2015-2016学年辽宁省营口市大石桥市水源二中九年级（上）期末数学模拟试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．若方程（m﹣1）﹣2x﹣m是关于x的一元二次方程，则m的值为( )
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣1或1
2．下列图形中不是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．新$课$标$第$一$网
3．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于( )
A．160° B．150° C．140° D．120°
4．如图，圆锥体的高h=2cm，底面圆半径r=2cm，则圆锥体的全面积为( )cm2．
A．12π B．8π C．4π D．（4+4）π
5．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是( )
A． B． C． D．
6．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是( )
A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1
7．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，联结BC，若∠A=36°，则∠C等于( )
A．36° B．54° C．60° D．27°
8．将二次函数y=2x2﹣8x﹣1化成y=a（x﹣h）2+k的形式，结果为( )
A．y=2（x﹣2）2﹣1 B．y=2（x﹣4）2+32 C．y=2（x﹣2）2﹣9 D．y=2（x﹣4）2﹣33
9．在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC=3cm，AB=5cm，若以C为圆心，4cm为半径画一个圆，则下列结论中，正确的是( )
A．点A在圆C内，点B在圆C外 B．点A在圆C外，点B在圆C内
C．点A在圆C上，点B在圆C外 D．点A在圆C内，点B在圆C上
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是( )
A．a＜0 B．b2﹣4ac＜0
C．当﹣1＜x＜3时，y＞0 D．﹣
二、填空题（每小题3分，24分）
11．若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣6x+8=0，则此三角形的周长为__________．
12．如图，已知PA，PB分别切⊙O于点A、B，∠P=60°，PA=8，那么弦AB的长是__________．
13．在半径为的圆中，60°的圆心角所对的弧长等于__________．
14．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n=__________．
15．若抛物线y=x2﹣2x+m（m为常数）与x轴没有公共点，则实数m的取值范围为__________．
16．若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10cm、深约为2cm的小坑，则该铅球的直径约为__________cm．
17．某商品原价289元，经过两次连续降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则由题意所列方程__________．
18．一块草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成，如图，为牢固期间，每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管做成的立柱．为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据，则需要不锈钢管的总长度为__________．（米）
三、解答题（共96分）
19．解方程
（1）x（2x﹣1）=2（1﹣2x）
（2）x2﹣5x﹣4=0．
20．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABO的三个顶点都在格点上．
（1）以O为原点建立直角坐标系，点B的坐标为（﹣3，1），则点A的坐标为__________；
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后的△OA1B1，并求线段AB扫过的面积．
21．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．
（部分参考数据：322=1024，522=2704，482=2304）
22．在一个不透明的盒子里，装有四个分别写有数字﹣2、﹣1、1、2的乒乓球（形状、大小一样），先从盒子里随机取出一个乒乓球，记下数字后放回盒子，然后搅匀，再从盒子里随机取出一个乒乓球，记下数字．
（1）请用树状图或列表的方法求两次取出乒乓球上的数字相同的概率；
（2）求两次取出乒乓球上的数字之和等于0的概率．
23．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G．
（1）求证：点E是的中点；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）若AD=6，⊙O的半径为5，求弦DF的长．
24．（14分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）为了使顾客尽量满意，每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？
25．（14分）如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=，PB=，PC=1，求∠BPC的度数．
【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连结PP′．
【解决问题】请你通过计算求出图2中∠BPC的度数；
【比类问题】如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=，PB=4，PC=2．
（1）∠BPC的度数为__________；
（2）直接写出正六边形ABCDEF的边长为__________．
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC，=．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．
