燕山地区2014—2015学年度第一学期九年级期末考试
数 学 试 卷 2015年1月
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，请将符合题意的答案代号写在答题纸的相应位置上．
1．观察下列图形，是中心对称图形的是
A． B． C． D．
2．某校举办中学生汉字听写大会，准备从甲、乙、丙、丁4套题中随机抽取一套题对选手进行训练，则抽中甲套题的概率是
A． B． C． D．1
3．右图是某几何体的三视图，该几何体是
A．圆锥 B．圆柱
C．棱柱 D．正方体
4．已知△ABC ∽△DEF，相似比为1∶2，△ABC的周长为4，则△DEF的周长为
A．2 B．．8 D．16
5．如图，点A，B，C均在⊙O上，∠ACB＝35°，则∠AOB的度数为
A．20° B．40° C．60° D．70°
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则cosB的值是
A． B． C． D．2
7．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度(℃)随时间(小时)变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分，则当＝16时，大棚内的温度约为
A． B． C． D．
8．如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝3．
⊙O的半径为2，点P是线段AB上的一动点，过点P作
⊙O的一条切线PQ，Q为切点．设AP＝，PQ2＝，
则与的函数图象大致是
A． B． C． D．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．若，则＝ ．
10．已知反比例函数的图象在其每一分支上，y随x的增大而减小，则此反比例函数的解析式可以是 ．（注：只需写出一个正确答案即可）
11．如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网的位置上，则球拍击球的高度h为 米．(已知网高为，击球点到网的水平距离为)x§k§b 1
12．在函数的图象上有点P1，P2，P3，…，Pn，Pn+1，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，n+1．过点P1，P2，P3，…，Pn，Pn+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成如图所示的若干个矩形，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为，，，…，，则点P1的坐标为 ；＝ ；＝ ．
（用含n的代数式表示）
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：sin45°－tan60°·cos30°．
14．如图，点D是△ABC的边AC上的一点，AB2＝AC·AD．
求证：△ADB∽△ABC．
15．如图，正比例函数y=2x与反比例函数的图象的一个交点为A(2，m)．
求m和k的值．
16．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，点A，B，C的坐标分别为(0，1)，(1，－1)，(5，1)．
（1）直接写出点B关于原点的对称点D的坐标；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90º得到△A1B．请在网格中画出△A1B，并直接写出点A1和B1的坐标．
17．如图，在半径为的⊙O中，圆心O到弦AB的距离OE为．
（1）求弦AB的长；
（2）求劣弧的长．
18．在燕房线地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌（如图所示）．已知立杆AB的高度是，从路侧点D处测得路况警示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°，求路况警示牌宽BC的值．（精确到）
（参考数据：≈1.41，≈1.73）
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点F，点E是BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE．
（1）求证：△ABE∽△ACD；
（2）若BC＝2，AD＝6，DE＝3，求AC的长．
20．根据某网站调查，2014年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其它共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下：
科*网]
根据以上信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图并在图中标明相应数据；
（2）若北京市约有2100万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？x.k.b.1
（3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，则抽取的两人恰好是甲和乙的概率为 ．
21．如图，AB为⊙O的直径，直线与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥于点D，交⊙O于点E．
（1）求证：∠CAD＝∠BAC；新 课 标
（2）若sin∠BAC＝，BC＝6，求DE的长．
22．阅读下面材料：
小辉遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长．
小辉发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，连接EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE(即DE)的长．
请回答：在图2中，∠FCE的度数是 ，DE的长为 ．
参考小辉思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．
五、解答题（本题共22分，第23、24题每题7分，第25题8分）
23．已知关于的方程.
