海淀区九年级数学第一学期期末练习 2011.1
一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．（ ）
A．3 B． C． D．9
2．已知两圆的半径分别为2和3，圆心距为5，则这两圆的位置关系是 ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
3．将一枚硬币抛掷两次，则这枚硬币两次正面都向上的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=30º，则∠ACB的大小为（ ）
A．60º B．30º
C．45º D．50º
5．下列一元二次方程中没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，有一枚圆形硬币，如果要在这枚硬币的周围摆放几枚与它完全相同的硬币，使得周围的硬币都和这枚硬币相外切，且相邻的硬币相外切，则这枚硬币周围最多可摆放（ ）
A．4枚硬币 B．5枚硬币
C．6枚硬币 D．8枚硬币
7．圆锥的母线长是3，底面半径是1，则这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为（ ）
A．90° B．120° C．150° D．180°
8．如图，E，B，A，F四点共线，点D是正三角形ABC的边AC的中点，点是直线上异于A，B的一个动点，且满足，则（ ）
A．点 一定在射线上
B．点 一定在线段上
C．点 可以在射线上 ，也可以在线段上
D．点 可以在射线上 ，也可以在线段
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．已知P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B.若PA＝6，则PB＝ ．
10．若有意义，则x的取值范围是 .
11．如图，圆形转盘中，A，B，C三个扇形区域的圆心角分别为150°，120°和90°. 转动圆盘后，指针停止在任何位置的可能性都相同（若指针停在分界线上，则重新转动圆盘），则转动圆盘一次，指针停在B区域的概率是 .
12．（1） 如图一，等边三角形MNP的边长为1，线段AB的长为4，点M与A重合，点N在线段AB上.
△MNP沿线段AB按的方向滚动， 直至△MNP中有一个点与点B重合为止，则点P经过
的路程为 ；
（2）如图二，正方形MNPQ的边长为1，正方形ABCD的边长为2，点M与点A重合，点N在
线段AB上， 点P在正方形内部，正方形MNPQ沿正方形ABCD的边按
的方向滚动，始终保持M,N,P,Q四点在正方形内部或边界上，直至正方形MNPQ回到初始位置为
止，则点P经过的最短路程为 .
（注：以△MNP为例，△MNP沿线段AB按的方向滚动指的是先以顶点N为中心顺时针旋转，
当顶点P落在线段AB上时， 再以顶点P为中心顺时针旋转，如此继续. 多边形沿直线滚动与此类
似.）
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：．
14．某射击运动员在相同条件下的射击160次，其成绩记录如下：
（1）根据上表中的信息将两个空格的数据补全（射中9环以上的次数为整数，频率精确到0.01）；
（2）根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率（精确到0.1），
并简述理由.
15．解方程：．
16．如图，在中，AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D，，求的度数；
17．如图，正方形中,点F在边BC上，E在边BA的延长线上.
（1）若按顺时针方向旋转后恰好与重合.则旋转
中心是点 ；最少旋转了 度；
（2）在（1）的条件下，若,求四边形的面积.
18．列方程解应用题：
随着人们节能意识的增强，节能产品的销售量逐年增加．某地区高效节能灯的年销售量2009年为10万只，预计2011年将达到14.4万只．求该地区2009年到2011年高效节能灯年销售量的平均增长率.
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，在△ABC中，，半圆的圆心O在AB上，且与AC，BC分别相切于点D，E.
（1）求半圆O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积.
20．如图，为正方形对角线AC上一点，以为圆心，长为半径的⊙与相切于点.
（1）求证：与⊙相切；
（2）若⊙的半径为1，求正方形的边长.
21．一个袋中有3张形状大小完全相同的卡片，编号为1,2,3，先任取一张，将其编号记为m，再从剩下的
两张中任取一张，将其编号记为n.
（1）请用树状图或者列表法，表示事件发生的所有可能情况；
（2）求关于x的方程有两个不相等实数根的概率.
22．如图一，AB是的直径，AC是弦，直线EF和相切与点C，，垂足为D.
（1）求证；
（2）如图二，若把直线EF向上移动，使得EF与相交于G，C两点（点C在点G的右侧），连结
AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与相等的角？若存在，找出一个这样
的角，并证明；若不存在，说明理由.