2015-2016学年辽宁省营口市大石桥市水源二中九年级（上）期末数学模拟试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．若方程（m﹣1）﹣2x﹣m是关于x的一元二次方程，则m的值为( )
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣1或1
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：由（m﹣1）﹣2x﹣m是关于x的一元二次方程，得
m2+1=2，且m﹣1≠0．
解得m=﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．下列图形中不是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形．故错误；
B、是中心对称图形．故错误；
C、是中心对称图形．故错误；
D、不是中心对称图形．故正确．
故选D．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于( )
A．160° B．150° C．140° D．120°
【考点】圆周角定理；垂径定理．
【专题】压轴题．
【分析】利用垂径定理得出=，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．
【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，
∴=，
∵∠CAB=20°，
∴∠BOD=40°，
∴∠AOD=140°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出∠BOD的度数是解题关键．
4．如图，圆锥体的高h=2cm，底面圆半径r=2cm，则圆锥体的全面积为( )cm2．
A．12π B．8π C．4π D．（4+4）π
【考点】圆锥的计算．
【分析】表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面圆的半径为2，则底面周长=4π，
∵底面半径为2cm、高为2cm，
∴圆锥的母线长为4cm，
∴侧面面积=×4π×4=8π；
底面积为=4π，
全面积为：8π+4π=12πcm2．
故选：A．
【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，牢记公式是解答本题的关键．
5．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是( )
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况，
∴两次都摸到白球的概率是：=．
故答案为：C．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是( )
A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据判别式的意义得到△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，
∴△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得k＞；且k﹣1≠0，即k≠1．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
7．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，联结BC，若∠A=36°，则∠C等于( )
A．36° B．54° C．60° D．27°
【考点】切线的性质．
【分析】根据题目条件易求∠BOA，根据圆周角定理求出∠C=∠BOA，即可求出答案．
【解答】∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=36°，
∴∠BOA=54°，
∴由圆周角定理得：∠C=∠BOA=27°，
故选D．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠BOA度数．
8．将二次函数y=2x2﹣8x﹣1化成y=a（x﹣h）2+k的形式，结果为( )
A．y=2（x﹣2）2﹣1 B．y=2（x﹣4）2+32 C．y=2（x﹣2）2﹣9 D．y=2（x﹣4）2﹣33
【考点】二次函数的三种形式．
【分析】利用配方法整理即可得解．
【解答】解：y=2x2﹣8x﹣1，
=2（x2﹣4x+4）﹣8﹣1，
=2（x﹣2）2﹣9，
即y=2（x﹣2）2﹣9．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法的操作是解题的关键．
9．在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC=3cm，AB=5cm，若以C为圆心，4cm为半径画一个圆，则下列结论中，正确的是( )
A．点A在圆C内，点B在圆C外 B．点A在圆C外，点B在圆C内
C．点A在圆C上，点B在圆C外 D．点A在圆C内，点B在圆C上
【考点】点与圆的位置关系．
【分析】首先运用勾股定理求出BC的长度，然后运用判断点与圆的位置关系的方法，进行判断、解析，即可解决问题．
【解答】解：由勾股定了得：BC2=AB2﹣AC2，
∴=4，
∴若以C为圆心，4cm为半径画一个圆，
点A在圆C内，点B在圆C上，
故选D．
【点评】该题主要考查了点与圆的位置关系及其应用问题；牢固掌握判断点与圆的三种位置关系的判定方法是解题的关键．
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是( )
A．a＜0 B．b2﹣4ac＜0
C．当﹣1＜x＜3时，y＞0 D．﹣
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】存在型．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵抛物线的开口向上，∴a＞0，故选项A错误；
B、∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故选项B错误；
C、由函数图象可知，当﹣1＜x＜3时，y＜0，故选项C错误；
D、∵抛物线与x轴的两个交点分别是（﹣1，0），（3，0），∴对称轴x=﹣==1，故选项D正确．
故选D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，能利用数形结合求解是解答此题的关键．
二、填空题（每小题3分，24分）