（1）求证：当时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与轴交于点C，且tan∠OAC＝4，求该二次函数的解析式；
（3）已知点P（m，0）是x轴上的一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交（2）中的二次函数图象于点M，交一次函数的图象于点N．若只有当时，点M位于点N的下方，求一次函数的解析式．
24．在正方形ABCD中，点E，F，G分别是边AD，AB，BC的中点，点H是直线BC上一点．将线段FH绕点F逆时针旋转90º，得到线段FK，连接EK．
（1）如图1，求证：EF＝FG，且EF⊥FG；
（2）如图2，若点H在线段BC的延长线上，猜想线段BH，EF，EK之间满足的数量关系，并证明你的结论．
（3）若点H在线段BC的反向延长线上，请在图3中补全图形并直接写出线段BH，EF，EK之间满足的数量关系．
25．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：
若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的外延矩形．点A，B，C的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最佳外延矩形．例如，右图中的矩形，，都是点A，B，C的外延矩形，矩形是点A，B，C的最佳外延矩形．
（1）如图1，已知A(－2，0)，B(4，3)，C(0，)．
①若，则点A，B，C的最佳外延矩形的面积为 ；
②若点A，B，C的最佳外延矩形的面积为24，则的值为 ；
（2）如图2，已知点M(6，0)，N(0，8)．P(，)是抛物线上一点，求点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P的横坐标的取值范围；
（3）如图3，已知点D(1，1)．E(，)是函数的图象上一点，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最佳外延矩形，⊙H是矩形OFEG的外接圆，请直接写出⊙H的半径r的取值范围．
[来源:Z*xx*k.Com]
数学试卷参考答案与评分标准 2015年1月
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
B．A．B．C． D．B．C．A．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9． 10． （答案不唯一）
11．1.4 12．(1，8)；；．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．解：原式＝ ……………………………………3分
＝1＝． ……………………………………5分
14．证明：∵AB2＝AC·AD，
∴＝． ……………………………………2分
又∵∠A＝∠A， ……………………………………4分
∴△ADB∽△ABC． ……………………………………5分
15．解：将点A(2，m)的坐标代入y=2x中，得
m＝2×2，即m＝4． ……………………………………2分
∴A(2，4)． ……………………………………3分
将点A(2，4)的坐标代入，得
k＝2×4，即k＝8． ………………5分
16．解：（1）D(－1，1)； ………………2分
（2）画出△A1B，如图； ………………3分
A1(5，6)，B1(3，5)． ………………5分
17．解：（1）∵AB为⊙O的弦，OE⊥AB于E，
∴AE＝BE＝AB． ……………………………………1分
在Rt△AOE中，OA＝6，OE＝3，
∴AE＝＝＝＝， ………………2分
∴AB＝2AE＝． ……………………………………3分
（2）由（1）知，在Rt△AOE中，∠AEO＝90°，OA＝6，OE＝3，
∴cos∠AOE＝＝，
∴∠AOE＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOE＝120°， ……………………………………4分
∴的长＝＝． ……………………………………5分
18．解：由题意，
在Rt△ABD中，∠DAB＝90°，∠ADB＝45°，AB＝，
∴AD＝AB＝， ……………………………………2分
又∵Rt△ACD中，∠DAC＝90°，∠ADC＝60°，
∴AC＝AD·tan∠ADC＝3·tan60°＝米， ………………4分
∴BC＝AC－AB＝－3≈． ………………5分
即路况警示牌宽BC的值约为．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．（1）证法一：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE，
即∠BAE＝∠CAD． ……………………………………1分
又∵∠BAC＝∠BDC，∠BFA＝∠CFD，
∴180°－∠BAC－∠BFA＝180°－∠BDC－∠CFD，
即∠ABE＝∠ACD． ……………………………………2分
∴△ABE∽△ACD． ……………………………………3分
证法二：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE，
即∠BAE＝∠CAD． ……………………………………1分
又∵∠BEA＝∠DAE＋∠ADE，∠ADC＝∠BDC＋∠ADE，
∠DAE＝∠BDC，
∴∠AEB＝∠ADC． ……………………………………2分
∴△ABE∽△ACD． ……………………………………3分
(2)∵△ABE∽△ACD，∴＝．
又∵∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△AED， ……………………………………4分
∴＝，
∴AC＝＝＝4． ……………………………………5分
20．（1）补全条形统计图如图； ………………2分
