27.2 用推理方法研究三角形(C卷)
(30分 30分钟)
一、实践操作题:(10分)
1.如图所示,一牧人带马群从A点出发,到草地MN放牧,在傍晚回到帐蓬B之前,先带马群到河PQ去给马饮水.试问:牧人应走哪条路线才能使整个放牧的路程最短?
二、竞赛题:(10分)
2.已知:如图所示,在Rt△ABC中,AB=AC,∠A=90°,点D为BC边上任一点,DF ⊥AB于F,DE⊥AC于E,M为BC的中点,试判断△MEF是什么形状的三角形,并证明你的结论.
三、趣味题:(10分)
3.如图所示,一个长为10米的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8米.如果梯子的顶端下滑1米,那么梯子底端滑动的距离是1米吗?证明你的结论.
答案:
一、
1.解:如答图所示,作B点关于PQ的对称点B′,再作B′点关于MN 的对称点B″,连结AB″,交MN于C;连结CB′,交PQ于D;连结BD,则A→C→D→B就是牧人应走的最短路线.
二、
2.△EMF是等腰直角三角形.
证明:如答图所示,连结AM.
∵M是BC的中点,∠BAC=90°,AB=AC,
∴AM=BC=BM, AM平分∠BAC,
∴∠MAC=∠MAB=∠BAC=×90°
=45°.
∵AB⊥AC,DE⊥AC,DF⊥AB,
∴DE∥AB,DF∥AC.
∴四边形DFAE是平行四边形.
∵∠BAC=90°,
∴四边形DFAE是矩形,
∴DF=AE.
∵DF⊥AB,∠B=45°,
∴∠BDF=45°=∠B.
∴BF=FD.
∴AE=BF.
在△AEM和△BFM中,
∴△AEM≌△BFM,
∴EM=FM,∠AME=∠BMF.
∵∠BMF+∠AMF=90°,
∴∠EMF=∠AME+∠AMF=90°,
∴△MEF是等腰直角三角形.
三、
3.解:设梯子底端滑动的距离为x米,
则在Rt△CDE中,
CE=AE-AC=8-1=7(米),
EB==6(米),
∴ED=EB+BD=(x+6)米,AB=CD=10米,
由CE2+ED2=CD2,得 72+(x+6)2=102,
∴x2+12x-15=0.
∴x=,
∴x1=-6+,x2=-6- (舍去),
∴x1=-6+≈1.1>1.