2018-2019学年第一学期期中试卷
九年级数学 2018.11
考试时间：120分钟 满分分值：130分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为-1，则p的值为(▲)
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
2.如图，l1∥l2∥l3，AB=a，BC=b，，则的值为(▲)
A． B． C． D．
3.等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为(▲)
A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定
4.如图，添加下列一个条件，不能使△ADE∽△ACB的是(▲)
A．DE∥BC B．∠AED=∠B C． D．∠ADE=∠C
5. 若⊙P的半径为5，圆心P的坐标为（-3，4），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的 位置关系是(▲)
A.在⊙P内 B.在⊙P上 C.在⊙P外 D.无法确定
6. 如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC，若∠A=20°,∠B=70°，
则∠ACB的度数为(▲)
A．50° B．55°C．60° D．65°
7. 关于x的方程无实数根，则一次函数的图像不经过(▲)
A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8. 以下命题：①直径相等的圆是等圆；②长度相等弧是等弧；③相等的弦所对的弧也 相等；④圆的对 称轴是直径；其中正确的个数是(▲)
A．4B．3 C．2 D．1
9. 平面直角坐标系中，直线和x、y轴交于A、B两点，在第二象限内找一 点P，使△PAO和△AOB相似的三角形个数为(▲)
A．2B．3 C．4 D．5
10.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，F是线段AC上一点，过点A的⊙F交AB 于点D，E是线段BC上一点，且ED=EB，则EF的最小值为 (▲)
A．3 B．2 C． D．2
二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分，把答案填在相应横线上）
11. 方程2x2=3x的解是▲．
12. 在比例尺为1：30000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB=5cm，则A、B两地 的实际距离为▲km．
13. 用一个圆心角为120°，半径为9的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径 是▲．
14.某品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了2025元，则 平均每月降价的百分率为▲．
15．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下， 塔影DE留在坡面上．已知CD=20m，DE=30m，小明和小华的身高都是1.5m，同一 时刻，小明站在E处，影子落在坡面上，影长为2m，小华站在平地上，影子也落在 平地上，影长为1 m，则塔高AB是▲米．
16. 已知直线交x轴、y轴于点A、B，⊙P的圆心从原点出发以每秒1个单位 的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t (s)，半径为，则t=▲s 时⊙P 与直线AB相切．
17．如图，圆心O恰好为正方形ABCD的中心，已知AB=10，⊙O的半径为1，现将⊙O 在正方形内部沿某一方向平移，当它与正方形ABCD的某条边相切时停止平移，设此时的平移的距离为d，则d的取值范围是▲．
18．如图，以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D， 若，且AB=10，则CB的长为▲．
三、解答题（本大题共10小题，共84分，写出必要的解题步骤和过程）
19．（16分）解方程
⑴（x﹣2）2=9； ⑵3x2﹣1=2x；
⑶x2+4x+1=0； ⑷（x+1）2﹣6（x+1）+5=0．
20．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，
连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=18，AD=，AF=，求AE的长．
21．（6分）已知，△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（﹣2，2）、 B（﹣1，0）、C（0，1）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，在网格内画出所有符合条 件的△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1位似， 且位似比为2：1；
（3）求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比．
22．(6分)小明打算用一张半圆形的纸做一个圆锥，制作过程中，他将半圆剪成面积比 为1：2的两个扇形．
（1）请你在图中画出他的裁剪痕迹．
(要求尺规作图，保留作图痕迹)
（2）若半圆半径是3，大扇形作为圆锥的侧面，则小明必须在小扇形纸片中剪下多 大的圆才能组成圆锥？小扇形纸片够大吗（不考虑损耗及接缝）？
23．（6分）若关于x的一元二次方程x2﹣（m+6）x+3m+9=0的两个实数根分别为x1，x2．
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若n=4（x1+x2）-x1x2，判断动点P（m，n）所形成的函数图象是否经过 点A（1，16），并说明理由．
