石景山区2010—2011学年第一学期期末考试试卷
初三数学
第Ⅰ卷（共32分）
一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）
在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案的字母填在下面的表格中．
1．如果，那么的值是
A．14 B． C． D．
2．正方形网格中，的位置如右图所示，则的值是
A． B． C． D． 2
3．在一个不透明的布袋中装有2个白球和3个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一球，摸到白球的概率是
A． B． C． D．
4．已知：中，，,，则的长是
A． B． C．6 D．
5．(18届江苏初三)如图，为的直径，为的弦，，则为
A． B． C． D．
6． 如图，平行四边形中，为的中点，的面积为2，则△ 的面积为
A．2 B．．6 D．8
7．函数y=bx＋1(b≠0)与y=ax2＋bx＋1(a≠0)的图象可能是
8．已知：点在反比例函数的图象上，点B与点A关于坐标轴对称，以AB为边作正方形，则满足条件的正方形的个数是
A． 4 B． ． 3 D．8
第Ⅱ卷（共88分）
二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分）
9．已知，则锐角的度数是 °．
10．将二次函数化为的形式为 ．
11．已知：如图，⊙与坐标轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，⊙的半径为3 则圆心的坐标为 ．
12．如图，⊙的半径为2，，切⊙于，弦，连结， 图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（本题共5道小题，每小题5分，共25分）
13．计算：．
14．如图，已知：Rt△ABC中，，AB=BC＝，点D为BC的中点，求．
15．如图，已知：射线与⊙交于两点， PC、PD分别切⊙于点．
（1）请写出两个不同类型的正确结论；
（2）若，,求的长．
16．如图，已知：双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为，求点C的坐标．
17．正四面体各面分别标有数字1、2、3、4，正六面体各面分别标有数字1、2、3、4、5、6，同时掷这两个正多面体，并将它们朝下面上的数字相加．
（1）请用树状图或列表的方法表示可能出现的所有结果；
（2）求两个正多面体朝下面上的数字之和是3的倍数的
概率．
四、画图题（本题满分4分）
18．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．已知，的顶点都在格点上，,,,若在边上以某个格点为端点画出长是的线段，使线段另一端点恰好落在边上，且线段与点C构成的三角形与相似，请你在图中画出线段（不必说明理由）．
五、解答题（本题共4道小题，每小题6分，共24分）
19．已知：二次函数的图象经过点和点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向左平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标．
20．如图，在某建筑物AC上，挂着宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得的仰角为，再往条幅方向前行到达点E处，看条幅顶端B，测得的仰角为，若小明的身高约，求宣传条幅BC的长（结果精确到）．
21．如图，已知：内接于⊙O，是⊙O的切线，的延长线交于点．
（1）若∠B=2∠D ，求∠D的度数；
（2）在（1）的条件下，若，求⊙O的半径．
22．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为，如果水位上升，则水面CD的宽是．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为的货船经过这里，船舱上有高出水面的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？
六、解答题（本题满分6分）
23．如图①，△ABC中，，∠ABC=，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB C ，设旋转的角度是．
（1）如图②，当= °（用含的代数式表示）时，点B 恰好落在CA的延长线上；
（2）如图③，连结BB 、CC ， CC 的延长线交斜边AB于点E，交BB 于点F．请写出图中两对相似三角形 ，
（不含全等三角形），并选一对证明．
七、解答题（本题满分6分）
24．已知：关于x的一元二次方程有两个实数根，且 为非负整数.
（1）求的值；
（2）若抛物线向下平移个单位后过点 和点,求的值；
（3）若抛物线上存在两个不同的点关于原点对称,求的取值范围.
