福建省福州市2009-2010学年第一学期期末九年级数学模拟试卷
(满分150分，考试时间120分钟）
姓名____________ 座号_____________ 成绩____________
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；每小题只有一个正确选项）
1．要使在实数范围内有意义，应满足的条件是（ ）.
Ａ．＜2 Ｂ．≤2 Ｃ．＞2 Ｄ．≥2
2．同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子（骰子每个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6）．下列事件中是必然事件的是（ ）.
A．两枚骰子朝上一面的点数和为6 B．两枚骰子朝上一面的点数和不小于2
C．两枚骰子朝上一面的点数均为偶数 D．两枚骰子朝上一面的点数均为奇数
3．下列计算正确的是（ ）.
A． B．
C． D．(＞0)
4．用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
5. 如图，已知D、E分别是的AB、AC边上的点，且
那么等于（ ）
A．1 : 9 B．1 : 3
C．1 : 8 D．1 : 2
6．如图，已知正方形A、矩形B、圆C的周长都是cm，其中矩形的长是宽的2倍，那么它们的面积、、之间的关系式正确的是（ ）.
A．＜＜ B．＜＜
C．＞＞ D．＞＞
7．方程的两个根是－3和1，那么二次函数的图象的对称轴是直线（ ）.
A．＝－3 B．＝－．＝－1 D．＝1
8．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，预计2009年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是（ ）
10．如图，已知E、F是⊙O的直径，把∠A为的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设
∠POF＝°，则的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
二、填空题（共5小题，每题4分，满分20分 ）
11．从一副未曾启封的扑克牌中取出1张红桃，2张黑桃的牌共3张，洗匀后，从这3张牌中任取1张牌恰好是黑桃的概率是 ．
12．如果x＝4是一元二次方程的一个根，那么常数a的值是 ．
13．在比例尺为1︰2000的地图上测得AB两地间的图上距离为，则AB两地间的实际距离为 m．
14. 如图，在△ABC中，AB=8㎝，BC=4㎝,∠ABC=30°，把△ABC以点B为中心
按逆时针方向旋转，使点C旋转到AB边的延长线上的处，
那么图中阴影部分的面积是__________．（结果保留）
15．如图，已知：抛物线，关于轴对称；抛物线，关于轴对称。
如果抛物线的解析式是，那么抛物线的解析式
是 ．
三、解答题（满分90分）
16．计算：（每题7分， 共14分）
（1） （2）
17．解方程：（每题7分， 共14分）
（1） （2）
18．（第1小题8分，第2小题9分， 共17分）
（1）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点
坐标分别是A（2，3）、B（2，1）、C（3，2）．
①判断△ABC的形状；
②如果将△ABC沿着边AC旋转，求所得旋转体的全面积．
（2）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的格点上．
①在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
②在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；
③在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
19．(10分)如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，BC是半圆O的切线，OC∥AD，
（1）求证：CD是半圆O的切线；（2）若BD＝BC＝6，求AD的长．
20．(10分) 如图，某小区有一长为，宽为的广场，图案如下，其中白色区域四周出口的宽度一样．小明在规定地点随意向图案内投掷小球，每球都能落在图案内，经过多次试验，发现落在黑色区域的概率是,那么白色区域四周出口的宽度应是多少？
21．（11分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F． FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．．
（1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG．
（2） 当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．
（3）设BE＝x，△DEF的面积为 y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时,y有最大值，最大值是多少？
22．（14分）如图11所示，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标．
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．
