27.2 用推理方法研究三角形(A卷)
(100分 70分钟)
一、选择题:(每题2分,共24分)
1.已知等腰三角形的一个角为75°,则其顶角为( )
A.30° B.75° C.105° D.30°或75°
2.下列的真命题中,其逆命题也真的是( )
A.全等三角形的对应角相等
B.两个图形关于轴对称,则这两个图形是全等形
C.等边三角形是锐角三角形
D.直角三角形中,如果一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半
3.若△ABC的三边分别为a、b、c，且满足│a-12│＋(5-b)2+≤0, 则△ABC 为( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.面积等于30的直角三角形
4.已知等腰△ABC的底边BC=8cm,且│AC-BC│=2cm,则腰AC的长为( )
A.10cm或6cm B.10cm; C.6cm D.8cm或6cm
5.如上图所示,在△ABC中,已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F,过点F作DE ∥BC,交AB于点D,交AC于点E,若BD+CE=9,则线段DE的长为( )
A.9 B.8 C.7 D.6
6.不能使两个直角三角形全等的条件是( )
A.一条直角边及其对角对应相等;B.斜边和一条直角边对应相等
C.斜边和一锐角对应相等; D.两个锐角对应相等
7.如图,等腰三角形ABC中,∠BAC=90°,在底边BC上截取BD=AB,过D作DE⊥BC 交AC于E,连结AD,则图中等腰三角形的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.在等边△ABC的边BA、CB、AC的延长线上,分别截取AA′=BB′=CC′, 那么△A′B′C′是( )
A.等腰三角形; B.等边三角形; C.任意三角形; D.以上结论都不对
9.若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为n°,则这个等腰三角形顶角等于( )
A.n° B.2n° C.90°-n° D.90°+n°
10.下列说法正确的是( )
A.勾股定理表示一般三角形的边与边的关系;B.勾股定理表示等腰三角形的边与边的关系
C.勾股定理表示直角三角形的边与边的关系;D.勾股定理表示三角形的边角之间的关系
11.已知直角三角形两直角边的边长之和为,斜边长为2, 则这个三角形的面积是( )
A.0.25 B.0.5 C.1 D.2
12.设一个直角三角形的两条直角边长为a、b,斜边上的高为h,斜边长为c, 则以c+h,a+b,h为边构成的三角形的形状是( )
A.直角三角形; B.锐角三角形; C.钝角三角形; D.不能以a、b、c的大小确定形状
二、填空题:(每题2分,共24分)
13.已知等腰三角形的底角是顶角的两倍,那么它的底角的度数是_________.
14.如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半, 那么这个等腰三角形的顶角等于_____.
15.若等边三角形ABC的边长为a,且三角形内一点P到各边的距离分别是,则=______.
16.等腰直角三角形一边为2厘米,则它的周长为______厘米.
17.某三角形的两个角分别为105°、45°,且45°角所对的
边长为2, 则该三角形的周长是__________.
18.如果两个等腰三角形___________,那么这两个等腰三角形全等( 只填一种能使结论成立的条件即可).
19.“角平分线上的点,到这个角的两边的距离相等”的逆命题是_______.
20.CD是直角三角形ABC的斜边AB上的高,若AD=8cm,BD=4cm,△ABC的面积=24cm2, 那么CD=______cm,AC=______cm,BC=_______cm.
21.已知等腰三角形的一边长等于4,一边长等于8,则这个三角形的周长是____.
22.等腰三角形的一个外角等于130°,则顶角是________.
23.如上图所示,△ABC中,∠A=30°,∠C=60°, DC= 1cm, DE 垂直平分AB, 则AD=______.
24.若有两条线段,长度是1cm和2cm,第三条线段为______时, 才能组成一个直角三角形.
三、解答题:(第29、30题每题10分,其余每题8分,共52分)
25.如图所示,在△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,BD是∠ABC的平分线,交AC 于点D.
求证:点D在线段AB的垂直平分线上.