11．若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣6x+8=0，则此三角形的周长为6，10，12．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系． [来源:Z#xx#k.Com]
【专题】计算题；压轴题．
【分析】求△ABC的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．首先求出方程的根，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
【解答】解：解方程x2﹣6x+8=0得x1=4，x2=2；
当4为腰，2为底时，4﹣2＜4＜4+2，能构成等腰三角形，周长为4+2+4=10；
当2为腰，4为底时4﹣2=2＜4+2不能构成三角形，
当等腰三角形的三边分别都为4，或者都为2时，构成等边三角形，周长分别为6，12，故△ABC的周长是6或10或12．
【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
12．如图，已知PA，PB分别切⊙O于点A、B，∠P=60°，PA=8，那么弦AB的长是8．
【考点】切线的性质；等边三角形的判定与性质．
【分析】由PA，PB分别切⊙O于点A、B，根据切线长定理，即可求得PA=PB，又由∠P=60°，即可证得△PAB是等边三角形，由PA=8，则可求得弦AB的长．
【解答】解：∵PA，PB分别切⊙O于点A、B，
∴PA=PB，
∵∠P=60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴AB=PA=PB，
∵PA=8，
∴AB=8．
故答案为：8．
【点评】此题考查了切线长定理与等边三角形的判定与性质．此题比较简单，解题的关键是注意熟记切线长定理，注意数形结合思想的应用．
13．在半径为的圆中，60°的圆心角所对的弧长等于2．
【考点】弧长的计算．
【分析】弧长公式为l=，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长．
【解答】解：l===2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长计算公式．
14．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n=3．
【考点】概率公式．
【专题】计算题．
【分析】先求出这个不透明的盒子中装有2+n个球，根据概率公式列出算式=，从而求出答案．
【解答】解：这个不透明的盒子中装有2+n个球，
又∵从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，
∴=，
解得n=3，
故答案为3．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
15．若抛物线y=x2﹣2x+m（m为常数）与x轴没有公共点，则实数m的取值范围为m＞1．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】根据抛物线与x轴的没有交点，即△=b2﹣4ac＜0，即可求出m的取值范围．
【解答】解：∵若抛物线y=x2﹣2x+m（m为常数）与x轴没有公共点，
∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×m＜0，
即4﹣4m＜0，解得：m＞1，
故答案为：m＞1．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点．熟记抛物线与x轴的交点个数与系数的关系是解决此题的关键．
[来源:学。科。网]
16．若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10cm、深约为2cm的小坑，则该铅球的直径约为14.5cm．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【专题】应用题．
【分析】根据题意，把实际问题抽象成几何问题，即圆中与弦有关的问题，根据垂径定理，构造直角三角形，小坑的直径就是圆中的弦长，小坑的深就是拱高，利用勾股定理，设出未知数，列出方程，即可求出铅球的直径．
【解答】解：根据题意，画出图形如图所示，
由题意知，AB=10，CD=2，OD是半径，且OC⊥AB，
∴AC=CB=5，
设铅球的半径为r，则OC=r﹣2，
在Rt△AOC中，根据勾股定理，OC2+AC2=OA2，
即（r﹣2）2+52=r2，
解得：r=7.25，
所以铅球的直径为：2×7.25=14.5 cm．
【点评】解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
17．某商品原价289元，经过两次连续降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则由题意所列方程289×（1﹣x）2=256．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）=256，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：第一次降价后的价格为289×（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，
为289×（1﹣x）×（1﹣x），则列出的方程是289×（1﹣x）2=256．
【点评】考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
18．一块草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成，如图，为牢固期间，每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管做成的立柱．为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据，则需要不锈钢管的总长度为80．（米）
【考点】二次函数的应用．
【分析】根据所建坐标系特点可设解析式为y=ax2+c的形式，结合图象易求B点和C点坐标，代入解析式解方程组求出a，c的值的解析式；根据对称性求B3、B4的纵坐标后再求出总长度．
【解答】解：由题意得B（0，0.5）、C（1，0）
设抛物线的解析式为：y=ax2+c（a≠0），
，
代入得：
故解析式为：y=﹣x2+；
∵当x=0.2时，y=0.48，
当x=0.6时，y=0.32，
∴B1C1+B2C2+B3C3+B4C4=2×（0.48+0.32）=1.6（米），
∴所需不锈钢管的总长度为：1.6×50=80（米）．
故答案为：80．