24．（8分）在“文化无锡•全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数 及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查，2016年全校有1000名学生，2017年 全校学生人数比2016年增加10%，2018年全校学生人数比2017年增加100人．
（1）求2018年全校学生人数；
（2）2017年全校学生人均阅读量比2016年多1本，阅读总量比2016年增加1700本 （注：阅读总量=人均阅读量×人数）
①求2016年全校学生人均阅读量；
②2016年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果2017年、 2018年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，2018 年全校学生人均阅读量比2016年增加的百分数也是a，那么2018年读书社 全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值．
25．（8分）如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E （BE＞EC），且BD=．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．
⑴求证：DF为⊙O的切线；
⑵若∠BAC=60°，DE=，求图中阴影部分的面积；
26. (8分) 车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是：车辆是否可以行使到和路的边界夹角是45°的位置（如图1中②的位置），例如，图2是某巷子的俯视图，巷子路面宽4m，转弯处为直角，车辆的车身为矩形ABCD，CD与DE、CE的夹角都是45°时，连接EF，交CD于点G，若GF的长度至少能达到车身宽度，则车辆就能通过．
⑴试说明长8m，宽3m的消防车不能通过该直角转弯；
⑵为了能使长8m，宽3m的消防车通过该弯道，可以将转弯处改为圆弧（分别是以 O为圆心，以OM和ON为半径的弧），具体方案如图3，其中OM⊥OM′，请 你求出ON的最小值．
27．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12cm，BC＝4cm，点E从点C 出发沿射线CA以每秒3cm的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以每秒1cm 的速度运动．设运动时间为t秒．
（1）若0＜t＜4，试问：t为何值时，以E、C、F为顶点的三角形与△ABC相似；
（2）若∠ACB的平分线CG交△ECF的外接圆于点G．
①试说明：当0＜t＜4时，CE、CF、CG在运动 过程中，满足CE＋CF＝CG ；
②试探究：当t≥4时，CE、CF、CG 的数量关系是否发生变化， 并说明理由．
28．（10分）如图，已知线段AB＝2，MN⊥AB于点M，且AM＝BM，P是射线MN上 一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点 C在线段BD上），与MN的另一个交点R，连结AC，DE．
（1）当∠APB＝28°时，求∠B的度数和弧CM的度数．
（2）求证：AC＝AB．
（3）若MP=4，点P为射线MN上的一个动点，
①求MR的值
②在点P的运动过程中，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q， 若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求此时所有满 足条件的MQ的值．
2018-2019学年第一学期期中试卷
九年级数学参考答案
一、选择题：
1.C 2.A 3.B 4.A 5.B6.A 7.B 8.D 9.C 10. B
二、填空
11. 0或3/2 ；12. 1.5 ；13. 3；14. 10% ；15. 37.5 ；16. 24/11或24 17. 4≤d ；18. 4
三、解答题
19. 计算题：⑴ 5，-1； ⑵1，1/3； ⑶； ⑷4，0
20、（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C．
在△ADF与△DEC中，
∴△ADF∽△DEC．………………………………………………3分
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=18．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴，∴DE===27．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE==18．………………………………6分
21、解（1）如图：A1（2，2），B1（1，0），C1（0，1）；………………2分
（2）如图：A1（4，4），B1（2，0），C1（0，2） 或A1（﹣4，﹣4），B1（﹣2，0），C1（0，﹣2）；…………4分
（3）∵△A2B2C2与△A1B1C1位似，且位似比为2：1，
∴△A1B1C1与△A2B2C2的面积比=（）2=．…………………………6分
22、1）如图：…………………………………………………4分
（2）∵OA=3，
∴l弧AC=π×3=2π，
∴小圆半径r=1，
正好够剪．………………………………………………6分
23、解（1）∵△=（m+6）2﹣4（3m+9）=m2≥0
∴该一元二次方程总有两个实数根………………………………2分
（2）动点P（m，n）所形成的函数图象经过点A（1，16），
∵n=4（x1+x2）﹣x1x2=4（m+6）﹣（3m+9）=m+15
∴P（m，n）为P（m，m+15）．
∴A（1，16）在动点P（m，n）所形成的函数图象上．…………6分
24、解：（1）由题意，得
2013年全校学生人数为：1000×（1+10%）=1100人，
∴2014年全校学生人数为：1100+100=1200人；……………………………………2分
