直线都经过的那一点，叫做位似中心．
(2)位似比：位似图形是相似图形，所以有相似比，这个相似比就是位似比．
说明：位似图形必须满足的两个条件：
（1）两个图形是相似图形；
（2）两个相似图形每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行或重合．
4、位似图形的性质
位似图形任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
5、图形的相似与位似图形的区别与联系：
两个图形是相似图形，但不一定是位似图形；
两个图形是位似图形，它们一定是相似图形．
6、以原点为位似中心的位似变换的性质
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．
若原图形上的点的坐标为（x,y），像与原图形的位似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（－kx，-ky）．
二、典型例题讲解
例1、如图中的两个梯形相似，求出未知边x、y、z的长度和α、β的大小．
解：
由相似多边形对应边成比例，得====．
∴ x=3，y=6，z=3． 由于对应角相等，∴ α=∠D=180°-∠A=118°．
β=∠B′=180°-∠C′=64°．
点评：① 应用相似多边形特征求边和角时，关键是找对对应边和对应角，从而列出等式，通过解方程求解．② 一般地，相等的角是对应角，对应角所夹的边是对应边；对应边所夹的角是对应角；最大(小)的边是对应边；最大(小)的角是对应角．
例2、如图所示，在一块长和宽分别为a和b(a＞b)的长方形黑板的四周，镶上宽度为x(x≠)的木条，得到一个新的长方形．试判断原来的长方形与新长方形是否相似．
解：
新长方形的长为a+2x，宽为b+2x．
⑴ -==
∵ a ＞b ,x≠0
∴≠.
⑵ -=
==
∵a＞b，x≠，
∴≠.
由⑴、⑵知，这两个长方形对应边不成比例．
∴这个新长方形与原长方形不相似．
点评：① 此题看对应边是否成比例，用了作差的方法．若差等于零，则两比值相等；若差不等于零，则比值不相等．② 找对应边时，注意矩形的长宽都要检查，不能只考虑一种情况．
例3、某出版社一位编辑在设计一本书的封面时，想把封面划分为四个矩形，其中左上角矩形与右下角矩形相似(如图所示)，以给人一种和谐的感觉，那么这样的两个矩形是怎样设计出来的呢？
分析：
如图所示，在封面矩形ABCD中，我们先作出一条横向分割线EF，此时要作出纵向分割线GH，使矩形AEPG与矩形PHCF相似，关键要确定两条分割线的交点P．当然，利用相似比可以算出或画出EP来，但是在设计时，两个相似矩形的大小会根据不同需要而改变，每次都计算显然很麻烦，能不能找到更好的方法呢？如果能找到P点位置的规律就更好了．现在假设两个相似的矩形已经作出来了，如图所示，连接AP，PC，则(对应边成比例)，∠AEP=∠CFP=90°(对应角相等)，于是△AEP∽△CFP，则有∠APE=∠CPF，这样A，P，C三点共线，即P点必在对角线AC上．
解：
如图所示，连接AC，在AC上根据需要取一点P，过P作EF∥BC，GH∥AB．
则矩形AEPG和矩形CFPH就是两个相似的矩形．
因为矩形的每一个内角都是直角，又由AE∥FC，AG∥CH，
可得△AEP∽△CFP，△AGP∽△CHP．
所以矩形AEPG∽矩形CFPH，则
于是△AEP∽△CFP．
这样A，P，C三点共线，即P点必在对角线AC上．
例4、如图所示，分别按下列要求作出四边形ABCD以O为位似中心的位似四边形A′B′C′D′．
(1)沿OA方向放大为原图形的2倍；
(2)沿AO方向放大原图形的2倍．
分析：
此题两问都是将原图形放大2倍，也就是位似比为2︰1，而(1)问是沿OA方向，即从O点向A点的方向放大；而(2)问是沿AO方向，即从A点向O点的方向放大．
解：
(1)如图（1）所示．
①连接OA，并延长OA到A′，使A A′=OA．
②连接OB，并延长OB到B′，使BB′=OB．
③连接OC，并延长OC到C′，使CC′=OC．
④连接OD，并延长OD到D′，使DD′=OD．
⑤连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′．
则四边形A′B′C′D′是四边形ABCD关于O点的位似图形，且位似比为2︰1．
（1） （2）
(2)如图（2）所示．
①连接AO，并延长AO到A′，使O A′=2OA．
②连接OB，OC，OD，并延长BO，CO，DO到B′，C′，D′，使OB′=2OB，OC′=2OC，OD′=2OD．
③连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′．
则四边形A′B′C′D′是四边形ABCD关于O点的位似图形，且位似比为2︰1．
例5、将下图中的△ABC作下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．
(1)沿y轴负方向平移1个单位；
(2)关于x轴对称；
(3)以C点为位似中心，放大到1.5倍．
分析：
作平移、对称后的图形与原图全等，点的坐标发生变化，可根据平移、对称的特征，求出平移、对称变换后图形的坐标．位似变换如果以原点为位似中心可按位似变换的点的坐标求法求点的坐标．
解：
变换后的图形如下图所示．
(1)将△ABC沿y轴负方向平移1个单位后得到△A1B1C1，A1(－5,－1)，B1(0,2)，C1(0,－1)．
即横坐标不变，纵坐标减小．
(2)将△ABC关于x轴对称后，得△A2B2C2，A2(－5,0)，B2(0,－3)，C2(0,0)．
即横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数．
(3)将△ABC以C点为位似中心，放大到1.5倍得△A3B3C3，显然，A3(－5×1.5,0)，B3(0,3×1.5)，C3(0,0)，即A3(－7.5,0)，B3(0,4.5)，C3(0,0)．
反思：本题应先按图形变换的要求画出相应的图形，再求出变换后图形的点的坐标，第(3)问求变换后图形的点的坐标的方法，注意此时的位似中心是原点．