【点评】本题考查了二次函数的应用，数学建模思想是运用数学知识解决实际问题的常规手段，建立恰当的坐标系很重要．
三、解答题（共96分）
19．解方程
（1）x（2x﹣1）=2（1﹣2x）
（2）x2﹣5x﹣4=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．
【分析】（1）根据因式分解，可得方程的解；
（2）根据公式法，可得方程的解．
【解答】解：（1）移项，得
x（2x﹣1）+2（2x﹣1）=0，
因式分解，得
（2x﹣1）（x+2）=0．
于是，得
2x﹣1=0或x+2=0．
解得x1=，x2=﹣2；
（2）x2﹣5x﹣4=0，a=1，b=﹣5，c=﹣4，
△b2﹣4ac=25﹣4×1×（﹣4）=41，
x==，
．
【点评】本题考查了解方程，利用了因式分解法解方程，公式法解方程．
20．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABO的三个顶点都在格点上．
（1）以O为原点建立直角坐标系，点B的坐标为（﹣3，1），则点A的坐标为（﹣2，3）；
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后的△OA1B1，并求线段AB扫过的面积．
【考点】作图-旋转变换．
【专题】计算题；作图题．
【分析】（1）先画出直角坐标系，然后根据第二象限点的坐标特征写出A点坐标；
（2）先利用网格特点和旋转的性质画出点A和B的对应点A1、B1，即可得到△OA1B1，再利用勾股定理计算出OA和OB，然后根据扇形面积公式计算S扇形OAA1﹣S扇形BOB1的即可．
【解答】解：（1）如图1，点A的坐标为（﹣2，3）；
（2）如图2，△OA1B1为所作；
OA==，OB==
线段AB扫过的面积=S扇形OAA1﹣S扇形BOB1
=﹣[来源:Z.xx.k.Com]
=π．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了扇形的面积公式．
21．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．
（部分参考数据：322=1024，522=2704，482=2304）
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题；数形结合．
【分析】本题可设道路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32﹣x）米2，进而即可列出方程，求出答案．
【解答】解法（1）：
解：利用平移，原图可转化为右图，设道路宽为x米，
根据题意得：（32﹣x）=540
整理得：x2﹣52x+100=0
解得：x1=50（舍去），x2=2
答：道路宽为2米．
解法（2）：
解：利用平移，原图可转化为右图，设道路宽为x米，
根据题意得：20×32﹣x+x2=540
整理得：x2﹣52x+100=0
解得：x1=2，x2=50（舍去）
答：道路宽应是2米．
【点评】这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．
22．在一个不透明的盒子里，装有四个分别写有数字﹣2、﹣1、1、2的乒乓球（形状、大小一样），先从盒子里随机取出一个乒乓球，记下数字后放回盒子，然后搅匀，再从盒子里随机取出一个乒乓球，记下数字．
（1）请用树状图或列表的方法求两次取出乒乓球上的数字相同的概率；
（2）求两次取出乒乓球上的数字之和等于0的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率；
（2）求两次取出乒乓球上的数字之和等于0个数，即可求得其概率．
【解答】解：（1）画树形图得：
所以两次取出乒乓球上的数字相同的概率==
（2）由（1）可知：两次取出乒乓球上的数字之和等于0的概率P=．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G．
（1）求证：点E是的中点；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）若AD=6，⊙O的半径为5，求弦DF的长．
【考点】切线的判定；勾股定理；圆周角定理．
【分析】（1）连接OD．欲证明点E为的中点，只需证明∠DOC=∠BOC即可；
（2）若证明CD是⊙O的切线，需要证明∠ODC=90°，即OD⊥CD；
（3）利用垂径定理推知△ADG和△ODG都是直角三角形，所以在这两个直角三角形中利用勾股定理来求线段DG的长度．
【解答】（1）连接OD，∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA
又∵AD∥OD
∴∠OAD=∠BOC，∠DOC=∠ODA，
∴∠DOC=∠BOC，
∴
∴点E为的中点
（2）∵在△BOC与△DOC中，
∴△BOC≌△DOC（SAS）
∴∠CDO=∠CBO=90°，
∴CD为⊙O的切线；
（3）∵AB⊥DF
∴2DG=DF
设AG=x，则OG=5﹣x
在Rt△ADG和Rt△ODG中，由勾股定理得：62﹣x2=52﹣（5﹣x）2
解得：
∴DG=
∴DF=2DG=9.6
【点评】本题综合考查了切线的判定与性质、圆周角定理以及勾股定理．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
24．（14分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）为了使顾客尽量满意，每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据题意可知y与x的函数关系式．
（2）根据题意可知y=﹣10﹣（x﹣5.5）2+2402.5，当x=5.5时y有最大值．
（3）设y=2200，解得x的值．
【解答】解：（1）由题意得：y=（210﹣10x）（50+x﹣40）
=﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15且x为整数）；
（2）由（1）中的y与x的解析式配方得：y=﹣10（x﹣5.5）2+2402.5．
∵a=﹣10＜0，∴当x=5.5时，y有最大值2402.5．
∵0＜x≤15，且x为整数，
当x=5时，50+x=55，y=2400（元），
当x=6时，50+x=56，y=2400（元），
∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．
（3）当y=2200时，﹣10x2+110x+2100=2200，
解得：x1=1，x2=10．
∴当x=1时，50+x=51，当x=10时，50+x=60．
∴当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．