26.已知:如图所示,AC⊥CD,BD⊥CD.线段AB的垂直平分线EF交AB于点E,交CD 于点F,且AC=FD,求证:△ABF是等腰直角三角形.
27.三边长分别为2n2+2n、2n+1、2n2+2n+1(n>0)的三角形是不是直角三角形? 为什么?
28.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,E为AD上一点,且AE=BE. 已知∠BAC=70°,求∠ABE和∠BEC的度数.
29.在△ABC中,已知AB=AC,BE是角平分线.
(1)若BE=AE,求证:∠ABC=2∠A.
(2)若BE⊥AC,求证:△ABC为等边三角形.
30.如图所示,∠BAC=30°,D为角平分线上一点,DE⊥AC于E,DF∥AC,且交AB于点F.
(1)求证:△AFD为等腰三角形;
(2)若DF=10cm,求DE的长.
答案:
一、1.D 2.D 3.D 4.A 5.A 6.D 7.D 8.B 9.B 10.C 11.B 12.A
二、13.72° 14.120° 15. 16.4+2或2+2 17.3++
18.一腰与底边对应相等, 或底边和底边上的高对应相等,或能够完全重合等是
19. 到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
20. 21.20 22.80°或50° 23.1cm 24.cm或cm.
三、
25.证明:∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°.
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠ABC=×60°=30°.
∴∠A=∠ABD,DA=DB,∴点D在AB的垂直平分线上.
26.证明:∵EF是AB的垂直平分线,∴FA=FB.
∵AC⊥CD,BD⊥CD,∴△ACF 与△FDB是直角三角形.
在Rt△ACF与Rt△FDB中,AC=FD,FA=BF,
∴Rt△ACF≌Rt△FDB(HL),∴∠CAF=∠DFB. ∵∠C=90°,∴∠CAF+∠CFA=90°,∴∠CFA+∠BFD=90°,
∴∠AFB=90 °. ∴△ABF是等腰直角三角形.
27.证明:∵三边长为2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1(n>0),
∴(2n2+2n)2=4n4+8n3+4n2,
(2n+1)2=4n2+4n+1,
(2n2+2n+1)2=4n4+4n2+1+8n3+4n2+4n=4n4+8n3+8n2+4n+1,
∴( 2n2+2n)2+(2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1.
∴(2n2+2n)2+(2n+1)2=(2n2+2n+1)2.
故三边长为2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1(n>0)的三角形是直角三角形.
28.解:∵AB=AC,AD⊥BC,∠BAC=70°,
∴∠BAD=∠BAC=35°.
∵AE=BE,∴∠BAD=∠ABE=35°,即∠ABE=35°.
∴∠BED=∠BAE+∠ABE=35°+35°=70°.
∵AB=AC,AD⊥BC,AD平分BC,即AD是BC的垂直平分线,
∴EB=EC.又ED⊥BC,
∴∠BED=∠BEC,∴70°=∠BEC,∴∠BEC=140°.
29.(1)证明:如答图所示.∵BE平分∠ABC,∴∠1=∠2=∠ABC.
∵BE=AE,∴∠A= ∠1,∠A= ∠ABC.∴∠ABC=2∠A.
(2)解:如答图,∵∠1=∠2=∠ABC,
又∵BE⊥AC,∴∠BEA=∠BEC=90°.
又BE=BE,∴△BEA≌△BEC,∴AB=BC.
∵AB=AC,∴AB=AC=BC.∴△ABC为等边三角形.
30.(1)证明:如答图所示,
∵DF∥AC,∴∠3=∠2.
∵∠1=∠2,∴∠1=∠3.
∴FD=FA.∴△AFD为等腰三角形.
(2)解:过D作DG⊥AB,垂足为G,
∵∠1=∠2=∠BAC,∠BAC=30°,∴∠1=15°.
又∵∠1=∠3,∴∠1=∠3=15°.
∴∠GFD=∠1+∠3=15°+15°=30°.
在Rt△FDG中,DF=10cm,∠GFD=30°,∴DG=5.
∵AD为∠BAC的平分线,DE⊥AC,DG⊥AB,
∴DE=DG=5cm.