石景山区2014—2015学年度第一学期期末考试试卷
初三数学
第Ⅰ卷（共32分）
一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）
在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上．
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC=3，则sinA的值是
2．如图，A，B，C都是⊙O上的点，若∠ABC=110°，则∠AOC的度数为
3．如图，平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AC与BE交于点F．则
△EFC与△BFA的面积比为
4．将抛物线向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式是
5．将化为的形式，，的值分别为
6．如图，为测学校旗杆的高度，在距旗杆的A处，测得旗杆顶部B的
仰角为，则旗杆的高度BC为
7．已知：二次函数的图象如图所示，下列说法中正确的是
8．如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B→D→C的路径运动，到达点C时运动停止．设点P运动的路程长为x，AP长为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A B
C D
第Ⅱ卷（共88分）
二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分）
9．一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的弧长为 ．（结果保留）10.写出一个反比例函数，使它的图象在各自象限内，的值随值
的增大而减小，这个函数的表达式为 .
11. 如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上且AD＝2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与△ABC相似，那么AE＝ ．
12．二次函数的图象如图，点A0位于坐标原点，
点A1，A2，A3…An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，
Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3，…，
Cn在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1，四边形A1B2，四边形A2B3，…，四边形An-1BnAnCn都是菱形，∠A0B1=∠A1B2A2=∠A2B3A3…
=∠An-1BnAn=120°.则A1的坐标为 ；
菱形An-1BnAnCn的边长为 .
三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分）
13．计算：．
14．已知：二次函数
（1）若二次函数的图象过点，求此二次函数图象的对称轴；
（2）若二次函数的图象与轴只有一个交点，求此时的值．
15．如图，⊙O与割线AC交于点B，C，割线AD过圆心O，且∠DAC=30°．若⊙O的半径OB=5，AD=13，求弦BC的长．
16． 已知：如图，在△中，，，，求和的长．
17．一次函数 与反比例函数的图象都过点，的图象与轴交于点．
（1）求点坐标及反比例函数的表达式；
（2）是轴上一点，若四边形ABCD是平行四边形，直接写出点D的坐标，并判断D点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由．
18． 已知：如图，△中，于，，是的中点，，，求和的长．
四、解答题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
19．甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．
（1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果；
（2）试用概率说明游戏是否公平．
20．体育测试时，九年级一名男生，双手扔实心球，已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处A点距离地面的高度为2m，当球运行的水平距离为6m时，达到最大高度5m的B处（如图），问该男生把实心球扔出多远？(结果保留根号)
21．已知：如图，Rt△AOB中，，以OA为半径作⊙O，BC切⊙O 于点C，连接AC交OB于点P．
（1）求证：BP=BC；
（2）若，且PC=7，
求⊙O的半径．
22．阅读下面材料：
小乔遇到了这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA边上的点，且AE=BC，BD=CE，BE与AD的交点为P，求∠APE的度数；
小乔发现题目中的条件分散，想通过平移变换将分散条件集中，如图2，过点B作BF//AD且BF=AD，连接EF，AF，从而构造出△AEF与△CBE全等，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：的度数为___________________．
参考小乔同学思考问题的方法，解决问题：
如图3，为⊙O的直径，点在⊙上，、分别为，上的点，且，，与交于点，在图3中画出符合题意的图形，并求出的值．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．已知二次函数在与的函数值相等．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点
C，一次函数经过B，C两点，求一次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，过动点作直线//x轴，其中．将二次函数图象在直线下方的部分沿直线向上翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象M．若直线与新图象M恰有两个公共点，请直接写出的取值范围．
24．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，D为AB的中点，∠EDF=90°，DE交AC于点G，DF经过点C．
（1）求∠ADE的度数；
（2） 如图2，将图1中的∠EDF绕点D顺时针方向旋转角（），旋转过程中的任意两个位置分别记为∠E1DF1，∠E2DF2 ， DE1交直线AC于点P，DF1交直线BC于点Q，DE2交直线AC于点M，DF2交直线BC于点N，求的值；
（3）若图1中∠B=，（2）中的其余条件不变，判断的值是否为定值，如果是，请直接写出这个值（用含的式子表示）；如果不是，请说明理由．
∴ 代入得：
∴ …………….3分
令
∴（舍）， ……………. 4分
∴
答：该同学把实心球扔出m. ……………… 5分
21．(1)证明：连接 ………………1分
BC是⊙O切线
………………2分
(2) 延长AO交⊙O于点E，连接CE
在中
设
则 ………3分
………4分
解得：x=3
……………5分
22．解：(1) ∠APE=45° ………1分
(2) 过点B作FB//AD且FB=AD，连结EF和AF
∴四边形AFBD是平行四边形，
， ………2分
∵AB是⊙O直径，∴∠C=90°
∴=90°
∵，，
∴，∴
∴△AEF∽△CBE ……3分
∴，∠1=∠3，又∵∠2+∠3=90°
∴∠1+∠2=90°，即∠FEB=90° ……4分
在Rt△BEF中，∠FEB=90°∴
又∵∴ ……5分
五、解答题（本题共3道小题，23、24每小题各7分，25题8分，共22分）
23．（1）由题意得 ．……………………1分
解得 ．
∴ 二次函数的解析式为：．…………………2分
（2）令,解得或 ……………………3分
∴， ，
令，则
∴
将B、C代入，解得，
一次函数的解析式为： ……………………4分
（3）或 ……………………7分
24．解：
（1）∵∠ACB=90°，D为AB的中点
∴CD=DB
∴∠DCB=∠B
∵∠B=60°
∴∠DCB=∠B=∠CDB=60°
∴∠CDA=120°
∵∠EDC=90°
∴∠ADE=30° ………………2分
∵∠C=90°，∠MDN=90°
∴∠DMC+∠CND=180°
∵∠DMC+∠PMD=180°，
∴∠CND=∠PMD
同理∠CPD=∠DQN
∴△PMD∽△QND ………4分
过点D分别做DG⊥AC于G, DH⊥BC于H
可知DG， DH分别为△PMD和△QND的高
∴ …………………5分
∵DG⊥AC于G, DH⊥BC于H
∴DG ∥BC
又∵D为AC中点
∴G为AC中点
∵∠C=90°，
∴四边形CGDH 为矩形有CG=DH=AG
Rt△AGD中，
即 ……………………6分
(3) 是定值，值为………7分
25．解：
（1）依题意得： ,
∴抛物线的解析式为： ………………………1分
另一交点为（6,0） ………………………………………2分
（2）解法一：依题意:在运动过程中，
经过t秒后，点的坐标为： ………………………3分
将代入
舍去负值得：
经过秒落在抛物线上 …………………………………………4分
解法二：射线解析式为：
∴解得：
∴ ……………………………3分新_课_标第_一_网
∴
∴经过秒落在抛物线上 …………………………………4分
（3）① 设
(I)当时，即点P在边上，，
∴， ……………………………5分
(II)当时，即点P在边上（不包含点），
, ，
∴， ……………………6分
综上所述： ∴当时，
当时，
②当点在运动时，，
点P所经过的路径所在函数解析式为：
又∵直线解析式为:
∴DC∥AP
∴△DCP面积为定值 ……………7分
∴CP取得最小值时，点D到CP的距离最大，
如图，当CP⊥AP时，CP取得最小值
过点P作PM⊥y轴于点M，∴∠PMC=90°
∵
∴，
∵∠DCO+∠PCM=90°，
∠CPM+∠PCM=90°
∴
∴
在Rt△PMC中，∠PMC=90°
∴ ∴
检验：
∴经过秒时，点D到CP的距离最大 ………………8分