海淀区九年级第一学期期中练习
2014.11
数学试卷答案及评分参考
阅卷须知:
1. 为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可.
2. 若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分.
3. 评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数.
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9． 5 ； 10． 4 ；
11． > ； 12． 30°或60°．（注：每个答案2分）
三、解答题（本题共30分,每小题5分）
13.（本小题满分5分）
解：∵， …………………………………………………………………1分
∴． … ……………………………………………………2分
∴．
∴． ……………………………………………………5分
14．（本小题满分5分）
证明：∵∠DAB=∠EAC，
∴∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE．
∴∠DAE=∠BAC． ………………………………………………………………1分
在△BAC和△DAE中，
∴△BAC≌△DAE． ………………………………………………………………4分
∴BC=DE． ………………………………………………………………………5分
15.（本小题满分5分）
解：设二次函数的解析式为 ．……………………………1分
∵二次函数的图象经过点．
∴．………………………………………………………………2分
∴． …………………………………………………………………………4分
∴二次函数的解析式为．………………………………………5分
16. （本小题满分5分）
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC =180°． …………………………………………………………1分
∵∠ABC=130°，
∴∠ADC =180°∠ABC=50°． …………………………………………………2分
∴∠AOC=2∠ADC =100°． ………………………………………………………3分
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA． ……………………………………………………………4分
∴∠OAC=． ……………………………………………… 5分
17. （本小题满分5分）
解：依题意,得 . ……………………………………………………2分
∴． ………………………………………………………………3分
∴． …………5分
18. （本小题满分5分）
解：设每期减少的百分率为x．…………………………………………………… ……1分
由题意，得． ……………………………………………… ………2分
解方程得 ，． ………………………………………………… ……3分
经检验，不合题意，舍去； 符合题意． ……………… …………4分
答：每期减少的百分率为20%． ……………………………………………… ………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19. （本小题满分5分）
解：（1）3． …………………………………………………………………………… 2分
（2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，则到达该市的
日期有15种不同的选择，在其中任意一天到达的可能性相等． ……………3分
由图可知，其中有9天空气质量优良． ………………………………… ……4分
所以，P（到达当天空气质量优良）． …………………… ………5分
20. （本小题满分5分）
解：（1）∵，
∴原方程为一元二次方程．
∴ ………………………………………………1分
．
∵．
∴此方程总有两个实数根． …………………………………………………2分
（2）解原方程，得 ，. ……………………………………………3分
∵此方程有两个负整数根，且为整数，
∴或． …………………………………………………………………4分
∵，
∴．
∴． ………………………………………………………………………5分
21. （本小题满分5分）
（1）证明:连接OC．
∵OC=OD，∠D=30°，
∴∠OCD=∠D= 30°．…………………………………1分
∵∠G=30°，
∴∠DCG=180°∠D∠G=120°．
∴∠GCO=∠DCG-∠OCD=90°．
∴OC⊥CG．
又∵OC是⊙O的半径．
∴CG是⊙O的切线．……………………………………2分
（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴. ………………………………………………………3分
∵在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠OCE =30°，
∴，．
设，则.
∴.
解得（舍负值）．
∴． ………………………………………………………………4分
∴．
在△OCG中，∵∠OCG=90°，∠G=30°，
∴．
∴． ……………………………………………………5分
22. （本小题满分5分）
答：（1）． …………………………………………………………………………………1分
（2）， ………………………………………………………………………………2分
或．（写出一个即可）…………………………………………3分
（3）或．（每个答案各1分） ……………………………………………………5分
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23. （本小题满分7分）
解：（1）∵ 抛物线与x轴交于A、B两点，
∴ 令，即 ．
解得 ，． …………………………………………………1分
又∵ 点A在点B左侧，且，
∴ 点A的坐标为． …………………………………………………2分
（2）由（1）可知点B的坐标为．
∵抛物线与y轴交于点C，
∴点C的坐标为． ……………………………………………………3分
∵，
∴，．
∵，
∴．
∴或．
∵，
∴．
∴抛物线的表达式为
． ………………………4分
（3）由（2）可知点C的坐标为．
∵直线l：经过点C，
∴. ………………………………………5分
∴直线l的解析式为．
∵，
∴当点D在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值为，不符合题意．
当点D在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于．
令，即．
解得 （不合题意，舍去），．
∴抛物线经过点．
当直线经过点时，可求得．…………………6分
由图象可知，当时新函数的最小值大于． ………………………7分
24．（本小题满分7分）
解：（1）①30°． …………………………………………………………………………1分
②不改变，∠BDC的度数为．
方法一：
由题意知，AB=AC=AD．
∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上．…………………………2分
∴∠BDC=∠BAC=．……………………………………………………3分
方法二：
由题意知，AB=AC=AD．
∵AC =AD，∠CAD =，
∴．…………………………………2分
∵AB=AD，∠BAD =，
∴．
∴．…………3分
（2）过点A作AMCD于点M，连接EM．
∴．
在△AEB与△AMC中，
∴△≌△． ………………………………………………………4分
∴，．
∴．
∴△是等边三角形．
∴． …………………………………………………………5分
∵， ，
∴．
又，
∴．
∴． …………………………………………………………6分
∴点A、C、D在以M为圆心，MC为半径的圆上．
∴． …………………………………………………………7分
25. （本小题满分8分）
解： （1）（0，10）． …………………………………………………………………1分
（2）连接BP、OP，作PH⊥OA于点H．
∵PH⊥OA，
∴．
∵OQ=8，
∴．
在Rt中，．
在Rt中，．
在Rt中，．
∴．……………………………………………………………………3分
（3）①．……………………………………………………………………………4分
②． ……………………………………………………………………………5分
解：∵是等腰直角三角形，，
∴半径．
又∵，
∴．
即．解得．
∵
∴． ……………………………………………………………………………6分
∴．
如图，作轴于点，则≌．
∴，
．
∴． …………………………………7分
若点在上，由对称性可得． ……………………………8分
综上，当时，点坐标为或．