燕山地区2015—2016学年度第一学期初四年级期末考试
数 学 试 卷 2016年1月
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．二次函数的最小值是
A．－2 B．－1 C．1 D．2
2．下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是
A． B． C． D．
3．下面的几何体中，主视图为三角形的是
A． B． C． D．
4．若△ABC∽△DEF，相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为
A．1：9 B．1：3 C．1：2 D． 1：
5．有一盒水彩笔除了颜色外无其他差别，其中各种颜色的数量统计如图所示．小腾在无法看到盒中水彩笔颜色的情形下随意抽出一支．小腾抽到蓝色水彩笔的概率为
A． B．
C． D．
6．如图，是⊙O的直径，C，D是圆上两点，∠AOC＝50°，则∠D等于
A．25° B．30° C．40° D．50°
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则cosB的值为
A． B． C． D．
8．已知一块蓄电池的电压为定值，以此蓄电池为电源时，电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图，则电流I关于电阻R的函数解析式为
A． B． C． D．
9．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，点是栏杆转动的支点，点是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆最多只能升起到如图所示的位置，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=135°，AB=AE=1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(栏杆宽度忽略不计．参考数据：≈1.4)
A． B． C． D．
10．一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，四边形ABCD为矩形，且AB>AD>，为记录寻宝者的行进路线，在AB的中点M处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为
A．O→D→C→B B．A→B→C C．D→O→C→B D．B→C→O→A
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．点P(－3，4)关于原点的对称点的坐标为 ．
12．关于x的一元二次方程有一个根为，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝ ，b＝ ．
13．某农科院在相同条件下做了某种玉米种子发芽率的试验，结果如下：
则该玉米种子发芽的概率估计值为 (结果精确到0.1)．
14．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.其中卷第九勾股，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”
译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”(注：1里＝300步)
你的计算结果是：出南门 步而见木．
15．老师在课堂上出了一个问题：若点A(－2，y1)，B(1，y2)和C(4，y3)都在反比例函数的图象上，比较y1，y2，y3的大小．
小明是这样思考的：当k<0时，反比例函数的图象是y随x的增大而增大的，并且－2<1<4，所以y1 你认为小明的思考 （填“正确”和“不正确”），理由是 ． 16．阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 小芸的作法如下： 老师说：“小芸的作法正确．” 请回答：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是 ． 三、解答题(本题共72分，第17－26题，每小题5分，第27题7分，第28题8分，第29题7分) 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．计算：cos45°－tan30°·sin60°． 18．解方程：． 19．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，CD＝2，求弦AB的长． 20．如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，且． (1) 求证：△ACD∽△CBD； (2) 求∠ACB的大小． 21．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1． (1) 在网格中画出△AB1C1； (2) 计算点B旋转到B1的过程中所经过的路径长．（结果保留） 22．已知二次函数． (1) 用配方法将化成的形式； (2) 求出该二次函数的图象与x轴的交点A，B的坐标（A在B的左侧）； (3) 将该二次函数的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，请直接写出得到的新图象的函数表达式． 