八、解答题（本题满分7分）
25．已知：抛物线，对称轴为直线，抛物线与y轴交于点，与轴交于、两点．
(1)求直线的解析式；
(2)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值；
(3)为抛物线上一点，若以线段为直径的圆与直线切于点,求点的坐标．
石景山区2010-2011学年度第一学期期末考试试卷
初三数学参考答案
阅卷须知：
为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）
二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分）
9．40； 10．； 11．； 12．．
三、解答题（本题共5道小题，每小题5分，共25分）
13．解：
= ……………………………………………………………4分
= ……………………………………………………………………5分
14． 解：过D作于E……………………………1分
在Rt△ABC中，
∵，AB=BC＝，
∴…………………………………………2分
∵点D为BC的中点，
∴
∴………………………………3分
在Rt△DCE中，
………………………………4分
∴…………………………5分
15．解：（1）不同类型的正确结论有：
①PC=PD ②CD⊥BA ③∠CEP=90° ④∠CPO=∠DPA ⑤ ……2分
（2）联结OC
∵PC、PD分别切⊙于点
∴PC=PD, ∠CPO=∠DPA
∴CD⊥AB
∵CD=12
∴DE＝CE=CD=6．………………………3分
∵
∴在Rt△EPC中 ， PE=12
∴勾股得………………………4分
∵PC切⊙于点
∴
在Rt△OPC中,
∵
∴
∴
∴ ………………………………5分
16．解：由题意得：D ………………………1分
∵双曲线经过点D
∴
∴ ………………………2分
∴
设点C ………………………3分
∴ ………………………4分
∴点C ………………………5分
17． 解：（1）解法一：用列表法
列表正确 …………………………………………………3分
解法二：画树状图
画树状图正确 ………………………………………………………3分
（2） ………………………………………………5分
四、画图题（本题满分4分）
18．解：
注：正确画出一条得2分，正确画出两条得4分．
五、解答题（本题共4道小题，每小题6分，共24分）
19．解：（1）由已知，抛物线过和点，得
………………………1分
解这个方程组，得
∴ 所求抛物线的解析式为 ………………………2分
（2）令，则 ………………………3分
解方程，得，． ………………………4分
∴二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和．
∴二次函数图象向左平移5个单位后经过坐标原点． ………………………5分
平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为 ………………………6分
20．解：过F作于H……………………………1分
∵∠BFH =，∠BEH =，∠BHF =
∴∠EBF =∠EBC =………………………2分
∴BE = EF = 20 ………………………3分
在Rt△BHE中，
………………………4分
………………………5分
答：宣传条幅BC的长是．………………………6分
21．解：（1）如图，连结……………………………1分
∵是⊙O的切线 ∴
设，则，，………………2分
∴
∴
∴ …………………………3分
（2）解：，．
∴．
∴． ……………………………5分
在Rt中，………………………6分
∴⊙O的半径是4．
22．解：（1）设抛物线解析式为………………………………………1分
设点，点 ………………………………………………2分
由题意：
解得 ………………………………………………3分
∴ ………………………………………………4分
（2）方法一：
当时，
∵.6 ………………………………………………5分
∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．…………………………………6分
方法二：
当时，
∴
∵ ………………………………………………5分
∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．…………………………………6
六、解答题（本题满分6分）
23． 解：（1） ……………………………………………………………1分
（2）图中两对相似三角形：①△ABB ∽△AC C ，②△ACE∽△FBE；……… 3分
证明①：∵△ABC绕点A顺时针旋转角得到△AB C
∴∠CA C =∠BAB =，AC=A C ，AB=AB ………………………………4分
∴ ……………………………………………………5分
∴△ABB ∽△AC C ……………………………………………………6分
证明②：∵△ABC绕点A顺时针旋转角得到△AB C
∴∠CA C =∠BAB =，AC=A C ，AB=AB ………………………………4分
∴∠AC C =∠ABB = ………………………………5分 又∠A E C =∠FEB
∴△ACE∽△FBE ……………………………………………………6分
七、解答题（本题满分6分）
24．解：（1）依题意，得……………1分
解得
又且为非负整数
∴ ………………………………………………………………2分
∴
（2）解法一：
抛物线过点（1,1），（2,0），向下平移个单位后得到点 和点 ……………………………3分
∴, 解得. ……………………………4分
解法二：
抛物线向下平移个单位后得：,将点和点代入解析式得 …………………3分
解得 . ……………………………4分
（3）设,则 ……………………………5分
∵在抛物线上,将两点坐标分别代入得:
,将两方程相加得:
即
∵
∴
当 时，两点重合，不合题意舍去
∴ . ……………………………6分
八、解答题（本题满分7分）
25.解：（1）∵对称轴
∴ ……………………………………………………1分
∵
∴
设直线AC的解析式为
∵，, 代入得：
直线的解析式为 ………………………………………2分
（2）代数方法一：
过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N．
设，则…………………………………3分
∵
……………………………………5分
∴当时，四边形ABCD面积有最大值.
代数方法二：
=
= ……………………………………5分
∴当时，四边形ABCD面积有最大值.
几何方法：
过点作的平行线，设直线的解析式为.
由得：………………………………3分
当时，直线与抛物线只有一个公共点
即：当时,△ADC的面积最大,四边形ABCD面积最大
此时公共点的坐标为 ………………………………4分
= ………………………………5分
即：当时，四边形ABCD面积有最大值.
（3）如图所示，由抛物线的轴对称性可求得（1，0）
∵以线段为直径的圆与直线切于点
∴过点作的垂线交抛物线于一点，则此点必为点.
过点作轴于点， 可证Rt△PEB∽Rt△BOC
∴，故EB=3PE，……………………………………………………6分
设，
∵B（1，0）
∴BE=1-x，PE=
，
解得（不合题意舍去），
∴P点的坐标为： .………………………………………………7分