（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
2009-2010学年第一学期九年级数学模拟试卷参考答案
一、选择题(每小题4分，满分40分)
DBCDB BCABA
二、填空题（每题4分，满分20分 ）
11、 ；12、±2 ； 13、100 ；14、 ；15、
三、解答题（90分）
16．（1） 解：原式=…………………4分
…………………………………7分
（2）解：原式 ……………………4分
…………………………………7分
17．（1）解： ……………………3分
…………………………………5分
…………………………………7分
（2）解：……………………………2分
…………………………………3分
或 …………………………………5分
…………………………………7分
18．（1）解：∵， ， ……………3分
∴
∴△ABC是直角三角形 …………………………………5分
（2）△ABC沿着边AC旋转所得的旋转体是圆锥
∴全面积…………………7分
…………………………………8分
(2)（每图3分）（本题答案不唯一）
19．
证明：连结OD，
∵BC是半圆O的切线,
∴∠CBO＝90° …………………………………1分
∵OC∥AD，AB是半圆O的直径
∴∠OED＝∠EDA＝90°………………………………2分
∴∠BOC＝∠DOC(垂径定理) ………………………3分
∴△BOC≌△DOC …………………………………4分
∴∠CBO＝∠CDO＝90°
∴CD是半圆O的切线…………………………………5分
（2）∵△BOC≌△DOC，
∴BC＝DC …………………………………………6分
∵BD＝BC＝6
∴BD＝BC＝CD…………………………………………7分
∴∠CBD＝60°，∠DBA＝30°，……………………9分
∴AD＝………………………………………10分
20．解：设白色区域四周出口的宽度为m，依题意得
……………………………5分
解得： （舍去）……………10分
答：白色区域四周出口的宽度为10m
21．（1） 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 1分
所以 3分
所以 4分
（2）的周长之和为定值． 5分
理由一：
过点C作FG的平行线交直线AB于H ，
因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．所以 FH＝CG，FG＝CH
因此，的周长之和等于BC＋CH＋BH
由 BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得CH＝8，BH＝6，
所以BC＋CH＋BH＝24 7分
理由二：
由AB＝5，AM＝4，可知
在Rt△BEF与Rt△GCE中，有：
，
所以，△BEF的周长是， △ECG的周长是
又BE＋CE＝10，因此的周长之和是24． 7分
（3）设BE＝x，则
所以 9分
配方得：．
所以，当时，y有最大值． 10分
最大值为． 11分
22．28．解：（1）令，得 解得
令，得
∴ A B C （2分）
（2）∵OA=OB=OC= ∴BAC=ACO=BCO=
∵AP∥CB， ∴PAB=
过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形
令OE=，则PE= ∴P
∵点P在抛物线上 ∴
解得，（不合题意，舍去） ∴PE= 4分）
∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE
= 6分）
(3)． 假设存在
∵PAB=BAC = ∴PAAC
∵MG轴于点G， ∴MGA=PAC =
在Rt△AOC中，OA=OC= ∴AC=
在Rt△PAE中，AE=PE= ∴AP= 7分）
设M点的横坐标为，则M
①点M在轴左侧时，则
(ⅰ) 当AMG PCA时，有=
∵AG=，MG=
即
解得（舍去） （舍去）
(ⅱ) 当MAG PCA时有=
即
解得：（舍去）
∴M （10分）
② 点M在轴右侧时，则
(ⅰ) 当AMG PCA时有=
∵AG=，MG=
∴
解得（舍去）
∴M
(ⅱ) 当MAGPCA时有=
即
解得：（舍去） ∴M
∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似
M点的坐标为，， （13分）
说明：以上各题如有其他解（证）法，请酌情给分．
备用：
18、(8分)如图，方格纸上的每个小正方形的边长均为1．
(1)观察图①、②中所画的“L”型图形，然后补画一个小正方形，使图①中所成的图形是轴对称图形，图②中所成的图形是中心对称图形；
(2)补画后，图①、②中所成图形的是不是正方体的表面展开图(在括号内填“是”或“不是”)：
答：图①中的图形( )，图②中的图形( )．
19．（8分）如图，A箱中装有2张相同的卡片，它们分别写有数字、；B
箱中装有3张相同的卡片，它们分别写有数字
、、．现从A箱、B箱中各随机地取出1张卡片：
（1）试用树状图（或列表法）表示所有可能的结果；
（2）求两张卡片上的数字相乘积为有理数的概率．
20．（10分）宏达纺织品有限公司准备投资开发A、B两种新产品,通过市场调研发现：如果单独投资A种产品,则所获利润（万元）与投资金额（万元）之间满足正比例函数关系：；如果单独投资B种产品,则所获利润（万元）与投资金额（万元）之间满足二次函数关系：.根据公司信息部的报告,、 （万元）与投资金额（万元）的部分对应值（如下表）
（1）填空_________________________； _________________________；
（2）如果公司准备投资20万元同时开发