（2）2100×10%＝210万人； ………………4分
（3）． ………………5分
21．（1）证明：连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD， ……………………………………1分
∵AD⊥CD，∴OC∥AD，
∴∠CAD＝∠ACO．
又∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠OAC，
∴∠CAD＝∠OAC，
即∠CAD＝∠BAC． ……………………………………2分
（2）解法一：过点B作BF⊥于点F，连接BE，
∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，
又AD⊥于点D，
∴∠AEB＝∠ADF＝∠BFD＝90°，
∴四边形DEBF是矩形，
∴DE＝BF． ……………………………………3分
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCF＝90°．
∵∠ADC＝90°，∴∠ACD＋∠CAD＝90°，
∴∠BCF＝∠CAD．
∵∠CAD＝∠BAC，
∴∠BCF＝∠BAC． ……………………………………4分
在Rt△BCF中，BC＝6，
sin∠BCF＝＝sin∠BAC＝，
∴BF＝＝，
∴DE＝BF＝． ……………………………………5分
解法二：连接CE，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．
∵A，B，C，E四点共圆，
∴∠AEC＋∠ABC＝180°．
又∵∠AEC＋∠DEC＝180°，
∴∠DEC＝∠ABC，
∴Rt△CDE∽Rt△ACB， ……………………………………3分
∴＝．
在Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝，BC＝6，
∴AB＝＝10，∴AC＝＝8．
在Rt△ADC中，∵∠DAC＝∠BAC，
∴sin∠DAC＝＝sin∠BAC＝，
∴CD＝＝． ……………………………………4分
∴DE＝＝＝． ……………………………………5分
22．90°；． ……………………………………2分
猜想：EF=BE＋FD； ……………………………………3分
理由如下：
如图，将△ABE绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AD重合，得到△ADG，
∴BE＝DG，AE＝AG，∠DAG＝∠BAE，∠B＝∠ADG，
∵∠B＋∠ADC＝180°，∠B＝∠ADG，
∴∠ADG＋∠ADC＝180°，即点F，D，G在同一条直线上．
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF，
即∠GAF＝∠EAF． ……………………………………4分
在△AEF和△AGF中，
∴△AEF≌△AGF，
∴EF＝FG．
∵FG＝DG＋FD＝BE＋DF，
∴EF＝BE＋FD． ……………………………………5分
五、解答题（本题共22分，第23题8分，第24、25题每小题7分）
23．（1）证明：∵＝， ………………1分
又∵，∴，
∴，即，
∴当时，方程总有两个不相等的实数根． ………………2分
（2）解：∵与x轴交于A、B两点，
∴令，有，
解得 ，或． ………………3分
∵，点A在点B的左侧，
∴A(1，0)，B(，0)．
∵抛物线与y轴交于点C，
∴C(0，)． ……………………………………4分
在Rt△AOC中，tan∠OAC＝＝＝4，
解得．
∴抛物线的解析式为． ……………………………………5分
（3）依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和5，由此可得交点坐标为(1，0)和(5，4)． ………………6分
将交点坐标分别代入一次函数解析式中，得
， 解得，
∴一次函数的解析式为． ……………………………………7分
24．（1）证明：∵正方形ABCD，E，F，G分别是边AD，AB，BC的中点，[来源:Z,xx,k.Com]
∴AE＝AF＝FB＝BG，∠A＝∠B＝90°，
∴△AEF≌△BGF， ……………………………………1分
∴EF＝FG，∠AFE＝∠BFG＝45°，
∴∠EFG＝180°－∠AFE－∠BFG＝90°，即EF⊥FG． ………………2分
（2）BH＝EF＋EK； ……………………………………3分
证明：将线段FH绕点F逆时针旋转90º，得到线段FK，
∴FH＝FK，∠HFK＝90°，
∴∠KFE＋∠EFH＝90°，
∵∠EFG＝90°，∴∠HFG＋∠EFH＝90°，
∴∠KFE＝∠HFG，
在△EFK和△GFH中，
FK＝FH，∠KFE＝∠HFG，EF＝FG，
∴△EFK≌△GFH， ……………………………………4分
∴EK＝GH．
∵△BFG是等腰直角三角形，∴BG＝FG，
∴BH＝BG＋GH＝FG＋EK＝EF＋EK，
即BH＝EF＋EK． ……………………………………5分
（3）补全图形如图； ……………………………………6分
BH＝EK－EF． ……………………………………7分
25．（1）①18； ……………………………………1分
②或； ……………………………………3分
（2）如图，过M点作轴的垂线与过N点垂直于轴的直线交于点Q，则当点P位于矩形OMQN内部或边界时，矩形OMQN是点M，N，P的最佳外延矩形，且面积最小．
∵S矩形OMQN＝OM·ON＝6×8＝48，
∴点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值为48．………………4分
抛物线与轴交于点T(0，5)．
令，有，
解得 （舍），或．
令，有，
解得 ，或．
∴，或． ……………………………………6分
（3）． ……………………………………8分
说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准按分步给分的原则酌情评分．