（2）①设2012人均阅读量为x本，则2013年的人均阅读量为（x+1）本，由题意，得
1100（x+1）=1000x+1700，
解得：x=6．
答：2012年全校学生人均阅读量为6本；………………………………………………4分
②由题意，得
2012年读书社的人均读书量为：2.5×6=15本，
2014年读书社人均读书量为15（1+a）2本，
2014年全校学生的人均读书量为6（1+a）本，
80×15（1+a）2=1200×6（1+a）×25%…………………………………………………………………………6分
2（1+a）2=3（1+a），
∴a1=﹣1（舍去），a2=0.5．
答：a的值为0.5．…………………………………………………………………………8分
25、证明：（1）连结OD，如图1，
∵AD平分∠BAC交⊙O于D，
∴∠BAD=∠CAD，
∴=，
∴OD⊥BC，
∵BC∥DF，
∴OD⊥DF，
∴DF为⊙O的切线；…………………………………………………4分
（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，
如图1，
∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=30°，
∴∠BOD=2∠BAD=60°，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠ODB=60°，OB=BD=2，
∴∠BDF=30°，
∵BC∥DF，
∴∠DBP=30°，
在Rt△DBP中，PD=BD=，PB=PD=3，
在Rt△DEP中，∵PD=，DE=，
∴PE==2，
∵OP⊥BC，
∴BP=CP=3，
∴CE=3﹣2=1，
易证得△BDE∽△ACE，
∴AE：BE=CE：DE，即AE：5=1：，
∴AE=
∵BE∥DF，
∴△ABE∽△AFD，
∴=，即=，解得DF=12，
在Rt△BDH中，BH=BD=，
∴S阴影部分=S△BDF﹣S弓形BD=S△BDF﹣（S扇形BOD﹣S△BOD）
=•12•﹣+•（2）2
=9﹣2π；…………………………………………………8分
26、解：（1）消防车不能通过该直角转弯．
理由如下：如图，作FH⊥EC，垂足为H，
∵FH=EH=4，
∴EF=4，且∠GEC=45°，………………………………2分
∵GC=4，
∴GE=GC=4，
∴GF=4﹣4＜3，
即GF的长度未达到车身宽度，
∴消防车不能通过该直角转弯；…………………………………………………4分
（2）若C、D分别与M′、M重合，则△OGM为等腰直角三角形，
∴OG=4，OM=4，
∴OF=ON=OM﹣MN=4﹣4，
∴FG=OG﹣OF=×8﹣（4﹣4）=8﹣4＜3，
∴C、D在上，
设ON=x，连接OC，在Rt△OCG中，
OG=x+3，OC=x+4，CG=4，
由勾股定理得，OG2+CG2=OC2，
即（x+3）2+42=（x+4）2，
解得x=4.5．
答：ON至少为4.5米．…………………………………………………………8分
27、解：（1）由题意，EC=3t，BF=t，FC=4﹣t
∵∠ECF=∠ACB，
∴以E、C、F为顶点的三角形与△ACB相似有两种情况：
当=时，△EFC∽△ABC
∴，解得t=2，
当=时，△FEC∽△ABC
∴，解得t=0.4．
∴当t=2或0.4秒时，以E、C、F为顶点的三角形与△ABC相似；
（2）①当0＜t＜4时，
过点G作GH⊥CG交AC于H，如图1：
∵∠ACB=90°，
∴EF为△ECF的外接圆的直径，
∴∠EGF=90°，
∴∠EGH=∠FGC，
∵CG平分∠ACB，
∴∠ECG=∠FCG=45°
∴=，
∴EG=FG
∵∠ECG=45°，
∴∠EHG=45°，
∴∠EHG=∠FCG，
在△EGH和△FGC中，
，
∴△EGH≌△FGC．
∴EH=FC
∵∠EHG=∠ECG=45°，
∴CH=CG
∵CH=CE+EH，
∴CE+CF=CG；
②当t≥4时，
过点G作GM⊥CG交AC于M，如图2：
同理可得△EGM≌△FGC．
∴EM=FC
∵∠EMG=∠MCG=45°，
∴CM=CG
∵CM=CE﹣EM，
∴CE﹣CF=CG．
28、解：（1）∵MN⊥AB，AM=BM，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠B，
∵∠APB=28°，
∴∠B=76°，…………………………………………1分
如图1，连接MD，
∵MD为△PAB的中位线，
∴MD∥AP，
∴∠MDB=∠APB=28°，
∴=2∠MDB=56°；…………………………………3分
（2）∵∠BAC=∠MDC=∠APB，
又∵∠BAP=180°﹣∠APB﹣∠B，∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B，
∴∠BAP=∠ACB，
∵∠BAP=∠B，
∴∠ACB=∠B，
∴AC=AB；………………………………………………5分
（3）①如图2，记MP与圆的另一个交点为R，
∵MD是Rt△MBP的中线，
∴DM=DP，
∴∠DPM=∠DMP=∠RCD，
∴RC=RP，
∵∠ACR=∠AMR=90°，
∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，
∴12+MR2=22+PR2，
∴12+（4﹣PR）2=22+PR2，
∴PR=，
∴MR=，………………………………………………7分
②Ⅰ．当∠ACQ=90°时，AQ为圆的直径，
∴Q与R重合，
∴MQ=MR=；
Ⅱ．如图3，当∠QCD=90°时，
在Rt△QCP中，PQ=2PR=，
∴MQ=；……………………………………………8分
Ⅲ．如图4，当∠QDC=90°时，
∵BM=1，MP=4，
∴BP=，
∴DP=BP=，
∵cos∠MPB==，
∴PQ=，
∴MQ=；…………………………………………9分
Ⅳ．如图5，当∠AEQ=90°时，
由对称性可得∠AEQ=∠BDQ=90°，
∴MQ=；
综上所述，MQ的值为或或.……………………………………………10分