估计概率 概率的简单应用一周强化
一、一周知识概述
在现实生活、生产和科学研究中，人们经常需要知道一些事件发生的可能性的大小．概率与人们的生活密切相关，在生活，生产和科研等各个领域有着广泛的应用．
1、随机事件在每次实验中发生与否具有不确定性，但随着实验次数的增加，事件发生的频率逐渐趋于稳定．
2、在实际生活中，有些事件的概率很难直接计算或不能直接计算．这就需要进行大量的重复实验或模拟实验，利用事件发生的频率来估计和预测概率．因为频率具有稳定性，当重复实验的次数(或样本容量)越来越大时，事件的概率就会越来越接近于事件的频率．所以经常用重复实验时获取的事件发生的频率来估测其概率．
3、能用概率的初步知识解决生活中的如中奖预测、人寿保险、种子发芽等方面的问题．
二、重难点知识剖析
1、正确理解频数与频率、概率的关系
随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小.我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的概率．概率可看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率. 所以频率不能等于概率，只能用大量反复实验获得的频率估计概率．
实验次数越多，越有可能得到较准确的估计．例如：投掷硬币的游戏中“正面向上”的频率，当实验次数增大时，频率的波动明显减小，并逐渐稳定到0.5附近．那么“正面向上”的概率就是0.5．
(1)事件A发生的频率与事件A发生的概率是两个不同的概念．事件A发生的频率与试验的次数有关，它是一个动态的数字；事件A发生的概率p应是客观存在的，它是一个常数．这个常数又可由大量的重复实验来测出．
(2)事件A发生的频率总在概率p的附近摆动，一般来说，当试验的次数越多时，这种摆动的幅度就越小，这就是频率的稳定性，因此，频率是概率的一种表现形式．
2、在一个实验中，往往有多个等可能的结果，可以利用列举、列表、图形等表示实验的可能结果，来帮助我们计算某一事件发生的概率．若判断实验结果的等可能性比较困难，则往往要利用对称性进行判断．注意不能重复，也不能遗漏．
三、典型例题讲解
例1、以下说法合理的是（ ）
A、小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是30%
B、抛掷一枚普通的正六面体骰子，出现6的概率是1/6的意思是每6次就有1次掷得6
C、某彩票的中奖机会是2%，那么如果买100张彩票一定会有2张中奖
D、在一次课堂进行的试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的概率分别为0.48和0.51
分析：
正确理解频数、频率与概率的关系．以频率估计机会的大小，必须要在实验进行很多次的情况下，这时事件出现的频率稳定在某个数值附近．
答案：D
例2、（1）估计50个人中有2个人生日相同的概率；
（2）估计6个人中有2个人生肖相同的概率；
分析：
（1）本题一次实验是调查50个人生日，比较他们是否有生日相同，完成一次实验需要50步，像这种一次实验需要的步骤多，求它的概率，画树状图或列表过于复杂，乘法原理不好理解，经常采用实验模拟法．列举一种方法：利用计算器产生1～366之间的随机数，并记录下来．每产生50个随机数为一次试验，共做1000次试验，统计有n次试验中存在2个相同的整数，则50个人中有2个人生日相同的概率估计为．
（2）本题一次实验是调查6个人生肖，比较他们是否有生肖相同，完成一次实验需要6步，求它的概率，也需要采用实验模拟法，方法类同（1）．
例3、在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
（1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近__________．（精确到0.1）
（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率__________．
（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？
分析：
根据频数，频率与概率的关系解答．当实验次数足够多时，事件发生的频率逐渐趋于稳定，这个大量重复实验所得到的频率可作为概率的估计值．
解：
（1）当很大时，摸到白球的频率将会接近0.6．
（2）摸到白球的概率P(白球)=0.6．
（3）设有白球x个，，
估算盒子里黑球有16个，白球有24个．
例4、小刚上学要经过两个红绿灯路口，每个路口红灯的时间都是60秒，绿灯的时间都是40秒．求在两个路口都遇到红灯或都遇到绿灯的概率．
分析：
在每个路口出现一次红灯与一次绿灯的总时间为100秒，其中红灯时间占通过两个路口所遇红、绿灯的可能结果共有四种情况．
解：画树形图分析如下(如图所示)．
例5、中国体育彩票要每100万张为—组，每张2元，设特等奖1名、奖金30万元；一等奖10名，各奖5万元；二等奖10名，各奖1万元；三等奖100名，各奖100元；四等奖1000名，各奖20元；五等奖10万名，各奖2元．某人花2元钱买了1张彩票，那么他获奖的概率是多少?他得特等奖、—等奖、二等奖、三等奖、四等奖、五等奖的概率分别多少?
分析：
某人购买了一张彩票．他就有可能获奖，获奖的概率即是获这一档奖的可能占总获奖可能数的比值，问题就解决了．
解：
一组体育彩票等分成100万份，其中特等奖是1份，—等奖是10份，二等奖是10份，三等奖是100份，四等奖是1000份，五等奖是10万份．因此，对于某人来说，有：
P(获奖)=；
P(获特等奖)=；
P(获一等奖)=；
P(获二等奖)=；
P(获三等奖)=；
P(获四等奖)=；
P(获五等奖)=．
例6、一个均匀的正方体，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，连续抛掷两次，朝上的数字分别为m、n.若把m、n作为点A的横纵坐标，那么点A(m，n)在函数y=2x的图像上的概率是多少？
分析：
本题以一次函数为背景，判断正方体抛掷后形成的点的坐标是否在一次函数y=2x的图像上，解题的关键是看点A(m，n)代入y=2x是否成立.
解：
抛掷正方体的结果列表如下，共36种情况：
若点A(m，n)在函数y=2x的图像上，则n=2m，符合此条件的点有(1，2)、(2，4)、(3，6).
∴点A(m，n)在函数y=2x的图像上的概率为.