23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的坐标为(1，m)． (1) 求反比例函数的表达式； (2) 若P是y轴上一点，且满足△ABP的面积为6，求点P的坐标． 24．北京联合张家口成功申办2022年冬奥会后，滑雪运动已成为人们喜爱的娱乐健身项目．如图是某滑雪场为初学者练习用的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡坡面AB长为200米，点D，B，C在同一水平地面上，求改善后的斜坡坡角向前推进的距离BD．(结果保留整数．参考数据：≈1.41， ≈1.73，≈2.45，) 25．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E． (1)求证：∠DAC＝∠DCE； (2)若AB＝2，sin∠D＝，求AE的长． 26．有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整： (1) 函数的自变量x的取值范围是___________； (2) 下表是y与x的几组对应值． 求m的值； (3) 如下图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； (4) 进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(2，3)，结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）： ． 27．在平面直角坐标系中，抛物线经过点A(，t)，B(3，t)，与y轴交于点C(0，)．一次函数的图象经过抛物线的顶点D． (1) 求抛物线的表达式； (2) 求一次函数的表达式； (3) 将直线：绕其与y轴的交点E旋转，使当时，直线总位于抛物线的下方，请结合函数图象，求的取值范围． 28．如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C＝90°，将△CDE绕点C逆时针旋转一个角度，使点A，D，E在同一直线上，连接AD，BE． (1) ① 依题意补全图2； ② 求证：AD＝BE，且AD⊥BE； ③ 作CM⊥DE，垂足为M，请用等式表示出线段CM，AE，BE之间的数量关系； (2) 如图3，正方形ABCD边长为，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离． 29．在平面直角坐标系中，⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：若点为射线CP上一点，满足，则称点为点P关于⊙C的反演点．右图为点P及其关于⊙C的反演点的示意图． (1) 如图1，当⊙O的半径为1时，分别求出点M(1，0)，N（0，2）， T（，）关于⊙O的反演点，，的坐标； (2) 如图2，已知点A(1，4)，B(3，0)，以AB为直径的⊙G与y轴交于点C，D(点C位于点D下方)，E为CD的中点． ① 若点O，E关于⊙G的反演点分别为，，求∠的大小； ② 若点P在⊙G上，且∠BAP＝∠OBC，设直线AP与x轴的交点为Q，点Q关于⊙G的反演点为，请直接写出线段的长度． 燕山地区2015――2016学年度第一学期末考试 初四数学试卷参考答案与评分标准 2016年1月 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．(3，－4) ； 12．满足即可，如，； 13．0.9； 14．315 15．不正确； 理由：的图象在其每一象限内，y随x的增大而增大；的图象是分段的，是间断的…；因为y1＝4，y2＝－8，y3＝－2，所以y2 16．直径所对的圆周角是直角． 三、解答题（本题共72分，第17－26题，每小题5分，第27题7分，第28题8分，第29题7分） 17．解：原式＝ ……………………………………3分 ＝1＝． ……………………………………5分 18．解：∵a＝1，b＝−3，c＝−1， ……………………………………1分 ∴， ……………………………………2分 ∴ ……………………………………3分 ＝． ∴原方程的解是，． ……………………………………5分 19．解：∵OC是⊙O的半径，OC⊥AB于点D， ∴AD＝BD＝AB． ……………………………………1分 ∵OC＝5，CD＝2， ∴OD＝OC－CD＝3． ……………………………………2分 在Rt△AOD中，OA＝5，OD＝3， ∴AD＝＝＝4， ……………………………………4分 ∴AB＝2AD＝8． ……………………………………5分 20．(1)证明：∵△ABC中，CD⊥AB于点D， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°． ……………………………………1分 ∵， ∴△ACD∽△CBD； ……………………………………2分 (2)解：∵△ACD∽△CBD， ∴∠A＝∠BCD． ……………………………………3分 在△ACD中，∠ADC＝90°， ∴∠A＋∠ACD＝90°， ……………………………………4分 ∴∠BCD＋∠ACD＝90°， 即∠ACB＝90°． ……………………………………5分 21．解：(1)画出△AB1C1，如图． ……………………………………2分 (2)由图可知△是直角三角形，AC＝4，BC＝3， 所以AB＝5． ……………………………………3分 点B旋转到B1的过程中所经过的路径是一段弧， 且它的圆心角为90°，半径为5． …………4分 ∴＝． …………5分 所以点B旋转到B1的过程中所经过的路径长为． 