4.3两个三角形相似的判定
第1题. 如图，，垂足为，过点作，垂足为，交于点．请找出图中所有的相似三角形，并说明理由．
答案：解：（1）因为
所以．
（2）因为，
所以．
所以．
（3）因为，，
所以．
（4）因为，，
所以．
（5）因为，，
所以．
（6）因为，，
所以．
第2题. 如图，一艘军舰从点向位于正东方向的岛航行，在点处测得岛在其北偏东，航行75n mile到达点处，测得岛在其北偏东，继续航行5n mile到达岛，此时接到通知，要求这艘军舰在半小时内赶到正北方向的岛执行任务，则这艘军舰航行速度至少为多少时才能按时赶到岛？
答案：解：根据题意，可得．
所以
由相似三角形对应边成比例，得
，即．
所以．
要求军舰在半小时内赶到正北方向的岛执行任务，因此航行速度至少是
(n mile/h)
第3题. 如图，点分别在上，与相交于一点，若，
则图中相似三角形有几对？分别写出来说明理由．
答案：2对 ．理由略
第4题. 如图，已知，若cm，求的长．
答案：cm
第5题. 如图，已知若cm，cm，试求的长．
答案：cm
第6题. 如图，为的中点，求的周长．
答案：解：由，为的中点，得
cm．
由，得
．
因为两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，
所以．
由相似三角形对应边成比例，得
，即．
所以(cm)．
因此，的周长是(cm)．
第7题. 已知的三条边长之比为，与其相似的另一个最大的边长为，则最小的边长为 cm，周长为 cm．
答案：6 38
第8题. 如图，在中，点分别在边上，且，若cm，则 cm．
答案：6
第9题. 如图，点分别为边的三等分点（即：），若，求的大小．
答案：
第10题. 如图，在中，是上的一点，，在上是否存在一点，使三点组成的三角形与相似？如果存在，请求出的长；如果不存在，请说明理由．
答案：解：存在．
因为，
所以是直角三角形，．
设所求的长为，
在与中，，
（1）若，则．
此时．
解得．
（2）若，则．
此时．
解得．
所以，当取或时，三点组成的三角形与相似．
第11题. 如图，下列条件中不能判定的是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
答案：(A)
第12题. 已知：如图，点在线段上，是等边三角形．（1）当满足怎样的关系式时；（2）当时，求的度数．
答案：解：（1）当时，；
（2）当时，．
第13题. 在和中，
则与是否相似？ （填“是”或“不是”）．
答案：是
第14题. 下列四组图形中不一定相似的是 ．
Ａ．有一个角等于的两个等腰三角形
Ｂ．有一个角为的两个直角三角形
Ｃ．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形
Ｄ．有一个角是的两个等腰三角形
答案：Ａ
第15题. 能判定与相似的条件是 ．
Ａ． Ｂ．，且
Ｃ．且 Ｄ．，且
答案：Ｃ
第16题. 已知：如图，，当为多少时，图中的两个三角形相似．
答案：为3.6或4.8
第17题. 如图，线段相交于点，要使，已具备条件 ，还需要补充的条件是 ，或 或 ．
答案：
第18题. 如图，为的边上的一点，连接，要使，应具备下列条件中的（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
第19题. 如图，已知．
（1）图中有哪几对相似三角形？把它们写出来；
（2）证明你所写出的结论．
答案：（1）解：图中的相似三角形有三对，它们分别是
（2）证明：，
，
，即，
又，
又，
即
．
第20题. 如图12，是轴上一动点，是否存在平行于轴的直线，使它与直线和
直线分别交于点（在的上方），且为等腰直角三角
形．若存在，求的值及点的坐标；若不存在，请说明原因．
答案：解：存在．
方法一：当时，；当时，．
点坐标为，点坐标为．
在的上方，，且． 3分
为等腰直角三角形，．
若
点坐标为．
若，
点坐标为．
若时，即为斜边，
的中点坐标为点坐标为．
若时，由已知得
（不符合题意，舍去），
此时直线不存在．
若，时，即为斜边，由已知得，
点坐标为．
综上所述：当时，为等腰直角三角形，此时Ｐ点坐标为或
；当时，为等腰直角三角形，此时Ｐ点坐标为；
当时，为等腰直角三角形，此时Ｐ点坐标为．
方法二：设直线交轴于点，交直线于点，过点作
垂直于轴，垂足为，交于点．平行于轴，．
点坐标为 2分
当时，点坐标为 3分
为等腰直角三角形，
如图４，若和时，
．
当时，
点坐标为或．
若时，即为斜边，．
中点的纵坐标为点坐标
为
如图5，若时，，
（不符合题意，舍去），此时直线存在． 10分
若时，即为斜边，
点坐标为（０，０）．
综上述所述：当时，为等腰直角三角形，此时点坐标为或
；当时，为等腰直角三角形，此时点坐标为；当
时，为等腰直角三角形，此时点坐标为（０，０）．
第21题. 如图，是Rt的斜边上异于、的一点，过
点作直线截，使截得的三角形与相似，满足这样条件
的直线共有（ ）条
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
答案：C
第22题. ．如图５，是平行四边形，则图中与相似的三角形
共有（ ）
(A)１个 (B)２分
(C)３个 (D)4个
答案：B
第23题. 如图，梯形ABCD中，AD//BC，BD为对角线，中位线EF交BD于O点，
若FO－EO=3，则BC－AD等于
A．4 B．．8 D．10
答案：B
第24题. 如图，，垂足为点．
（1）求证：点的中点；
（2）求四边形的面积．
答案：解：（1）连结
，
．
．
．
的中点．
（2）由（1）知，的中点．
．
又，
第25题. 小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：“真可惜！
我只能将你最高翘到高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我
就能翘到25，甚至更高！”
（1）你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明；
（2）你能否找出将小瘦翘到25高的方法？试说明．
解：
答案：解：（1）小胖的话不对．
小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到1
米高”，情形如图（1）所示，是标准跷跷
板支架的高度，是跷跷板一端能翘到的最
高高度，是地面．
又此跷跷板是标准跷跷板，，
而米，得米．
若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为米．
如图（2）所示，米，米
，即．
，同理可得．
，由米，得米．
综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，
跷跷板能翘到的最高高度始终为支架高度的两倍，
所以不可能翘得更高．
（2）方案一：如图（3）所示，保持长度不变．将
延长一半至，即只将小瘦一边伸长一半．
使则．
由得
米．
方案二：如图（4）所示，只将支架升高．
又米．
．
米．
第26题. 在△中，，，，，则 ．
答案：9