【点评】此题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，体现建模思想的渗透．
25．（14分）如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=，PB=，PC=1，求∠BPC的度数．
【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连结PP′．
【解决问题】请你通过计算求出图2中∠BPC的度数；
【比类问题】如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=，PB=4，PC=2．
（1）∠BPC的度数为120°；
（2）直接写出正六边形ABCDEF的边长为2．
【考点】四边形综合题．
【分析】【解决问题】如图4，将△PBC逆时针旋转90°得△P′BA，连接PP′，就可以求得∠P′BP=90°，P′B=PB，求出∠BP′P的度数，由勾股定理就可以求出PP′的值，在△P′AP中由勾股定理的逆定理可以得出△P′AP是直角三角形，求出∠PP′A的度数，从而可以求出结论；
（1）仿照【分析】中的思路，将△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，然后连结PP′．如图所示，根据旋转的性质可得：△PBC≌△P′BA，从而得出△BPP′为等腰三角形，PB=P′B=4，PC=P′A=2，∠BPC=∠BP′A，由∠ABC=120°，就有∠PBP′=120°，∠BP′P=30°，可以求得PP′=，由勾股定理的逆定理就可以求出∠AP′P=90°从而得出结论；
（2）延长A P′作BG⊥AP′于点G，在Rt△P′BG中，P′B=4，∠BP′G=60°，就可以得出P′G=2，BG=，则AG=P′G+P′A=2+2=4，在Rt△ABG中，根据勾股定理得AB=．
【解答】解：【解决问题】如图4，将△PBC逆时针旋转90°得△P′BA，连接PP′，
∴△AP′B≌△CPB，
∴P′B=PB=，P′A=PC=1，∠1=∠2．∠AP′B=∠BPC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠1+∠3=90°，
即∠P′BP=90°．
∴∠BP′P=45°．
在Rt△P′BP中，由勾股定理，得
PP′2=4．
∵P′A=1，AP=
∴P′A2=1，AP2=5，
∴P′A2+PP′2=AP2，
∴△P′AP是直角三角形，
∴∠AP′P=90°．
∴∠AP′B=45°+90°=135°，
∴∠BPC=135°；
（1）仿照【分析】中的思路，将△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，连结PP′．如图5，
∴△PBC≌△P′BA，
∴P′B=PB=4，PC=P′A=2，∠BPC=∠BP′A，
∴△BPP′为等腰三角形，
∵∠ABC=120°，
∴∠PBP′=120°，
∴∠BP′P=30°，
作BG⊥PP′于G，
∴∠P′GB=90°，PP′=2P′G．[来源:学,科,网]
∵P′B=PB=4，∠BP′P=30°，
∴BG=2，
∴P′G=2
∴PP′=，
在△APP′中，∵PA=，PP′=，P′A=2，
∴PA2=52，PP′2=48，P′A2=4，
∴P′A2+P′P2=PA2，
∴△PP′A是直角三角形，
∴∠AP′P=90°．
∴∠BPC=∠BP′A=30°+90°=120°．
（2）延长A P′作BG⊥AP′于点G，如图6，
在Rt△P′BG中，P′B=4，∠BP′G=60°，
∴P′G=2，BG=，
∴AG=P′G+P′A=2+2=4，
在Rt△ABG中，根据勾股定理得AB=．
故答案为：120°；2．
【点评】本题是一道四边形的综合试题，考查了旋转在正多边形中的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，勾股定理的逆定理的运用，等腰三角形的性质的运用，解答本题时运用等腰三角形的性质解答是关键
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC，=．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．
【考点】二次函数综合题．
【专题】综合题．
【分析】（1）分别确定A、B、C的坐标，利用待定系数法可得二次函数的表达式；
（2）根据A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，可得点F的可能坐标，再由点F在抛物线上，可最终确定；
（3）分两种情况讨论，①MN在x轴上，②MN在x轴下，表示出N的坐标，代入抛物线解析式可得半斤的长度．
【解答】解：（1）∵点B的坐标为（3，0），OB=OC，
∴点C的坐标为（0，﹣3），
又∵=，
∴OA=1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
将A、B、C三点坐标代入可得：，
解得：，
故这个二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3．
（2）在该抛物线上存在点F（2，﹣3），使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形．
理由：由（1）得D（1，﹣4），则直线CD的解析式为：y=﹣x﹣3，
故E点的坐标为（﹣3，0），
∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，
∴F点的坐标为（2，﹣3）或（﹣2，﹣3）或（﹣4，3），
代入抛物线的表达式检验，只有（2，﹣3）符合．
∴抛物线上存在点F（2，﹣3），使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形．
（3）①如图，当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R＞0），
则N（R+1，R），代入抛物线的表达式，解得R=，
其中R=（不合题意，舍去），
∴R=．
②如图，当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r＞0），
则N（r+1，﹣r），
代入抛物线的表达式，解得：r=，
其中r=（不合题意，舍去），
∴r=．
综合①②得：圆的半径为或．
【点评】本题考查二次函数的综合，涉及了平行四边形的性质、圆的性质特征及待定系数法求抛物线解析式，解答本题的关键是数形结合思想及分类讨论思想的运用．
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