潜江市2012—2013学年九年级上学期期中考试数学试题
一．选择题(每小题3分，共30分) 在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分.
1. 若x=2是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是（ ）
A．6 B．5 C．2 D．-6
2. 对于反比例函数y = ，下列说法正确的是( )A．图象经过点（1，-1） B．图象位于第二、四象限C．图象是中心对称图形 D．当x＜0时，y随x的增大而增大
3．如图，空心圆柱的左视图是（ ）
4．反比例函数y ＝ 与y ＝ 在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（ ）A． B．2 C．3 D．1
5. 如图（二）所示，□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是（ ）
A.AC⊥BD B.AB＝CD C. BO=OD D.∠BAD=∠BCD
6. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E,F,G,H分别是AB,BC，CD，DA的中点，则下列结论一定正确的是( ).
A. ∠HGF = ∠GHE B. ∠GHE = ∠HEF C. ∠HEF = ∠EFG D. ∠HGF = ∠HEF
7．函数的图象与直线没有交点，那么k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8. 如图，等边三角形的边长为3，点为边上一点，且，点为边上一点若，则的长为( )A. B. C. D.1
9. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10. 根据图5中①所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图5中②，若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴交图象于点P、Q，连接OP、OQ，则以下结论：
①x＜0时，y=
②△OPQ的面积为定值
③x＞0时，y随x的增大而增大
④MQ=2PM
⑤∠POQ可以等于90°
其中正确结论是( )
A．①②④ B．②④⑤ C．③④⑤ D．②③⑤
二．填空题(每小题3分，共15分) 将结果直接填写在答题卡相应的横线上.
11. 将变为的形式，则=________。
12. 如图，菱形ABCD的边长是2㎝，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为_____
____㎝2．
13. 已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是 .
14. 如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB垂直于地面时的硬长为AC（假定AC＞AB），影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论：①m＞AC;②m=AC;③n=AB;④影子的长度先增大后减小．
其中，正确的结论的序号是 ．
15.如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，2），点B与点D在反比例函数的图象上，则点C的坐标为 ．
三．解答题 (共9小题，满分75分)
16. （6分）（2010 重庆江津）在等腰△ABC中，三边分别为、、，其中，若关于的方程有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
17. （6分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F。若AE=4，FC=3，求EF长。
18.（6分）汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加.据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆.若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？
19．（8分）如图已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．
(1) 求证：四边形AECF是平行四边形；
(2) 若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长 ．
20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0）的图象相交于A、B两点．求：
（1）根据图象写出A、B两点的坐标并求出反比例函数的解析式；（2分）
（2）根据图象写出：当x为何值时，一次函数值大于反比例函数值．（3分）
(3)求 △AOB的面积。（4分）
21. （9分）如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的影长时，同时测量出DE在阳光下的影长为6cm，请你计算DE的长．
22．（9分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点， PO的延长线交BC于Q.
（1）求证： OP=OQ；（4分）
（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．（5分）
23.（11分）如图．已知A、B两点的坐标分别为A（0，），B（2，0）．直线AB与反比例函数的图象交于点C和点D（﹣1，a）．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式．
（2）求∠ACO的度数．
（3）将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为多少时，OC′⊥AB，并求此时线段AB’的长．
24. （11分）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．
（1）求证：EF＝EG；
（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a,BC＝b，求的值．
图1 图2 图3
潜江市2012—2013学年九年级上学期期中考试参考答案
填空题
1．A;2．C；3．C；4．A；5．A；6．D；7．A；8．B；9．D；10.B；
选择题
11．-90；12．；13．15°或75°;14．①③④；15．（3，6）；
三．解答题
16．解：根据题意得：△
解得： 或（不合题意，舍去）
∴…
（1）当时，，不合题意
（2）当时， ………
17．解：连接BD.
∵三角形ABC是等腰直角三角形，D为AC边的中点。
∴BD=DC, ∠ABD=∠C=45°，BD⊥AC。
∴∠BDF+∠FDC=90°。
又∵DE⊥DF
∴∠BDF+∠BDE=90°。
∴∠FDC=∠BDE.