A,B两种新产品,请你设计一个能获得最大利润的投资方案,并求出按此方案能获得的最大利润是多少万元？
20．（本题满分12分）
某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
设每个房间每天的定价增加元．求：
（1）房间每天的入住量（间）关于（元）的函数关系式．（3分）
（2）该宾馆每天的房间收费（元）关于（元）的函数关系式．（3分）
（3）该宾馆客房部每天的利润（元）关于（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，有最大值？最大值是多少？（6分）
21．（11分）两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt△AOB和Rt△CED按图1所示的位置放置A与C重合，O与E重合．
（1）求图1中，A、B、D三点的坐标．
（2）Rt△AOB固定不动，Rt△CED沿轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当点运动到与点重合时停止，设运动秒后Rt△CED和Rt△AOB重叠部分面积为，求与之间的函数关系式．
（3）当Rt△CED以（2）中的速度和方向运动，运动时间秒时Rt△CED运动到如图2所示的位置，求经过A、G、C三点的抛物线的解析式．
（4）现有一半径为2，圆心P在（3）中的抛物线上运动的动圆，试问⊙P在运动过程中是否存在⊙P与轴或轴相切的情况，若存在请求出P的坐标，若不存在请说明理由．
21．（11分）在平面直角坐标系中，给出如下三种变换：P变换，Q变换，R变换．
将图形F沿轴向左平移得图形F1，称为作1次P变换；
将图形F沿轴翻折得图形F2，称为作1次Q变换；
将图形F绕坐标原点顺时针旋转得图形F3，称为作1次R变换．
规定：PQ变换表示先作1次P变换，再作1次Q变换；RQ变换表示先作次R变换，再作1次Q变换．
如图，将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在平面直角坐标系中，它们的较短直角边长为3．
(1) 将△ECD沿轴向左平移到图(2)的位置，使E点落在AB上，△ECD经过___ 变化得到，且 CC′=___ ；
(2) 将△ECD绕点C逆时针旋转到图(3)的位置，使点E落在AB上，求△ECD绕点C旋转的度数；
(3) 将△ECD沿直线AC翻折到图(4)的位置，ED′与AB相交于点F，可以看成△ABC经过___ 变化得到，并证明AF=FD′．
22．（14分）已知二次函数自变量与函数值之间满足下列数量关系，回答下列问题：
（1）二次函数的解析式是 ；对称轴是 ；
（2）当时，的值是 ；
代数式+(a+b+c)(a－b+c)的值是 ；
（3）如图（1），把二次函数向左平移1个单位得到二次函数，则二次函数的解析式是 ；点A是二次函数的顶点，点B是二次函数与轴的一个交点，那么曲线AB在平移过程中扫过的图形的面积是 ；
（4）如图（2），二次函数的顶点为C，与轴的一个交点为D，点Q的坐标为（1，0），点P在线段CD上运动（端点除外），问：在是否存在点P，使得△OQP是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
备用题参考答案:
20、（1） ；
（2）设投资m万元开发B产品，则投资20-m万元开发A产品，所得利润
当时，最大值
∴投资14万元开发A产品，投资6万元开发B产品，公司能获得最大的利润，利润值是万元
20、
21．解：（1），，--------------------------3分
（2）当时，位置如图Ａ所示，
作，垂足为，可知：，，
，，
---------------------------4分
当时，位置如图Ｂ所示．
可知：
--------------------5分
（求梯形的面积及的面积时只要所用方法适当，所得结论正确均可给分）
与的函数关系式为：-----------------------6分
（3）图2中，作，垂足为，当时，，
，
可知：，，-------------------------------------------------7分
经过三点的抛物线解析式：--8分
（4）当在运动过程中，存在与坐标轴相切的情况，设点坐标为
当与轴相切时，有，，由得：，
由，得，
当与轴相切时，有
，得：，
综上所述，符合条件的圆心有三个，其坐标分别是：
，，-------------------11分（每求出一个点坐标得1分）
21 (1) P变化，3-； …………………………………3分（1+2）
(2)30°； …………………………………6分
(3)RQ变化 …………………………………8分
证明：在△AEF和△D′BF中，
∵AE=AC-EC, D’ B=D’ C-BC，
又AC=D’ C,EC=BC，∴AE=D’ B．
又 ∠AEF=∠D’ BF=180°-60°=120°，∠A=∠CD’E=30°，
∴△AEF≌△D’ BF．
∴AF=FD’． ……………………………………11分
22．（1） ，………………………2分（1+1）
（2）－5 ； 2……………………………………5分（1+2）
（3） ；4；…………………………………8分（1+2）
（4）第一种情况：OP＝PQ时，点P的坐标是（，3）
第二种情况：OP＝OQ时，点O到直线CD的距离=＞1，点P不存在
第三种情况：OQ＝QP时，设P（m，-2m+4），得，
解得：，（舍去）
∴点P的坐标是（，）
综上所述，点P的坐标为（，3）或（，）时，△OQP是等腰三角形。
…………………………………………………………………………14分（2+2+2）