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．以坐标原点为圆心，1为半径的圆分别交x，y轴的正半轴于点A，B.
（1）如图一，动点P从点A处出发，沿x轴向右匀速运动，与此同时，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动.若点Q的运动速度比点P的运动速度慢，经过1秒后点P运动到点(2,0)，此时PQ恰好是的切线，连接OQ. 求的大小；
（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动，点P停留在点(2,0)处不动，求点Q再经过5秒后直
线PQ被截得的弦长.
24．已知关于的方程有实根.
（1）求的值;
（2）若关于的方程的所有根均为整数，求整数的值.
25．如图一，在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆和半圆，其中和分别为两个半圆的圆心. F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点.
（1）连结，
证明：；
（2）如图二，过点A分别作半圆和半圆的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，
连结PQ，若∠ACB=90°,DB=5，CE=3，求线段PQ的长;
（3）如图三，过点A作半圆的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连结PA. 证明：PA是半圆的切线.
海淀区九年级数学第一学期期末练习
参考答案及评分标准 2011.1
说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
注：第12题答对一个给2分，答对两个给4分
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13.解：原式= …………………………….…………………………….2分
= …………………………….…………………………….4分
=6 …………………………….…………………………….5分
14．（1）解： …………………………….…………………………….1分
…………………………….…………………………….2分
（2）解： …………………………….…………………………….4分
从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，所以这名运动员射击一次时“射中9环以上”
的概率是0.8. …………………………….…………………………….5分
注：简述的理由合理均可给分
15．解法一：因式分解，得
…………………………….…………………………….2分
于是得 或 ………………………….5分
解法二：
…………………………….…………………………….2分
…………………………….…………………………….4分
…………………………….…………………………….5分
16．解：在中，,
. …………………………….…………………………….2分
是⊙的直径，⊙与AC交于点D,
∴. …………………………….…………………………….5分
17．解：（1）D；. …………………………….…………………………….2分
（2），
.
.
.
5分
18．解：设该地区年到年高效节能灯年销售量的平均增长率为. ……………….1分
依据题意，列出方程 ……………………….…………………………….2分
化简整理，得： ,
解这个方程，得 ,
∴ .
∵ 该地区年到年高效节能灯年销售量的平均增长率不能为负数.
∴ 舍去.
∴ . …………………….…………………………….4分
答：该地区年到年高效节能灯年销售量的平均增长率为 …………….5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．（1）解：连结OD，OC，
∵半圆与AC，BC分别相切于点D，E.
∴,且.
∵，
∴且O是AB的中点.
∴.
∵,∴.
∴.
∴在中，.
即半圆的半径为1. …………………………….…………………………….3分
（2）设CO=x，则在中，因为，所以AC=2x，由勾股定理得：
即
解得 （舍去）
∴ . ……….…………………………….4分
∵ 半圆的半径为1，
∴ 半圆的面积为,
∴ . …………………………….…………………………….5分
20．（1）解：过O作于N，连结OM，则.
∵ AC是正方形的对角线，
∴ AC是的平分线.
∴ =ON.
即圆心O到CD的距离等于⊙半径，
∴ 与⊙相切. …………………………….…………………………….3分
（2）由（1）易知为等腰直角三角形，OM为半径，
∴ =MC=1.
∴ ,
∴ .
∴
在中，AB=BC,
有
∴
∴ . …………………………….…………………………….5分
故正方形的边长为.
21．（1）解：依题意画出树状图（或列表）如下
或
…………………………….…………………………….2分
注：画出一种情况就可给2分
（2）解：当时，关于x的方程有两个不相等实数根，而使得的
m，n有2组，即(3，1)和(3，2). ………….…………………………….4分
则关于x的方程有两个不相等实数根的概率是.
∴P（有两个不等实根）=. …………………….5分
22．（1）证明：如图一，连结OC，则，且OC=OA,
易得.
∵ ，∴OC//AD.
∴=,∴=.
即 . …………………………….…………………………….2分
（2）解：与相等的角是. …………………………….…………………………….3分
证明如下：
如图二，连结BG.
∵ 四边形ACGB是的内接四边形，
∴ .