∴△BED≌△CFD
∴BE=FC=3,BF=BC-FC=AB-BE=AE=4
∴EF=5
18．设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x，由题意得
2分
解之，得. 4分
∵，故舍去，∴x＝0.25＝25%. 5分
10×（1＋25%）＝12.5
答：2011年的年产量为12.5万辆. 6分
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，
∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形.
（2）∵四边形AECF是菱形，∴AE＝CE，∴∠1＝∠2，∵∠BAC＝90°，∴∠3＝∠90°－∠2，∠4＝∠90°－∠1，∴∠3＝∠4，∴AE＝BE，∴BE＝AE＝CE＝BC＝5.
20．解：（1）由图象可知：点A的坐标为（2，）
点B的坐标为（﹣1，﹣1）（2分）
∵反比例函数（m≠0）的图象经过点（2，）
∴m=1
∴反比例函数的解析式为：（4分）
（2）由图象可知：当x＞2或﹣1＜x＜0时一次函数值大于反比例函数值
（3）∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（2，）点B（﹣1，﹣1）
∴
解得：k=b=﹣
∴一次函数的解析式为（6分）
直线AB与y轴的交点为（0，），
S=
21．（1）
（连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影）
（2）∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，
∴∠ABC=∠DEF=90°，∴△ABC∽△DEF．
∴，
∴DE=10（m）．
22．【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO，又OB=OD，∠POD=∠QOB，
∴△POD≌△QOB，
∴OP=OQ。
（2）解法一： PD=8-t
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，
∵AD=8cm，AB=6cm，∴BD=10cm，∴OD=5cm.
当四边形PBQD是菱形时， PQ⊥BD，∴∠POD=∠A，又∠ODP=∠ADB，
∴△ODP∽△ADB，
∴，即，
解得,即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形.
解法二：PD=8-t
当四边形PBQD是菱形时，PB=PD=(8-t)cm，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在RT△ABP中，AB=6cm，
∴， ∴，
解得,即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形.
23．解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
把A（0，），B（2，0）分别代入，得，解得k=﹣，b=2
∴直线AB的解析式为：y=﹣x+2；
∵点D（﹣1，a）在直线AB上，
∴a=+2=3，即D点坐标为（﹣1，3），
又∵D点（﹣1，3）在反比例函数的图象上，
∴m=﹣1×3=﹣3，
∴反比例函数的解析式为：y=﹣；
（2）由，解得或，
∴C点坐标为（3，﹣），
过C点作CE⊥x轴于E，如图，
∴OE=3，CE=，
∴OC==2，
而OA=2，
∴OA=OB，
又∵OB=2，
∴AB==4，
∴∠OAB=30°，
∴∠ACO=30°；
（3）∵∠ACO=30°，
而要OC′⊥AB，
∴∠COC′=90°﹣30°=60°，
即△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为60°时，OC′⊥AB；如图，
∴∠BOB′=60°，
而∠OBA=60°，
∴△OBB′为等边三角形，
∴B′在AB上，BB′=2，
∴AB′=4﹣2=2．
24．（1）证明：∵∠GEB＋∠BEF＝90°，∠DEF＋∠BEF＝90°，
∴∠DEF＝GEB，………………………………………………（ 1分）
又∵ED＝BE，
∴Rt△FED≌Rt△GEB，…………………………………………（ 2分）
∴EF＝EG．……………………………………………………（ 3分）
(2)成立．……………………………………………………………………（ 4分）
证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，
则EH＝EI，∠HEI＝90°，…………………………………（ 5分）
∵∠GEH＋∠HEF＝90°，∠IEF＋∠HEF＝90°，
∴∠IEF＝∠GEH，……………………………………………（ 6分）
∴Rt△FEI≌Rt△GEH,
∴EF＝EG．………………………………………………………（7分）
(3)解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N ，
则∠MEN＝90°，EM∥AB，EN∥AD,………………………（ 8分）
∴＝＝，
∴＝＝, …………………………………………（9分）
∵∠GEM＋∠MEF＝90°，∠FEN＋∠MEF＝90°，
∴∠FEN＝∠GEM，
∴Rt△FEN∽Rt△GEM, …………………………………………（10分）
∴＝＝．…………………………………………（11分）