锐角三角函数 有关三角函数的计算一周强化
一、一周知识概述
1、锐角的三角函数
一般地，在直角三角形中，锐角A的正弦(sinA)、余弦(cosA) 、正切(tanA)，都叫做∠A的三角函数．
正弦：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即．
余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即．
正切：锐角A的对边与邻边的比，叫做∠A的正切，记作tanA．即．
2、特殊角的三角函数值
3、同角三角函数间的关系
（1）平方关系：sin2α＋cos2α=1
（2）商数关系：
4、互余的两角的关系
任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．即若A＋B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1．
5、求已知锐角的三角函数值
在计算器的面板上涉及三角函数的键有键，当我们计算整数度数的某三角函数值时，可先按这三个键之一，然后再从高位向低位按出表示度数的整数，然后按，则屏幕上就会显示出结果．
若度数的单位是用度、分、秒表示的，在用计算器计算三角函数值时，同样先按和三个键之一，然后再依次按度键，然后按键，则屏幕上就会显示出结果．有的计算器在计算角的三角函数值时，角的单位用的是度，则必须先把度、分、秒统一为“度”．
6、已知三角函数值求角度
已知三角函数值求锐角时要用到计算器上的相应键的第二功能，参照使用说明进行．
值得注意的是型号不同的计算器的用法可能不同．
二、重难点知识归纳
1、对锐角三角函数的理解
（1）锐角的正弦、余弦、正切都是锐角的函数．sinα、cosα、tanα都是一个整体符号．
(2)三角函数值是一个比值，没有单位，只与角的大小有关，而与三角形的大小无关．
(3)sinα＋sinβ≠sin(α＋β)，sinα·sinβ≠sin(αβ)
(4)sin2α表示(sinα)2，cos2α=(cosα)2
2、同名三角函数值的变化规律
当角α在0°～90°间变化时，它的正切和正弦三角函数值随着角度的增大而增大；余弦三角函数值随着角度的增大而减少．锐角三角函数的值都是正实数，且0＜sinα＜1，0＜cosα＜1．
3、记忆特殊角的三角函数值的方法有三种：
（1）列表法，就是利用课本上的表格记忆。
（2）寻找规律法，从课本表格中寻找数字间的规律熟练记忆。如30°、45°、60°的正弦值，分母都是2，分子依次为；而余弦值正好反过来．它们的正切值，分母都是3，分子依次为、、．
（3）图形推导法，当记忆不准确时，可在特殊角的直角三角形中利用定义进行推导。
三、典型例题讲解
例1、正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（ ）
A. B. C. D.2
分析：
一个锐角的余弦可在一边上取一点，自该点作作另一边的垂线得到到直角三角形，由三角函数的定义，这个角的邻边与斜边的比值就是它的余弦．利用网格图可取∠AOB边上的过格点的一点C，作CD⊥OB于D，OD=1, CD=2, OC=，则cos∠AOB=．
答案：A
例2、求下列各式的值
例3、如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求BC的长．
分析：
题中有30°，45°特殊角，想把它们放到直角三角形中，利用三角函数来解题．
解：
点评：
（1）在作高线构造直角三角形时，一般不过特殊角的顶点作垂线，这样便于利用特殊角解题．
（2）有些简单的几何图形可分解为几个直角三角形的组合，从而利用三角函数的定义求解．
例4、如图所示．在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠D=∠B=90°，求此四边形ABCD的面积．
分析：
由已知∠B=90°，∠A=60°这两个条件想到延长BC，AD，使它们相交，构成直角三角形．
解：
小结：
对于一些图形，可以将它们补全成直角三角形，从而利用直角三角形的性质和三角函数的知识来解决问题．
例5、如图，教室窗户的高度AF为2.5，遮阳蓬外端一点D到窗户上椽的距离为AD，某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角∠BPC为30°，PE为窗户的一部分在教室地面所形成的影子且长为米，试求AD的长度．（结果带根号）
分析：
AD是直角三角形ABD的直角边，AD∥CP，由内错角相等知∠ADB＝30°，又已知AF＝2.5, 所以求出AB即可．
解：
过点E作EG∥AC交于PD于G点．
，
∴BF=EG=1．
即．
在中，（米）．
∴ AD的长为米．