∵ D，C，G共线，
∴ .
∴ .
∵ AB是的直径,
∴
∵
∴
∴ . …………………………….…………………………….5分
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．（1）解：如图一，连结AQ．
由题意可知：OQ=OA=1.
∵OP=2,
∴A为OP的中点.
∵PQ与相切于点Q,
∴为直角三角形. …………1分
∴ . …………2分
即ΔOAQ为等边三角形.
∴∠QOP=60°． …………3分
（2）解：由（1）可知点Q运动1秒时经过的弧长所对的圆心角为30°，若Q按照（1）中的方向和速度
继续运动，那么再过5秒，则Q点落在与y轴负半轴的交点处（如图二）.设直线PQ与的另外一个交点为D，过O作OC⊥QD于点C，则C为QD的中点.
…………4分
∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2,
∴QP=. …………5分
∵,
∴OC= . …………6分
∵OC⊥QD，OQ=1，OC=,
∴QC=.
∴QD=． …………7分
24．（1）解：∵关于的方程为为一元二次方程，且有实根.
故满足：
……….…………………………….2分
（注：每个条件1分）
整理得
∴ ……….…………………………….4分
（2）由（1）可知,
故方程可化为.
①当m=0时，原方程为，根为，符合题意. ………………………….5分
②当m≠0时，为关于的一元二次方程，
.
此时，方程的两根为 .
∵两根均为整数,
∴m=. ………………………….7分
综上所述，m的值为，0 或1.
25．（1）证明：如图一，∵，，F分别是AB，AC，BC边的中点，
∴F∥AC且F =A，F∥AB且F =A，
∴∠BF=∠BAC，∠CF=∠BAC,
∴∠BF=∠CF
∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点，
∴F =A=E，F =A=D， ………………………….2分
∠BD =90°，∠CE =90°，
∴∠BD=∠CE.
∴∠DF=∠FE.
∴. ………………………….3分
（2）解：如图二，延长CA至G，使AG=AQ,连接BG、AE.
∵点E是半圆圆弧的中点，
∴AE=CE=3
∵AC为直径
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=∠EAC =45°，AC==，
∵AQ是半圆的切线，
∴CA⊥AQ，∴∠CAQ=90°，
∴∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ=90°
∴AQ=AC=AG=
同理：∠BAP=90°，AB=AP=
∴CG=,∠GAB=∠QAP
∴. ……………………..5分
∴PQ=BG
∵∠ACB=90°，
∴BC==
∴BG==
∴PQ=. ……………………..6分
（3） 证法一：如图三，设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CS⊥MF于S，过B作BR⊥MF于R，连接DR、AD、DM.
∵F是BC边的中点，∴.
∴BR=CS，
由（2）已证∠CAQ=90°, AC=AQ,
∴∠2+∠3=90°
∵FM⊥PQ, ∴∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠3,
同理：∠2=∠4,
∴，
∴AM=CS，
∴AM=BR，
同（2）可证AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°,
∴∠ADB=∠ARB=90°, ∠ADP=∠AMP=90°
∴A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上，A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上，
且∠DBR+∠DAR=180°,
∴∠5=∠8, ∠6=∠7,
∵∠DAM+∠DAR=180°,
∴∠DBR=∠DAM
∴，
∴∠5=∠9,
∴∠RDM=90°，
∴∠5+∠7=90°，
∴∠6+∠8=90°，
∴∠PAB=90°，
∴PA⊥AB,又AB是半圆直径，
∴PA是半圆的切线. ……………………..8分
证法二：假设PA不是是半圆的切线，如图四，
过点A作半圆的切线交BD的延长线于点，
则点异于点P，连结，设直线FA与PQ的
垂足为M，直线FA与的交点为.延长AF
至N，使得AF=FN，连结BN，CN，由于点F是
BC中点，所以四边形ABNC是平行四边形.
易知，，
∵AQ是半圆的切线,
∴∠QAC=90°，同理.
∴.
∴.
由（2）可知，,
∴.
∴.
∵,
∴.
即 .
∴.
即 .
∵ ,
∴ 过点Q有两条不同的直线和同时与AF垂直.
这与在平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾,因此假设错误.所以PA是是半圆的切线.