22．解：(1) ＝ ＝ ＝． ……………………………………2分 (2) 令，则． ∴， 解方程，得 ，． ∴该二次函数的图象与x轴的交点坐标为A(0，0)，B(4，0)． ………………4分 (3) ． ……………………………………5分 23．解：(1)∵点A的坐标为(1，m)，在直线上， ∴， ……………………………………1分 ∴点A的坐标为(1，3)，代入反比例函数中，得 ∴k＝1×3＝3， ∴反比例函数的表达式为． ……………………………………2分 (2) ∵直线与y轴交于点C(0，2)，且B(－3，－1)， …………………3分 ∴ S△ABP＝S△ACP＋S△BCP＝＋ ＝2PC＝6， ∴PC＝3. ∵是y轴上一点， ∴点的坐标为(0，5)或(0，-1). …………………………………… 5分 24．解：由题意， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，AB＝200米， ∴AC＝BC＝AB·sin∠ABC＝200·sin45°＝100米， …………………………2分 又∵Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠D＝30°， ∴CD＝＝＝100米， …………………………4分 ∴BD＝CD－BC＝100－100≈104米． …………………………5分 即改善后的斜坡坡角向前推进的距离约为104米． 25．(1)证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°, ∴∠B＋∠BAC＝90°． ∵AD为⊙O的切线， ∴DA⊥AB， ……………………………………1分 ∴∠DAC＋∠BAC＝90°, ∴∠B＝∠DAC． ∵OB＝OC， ∴∠B＝∠OCB， 而∠OCB＝∠DCE， ∴∠DAC＝∠DCE． ……………………………………2分 (2) 解：∵AB＝2，∴OA＝1， 在Rt△ABC中，OA＝1，sin∠D＝， ∴OD＝＝3， ∴CD＝OD－OC＝2， AD＝＝． ……………………………………3分 ∵∠DAC＝∠DCE，∠D＝∠D， ∴△DAC∽△DCE， ∴＝， ∴DE＝＝＝． ……………………………………4分 ∴AE＝AD－DE＝－＝． ……………………………………5分 26．解：(1)． ……………………………………1分 (2)当时，， ∴． ……………………………………2分 (3)该函数的图象如右图所示． ……………………………4分 (4) 该函数的其它性质： ①当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大． ②函数的图象不经过第二象限． ③函数的图象与x轴无交点，图象由两部分组成． ④函数的图象关于点(1，1)成中心对称． ……（写出一条即可） ……………………………………5分 27．解：(1) ∵抛物线经过点A(，t)，B(3，t)， ∴抛物线的对称轴为， ∴， 解得， ……………………………………1分 ∵抛物线与轴交于点C(0，)， ∴； ……………………………………2分 ∴抛物线的表达式为． ……………………………………3分 (2) ∵， ∴抛物线的顶点D的坐标为(1，－2)． ……………………………………4分 把点D的坐标代入一次函数中，得 ， ∴， ∴一次函数的表达式为． ……………………………………5分 (3)由题意，直线：与y轴交于点E(0，－3)， 且A(，2)，D(1，－2)， 当直线经过点A时，， 当直线经过点D时，， 结合函数的图象可知，的取值范围为． ……………………7分 28．(1) ① 依题意补全图2如图； ……………………………………1分 ② 证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB， 即∠ACD＝∠BCE． ……………………………………2分 又∵CA＝CB，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE， ∴AD＝BE， ……………………………………3分 ∠CBE＝∠CAD． 设AE与BC交于点F，则∠BFE＝∠AFC， ∵∠AEB＝180°－∠CBE－∠BFE， ∠ACB＝180°－∠CAD－∠AFC， ∴∠AEB＝∠ACB＝90°， 即AD⊥BE． ……………………………………4分 ③ 线段CM，AE，BE之间的数量关系：AE－BE＝2CM．…………………5分 (2) 点A到BP的距离为1或2． ……………………………………7分 29．解：(1)(1，0)，(0，)，(1，1)； ……………………………………3分 (2) ①解法一：∵，， ∴＝， 即． 又∵∠＝∠EGO， ∴△∽△OEG， ……………………………………4分 ∴∠＝∠OEG． ∵E为弦CD的中点，G为圆心， ∴GE⊥CD于点E， 即∠OEG＝90°， ……………………………………5分 ∴∠＝90°． ……………………………………6分 解法二：易得G(2，2)，E(0，2)，， ∴EG＝2，OG＝． ∵，， ∴＝，＝． ……………………………………4分 ∵在射线GE上，在射线GO上， ∴(，2)，(，)， ∴＝， ……………………………………5分 ∴， ∴∠＝90°． ……………………………………6分 ②线段的长度为或． ……………………………………8分 说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准按分步给分的原则酌情评分．