《圆的基本性质》 单元复习
考点分析：
随着对复杂几何证明要求的降低，对圆一章内容的删减，圆的考题难度有明显降低。
与圆有关的位置关系，试题强调基础，突出能力，源于教材，知识重组，变中求新，重在培养创新意识。要注意分类讨论和有关圆的问题的多解性，同时结合阅读理解，条件开放，结论开放的探索题型，结合运动的动态型综合题问题，结合函数的函数几何综合题逐渐成为新课程中的热门考点。
【本章知识框架】
圆 基本元素：圆的定义，圆心，半径，弧，弦，弦心距
的 垂径定理
认 对称性：旋转不变性，轴对称，中心对称（强）
识 圆心角、弧、弦、弦心距的关系
与圆有关的角：圆心角，圆周角
弧长，扇形的面积，弓形的面积，及组合的几何图形
圆中的有关计算：
圆锥的侧面积、全面积
一、圆的概念
1、圆的定义：线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．点O叫做圆心，线段OP叫做半径。
2、弧：圆上任意两点间部分叫做圆弧，简称弧。优弧、劣弧以及表示方法。
3、弦，弦心距，圆心角，圆周角，
【例1】如图23-1，已知一个圆，请你用多种方法确定圆心．
分析：要确定一个圆的圆心，我们可以从两个方面分析：
(1) 圆心在弦的中垂线上；(2) 圆心是直径的交点。
【例2】下列命题正确的是( )
A．相等的圆周角对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．三点确定一个圆 D．平分弦的直径垂直于弦．
【例3】填空：
⑴ 一条弦把圆分成两部分，则劣弧所对的圆心角的度数是 ；
⑵ 等边△ABC内接于⊙O，∠AOB= 度。
4、判定一个点P是否在⊙O上．
设⊙O的半径为R，OP＝d，则有：
d>r 点P在⊙O 外；
d＝r 点P在⊙O 上；
d 【例4】 ⊙O的半径为4 cm，若线段OA的长为10 cm，则OA的中点B在⊙O的______，若线段OA的长为6 cm，则OA的中点B在⊙O的______。 【例5】一个点到圆的最大距离为1l cm，最小距离为5 cm，则圆的半径为______。 【例6】P(x，y)是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的点共有 （ ） A 4个 B 8个 C 12个 D 16个 5、三角形的外接圆，外心 三角形的外心：是三角形三边垂直平分线的交点，它是三角形外接圆的圆心。 知识点：锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部。 三角形外心到三角形三个顶点的距离相等。 相关知识：三角形重心，是三角形三边中线的交点，在三角形内部。 【例7】(2004.北京东城)如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A=45°，BC=2，求⊙O的面积。 答案：2π。 二、圆的性质 1、旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合； 2、圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 性质：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量也分别相等。 3、轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴． 【例8】（浙江）世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自生活中的图形中都有圆（如图3所示）． 图中的（1），（2），（3）三个图看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称性和中心对称性． ⑴ 请问（1），（2），（3）三个图形中是轴对称图形的有 ，是中心对称图形的有 ；（用（1），（2），（3）这三个图形的代号填空） ⑵ 请在图（4），（5）的两个圆内，按要求分别画出与上面图案不重复的图案（草图），（用尺规画，或徒手画均可，但要尽可能准确些、美观些）要求图4是轴对称图形，但不是中心对称图形；图5既是轴对称图形，又是中心对称图形。 【例9】如图，OE、OF分别是⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE＝OF，那么 （只需写出一个正确的结论）． 【例10】(2003•北京市)如图23-10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的长为( ) A 2 B 3 C 4 D 5 答案：A． 【例11】(2002•青海省)⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为( ) A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm 【例12】(2001•吉林省)如图23-14，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是_________． 4、与圆有关的角 ⑴ 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 ⑵ 圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角的性质： ① 圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半． ② 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ③ 90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角． 【例13】(2001•青海省)如图23-18，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AD∥BC，对角线AC、BD交于点E，那么圆中共有_________对全等三角形，_________对相似比不为1的相似三角形． 【例14】（江西）如图所示，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD。P是圆上一动点（不与C、D重合），试说明∠CPD与∠COB与有什么数量关系，并加以说明． 答案：相等或互补。 三、弧、扇形、圆锥侧面的计算 ⑴ 圆的面积:，周长: ⑵ 圆心角为n°，半径为R的弧长 ． ⑶ 圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积 或 . 知识点：弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算。 ⑷ 圆锥的侧面展开图为扇形。 底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为，全面积为 ，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有。 【例15】扇形的半径为３０ｃｍ，圆心角为１２００，用它做成一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（ ） Ａ １０ｃｍ Ｂ ２０ｃｍ Ｃ １０πｃｍ Ｄ ２０πｃｍ 【例16】在Rt△ABC中，已知AB＝6，AC＝8，∠A＝90°，如果把此直角三角形绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S1；把此直角三角形绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S2，那么S1∶S2等于 （ ） A 2∶3 B 3∶4 C 4∶9 D5∶12 【例17】如图，直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影的面积为 。 四、作图 平分已知弧；作三角形的外接圆。 五、辅助线 圆中常见的辅助线 1．作半径，利用同圆或等圆的半径相等； 2．作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算； 3．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算； 4．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角； 5．作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角； 6．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点。