2016学年九年级（上）数学期中试卷
一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．二次函数y=x2﹣8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于的点P共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．二次函数y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．如图，已知函数y=ax2+bx+c（a≠0），有下列四个结论：
①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③3a+c＜0；④a+b≥m（am+b），
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列说法正确的是（ ）
A．任意三点可以确定一个圆
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分该弦所对的弧
C．同一平面内，点P到⊙O上一点的最小距离为2，最大距离为8，则该圆的半径为5
D．同一平面内，点P到圆心O的距离为5，且圆的半径为10，
则过点P且长度为整数的弦共有5条
5．将量角器按如图摆放在三角形纸板上，使点C在半圆上．
点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（ ）
A．15° B．28° C．30° D．56°
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上
任意一点，连结AD，GD．=50°，则∠AGD=（ ）
A．50° B．55° C．65° D．75°
7．如图，AC、BD为圆O的两条互相垂直的直径，动点P从圆心O出发，
沿O→C→D→O的路线作匀速运动，设运动时间为t秒，∠APB的度数为
y度，那么表示y与t之间函数关系的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，
点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，
若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为（ ）
A．10.5 B．7﹣3.5 C．11.5 D．7﹣3.5
9．已知二次函数y=x2﹣bx+1（﹣1≤b≤1），当b从﹣1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动．下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（ ）
A．先往左上方移动，再往左下方移动 B．先往左下方移动，再往左上方移动
C．先往右上方移动，再往右下方移动 D．先往右下方移动，再往右上方移动
10．已知两点A（﹣5，y1），B（3，y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点．若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（ ）
A．x0＞﹣5 B．x0＞﹣1 C．﹣5＜x0＜﹣1 D．﹣2＜x0＜3
二．选择题（共6小题，每小题5分，共30分）
11．如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是 ．
（第11题） （第12题） （第13题）
12．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2经过平移得到抛物线y=x2﹣2x，其对称轴与两抛物线所围成的阴影部分的面积是 ．
14．若抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于正半轴C点，且AC=20，BC=15，∠ACB=90°，则此抛物线的解析式为 ．
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB．若PB=4，则PA的长为 ．
16．二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2008在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2008在二次函数
位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，
…，△A2007B2008A2008都为等边三角形，则△A2007B2008A2008
的边长= ．
三．解答题（有6小题，共80分）
17．（本小题10分）课堂上，师生一起探究知，可以用己知半径的球去测量圆柱形管子的内径．小明回家后把半径为5cm的小皮球置于保温杯口上，经过思考找到了测量方法，并画出了草图（如图）．请你根据图中的数据，帮助小明计算出保温杯的内径．
18．（本小题10分）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，过点A作AE∥CD交⊙O于点E，连接BD，DE，求证：BD=DE．
19．（本小题12分）（1）作△ABC的外接圆；
（2）若AC=BC，AB=8，C到AB的距离是2，求△ABC的外接圆半径．
20．（本小题14分）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB．w!w!w.!x!k!b!1.com
（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；
（2）设AP=x，△PBE的面积为y．
①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．
21．（本小题16分）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．
22．（本小题18分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当CM+AM的值最小时，求M的坐标；
（4）在线段BC下方的抛物线上有一动点P，求△PBC面积的最大值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1． D．2． A．3． C．4． D．5． B．6． C．7． C．8． A．9． C．10． B．
二．选择题（共6小题）
11．（2，0）． 12． 3． 13． 1．
14．抛物线解析式为y=﹣x2+x+12或y=﹣x2﹣x+12．
15． 3或． 16． 2008．
三．解答题（共6小题）
17．【解答】解：连OD．
∵EG=20﹣12=8，
∴OG=8﹣5=3，
∴GD=4，
∴AD=2GD=．
答：保温杯的内径为．
18．【解答】证明：连接OE，如图，
∵OA=OE，∴∠A=∠OEA，
∵AE∥CD，∴∠BOD=∠A，∠DOE=∠OEA，
∴∠BOD=∠DOE，
∴BD=DE．
19．【解答】解：（1）如图1，⊙O为所求；
（2）连结OA，作CD⊥AB于D，如图2，设⊙O的半径为r，
∵AC=BC，
∴AD=BD=4，
∴点O在CD上，
∴OD=CD﹣OC=8﹣r，
在Rt△OAD中，∵OD2+AD2=OA2，
∴（r﹣2）2+42=r2，解得r=5，
即△ABC的外接圆半径为5．
20．【解答】（1）证明：①过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F．如图所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，
△AGP和△PFC都是等腰直角三角形．
∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90度．
又∵PB=PE，
∴BF=FE，
∴GP=FE，
∴△EFP≌△PGD（SAS）．
∴PE=PD．
②∴∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90度．
∴∠DPE=90度．
∴PE⊥PD．
（2）解：①过P作PM⊥AB，可得△AMP为等腰直角三角形，
四边形PMBF为矩形，可得PM=BF，
∵AP=x，∴PM=x，
∴BF=PM=，PF=1﹣．
∴S△PBE=BE×PF=BF•PF=x•（1﹣x）=﹣x2+x．
即y=﹣x2+x．（0＜x＜）．
②y=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+
∵a=﹣＜0，
∴当x=时，y最大值=．
21．【解答】解：（1）当1≤x＜50时，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+2000，
当50≤x≤90时，
y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000，
综上所述：y=；
（2）当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，
当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
当x=50时，y最大=6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；
（3）当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，
因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；
当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60，
因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，
所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．
22．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入得到：0=×（﹣1）2﹣b﹣2，
解得b=﹣，
则该抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．
又∵y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣，
∴顶点D的坐标是（，﹣）；
（2）由（1）知，该抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．则C（0，﹣2）．
又∵y=x2﹣x﹣2=（x+1）（x﹣4），
∴A（﹣1，0），B（4，0），
∴AC=，BC=2，AB=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）由（2）知，B（4，0），C（0，﹣2），
由抛物线的性质可知：点A和B关于对称轴对称，如答图1所示：
∴AM=BM，
∴AM+CM=BM+CM≥BC=2．
∴CM+AM的最小值是2；
（4）如答图2，过点P作y轴的平行线交BC于F．
设直线BC的解析式为y=kx﹣2（k≠0）．
把B（4，0）代入，得
0=4k﹣2，
解得k=．
故直线BC的解析式为：y=x﹣2．
故设P（m，m2﹣m﹣2），则F（m，m﹣2），
∴S△PBC=PF•OB=×（m﹣2﹣m2+m+2）×4=﹣（m﹣2）2+4，即S△PBC=﹣（m﹣2）2+4，
∴当m=2时，△PBC面积的最大值是4．
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