北京市西城区2012—2013学年度第一学期期末试卷（南区）
九年级数学 2013.1
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．二次函数的最小值是
A． B．1 C． D．2
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝40°，则∠AOC的度数为
A．20° B．40°
C．60° D．80°
3．两圆的半径分别为2和3，若圆心距为5，则这两圆的位置关系是
A．相交 B．外离 C．外切 D．内切
4．三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子如图所示.
若，则这个三角尺的周长
与它在墙上形成的影子的周长的比是
A．5∶2 B．2∶5
C．4∶25 D．25∶4
5．如图，正方形ABCD的内切圆和外接圆的圆心为，EF与GH是此
外接圆的直径，EF=4，AD⊥GH，EF⊥GH，则图中阴影部分的面积是
A．π B．2π
C．3π D．4π
6．袋子里有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是红色的，一枚是绿色的．从中随机同时摸出两枚，则摸出的两枚棋子颜色相同的概率是
A． B． C． D．
7．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，
△AOB绕点顺时针旋转90°后得到△，则点的对应
点的坐标为
A．（3，4） B．（7，4） C．（7，3） D．（3，7）
8．如图，△ABC中，∠B=60°，∠ACB=75°，点D是BC边上一个动点，以AD为直径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，若弦EF长度的最小值为1，则AB的长为
A. B. C. 1.5 D.
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．扇形的半径为9，且圆心角为120°，则它的弧长为_______.
10．已知抛物线经过点、，则与的大小关系是_______．
11．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，且OP=2，
∠APB=60°．若点C在⊙O上，且AC=，则圆周角
∠CAB的度数为_______．
12．已知二次函数的图象与x轴交于(1,0)和(,0)，其中，与轴交于正半轴上一点．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是_______．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：．
14．已知抛物线．
（1）用配方法将化成的形式；
（2）将此抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，求平移后所得抛物线的解析式．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上．若DB=6，AD=CD，sin∠CBD=，求AD的长和tanA的值．
16．如图，AB是⊙O 的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB
于点E．
（1）求证：∠BCO=∠D；
（2）若CD=，AE=2，求⊙O的半径．
17．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，点P为AC边中点，点M是BC边上一点．将△CPM沿直线MP翻折，交AB于点E，点C落在点D处，∠BME=120°．
（1）求∠CMP的度数；（2）求BM的长．
18．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处.
（1）B处距离灯塔P有多远？
（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔200海里的O处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．已知抛物线.
（1）它与x轴的交点的坐标为_______；
（2）在坐标系中利用描点法画出它的图象；
（3）将该抛物线在轴下方的部分(不包含与轴的交点)记为G，若直线与G 只有一个公共点，则的取值范围是_______．
20．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线
与AB的延长线交于点P，∠COB=2∠PCB.
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，
若MN · MC=8，求⊙O的直径.
21．平面直角坐标系中，原点O是正三角形ABC外接圆的圆心，点A在轴的正半轴上，△ABC的边长为6．以原点O为旋转中心将△ABC沿逆时针方向旋转角，得到△，点、、分别为点A、B、C的对应点．
（1）当=60°时，
①请在图1中画出△；
②若AB分别与、交于点D、E，则DE的长为_______；
（2）如图2，当⊥AB时，分别与AB、BC交于点F、G，则点的坐标为 _______，△FBG的周长为_______，△ABC与△重叠部分的面积为 _______．
22．阅读下面的材料：
小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数的最大值．他画图研究后发现，和时的函数值相等，于是他认为需要对进行分类讨论．
他的解答过程如下：
∵二次函数的对称轴为直线，
∴由对称性可知，和时的函数值相等．
∴若1≤m＜5，则时，的最大值为2；
若m≥5，则时，的最大值为．
请你参考小明的思路，解答下列问题：
（1）当≤x≤4时，二次函数的最大值为_______；
（2）若p≤x≤2，求二次函数的最大值；
（3）若t≤x≤t+2时，二次函数的最大值为31，则的值为_______．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．已知抛物线经过点（，）．
（1）求的值；
（2）若此抛物线的顶点为（，），用含的式子分别表示和，并求与之间的函数关系式；
（3）若一次函数，且对于任意的实数，都有≥，直接写出的取值范围.
24．以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．
（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM．
①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，=_______；
②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（），其
他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；
（2）如图3，若BO=，点N在线段OD上，且NO=2．点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．
25．如图1，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点，点C是AB的中点，CD⊥AB且CD=AB．直线BE与轴平行，点F是射线BE上的一个动点，连接AD、AF、DF.
（1）若点F的坐标为（，），AF=.
①求此抛物线的解析式；
②点P是此抛物线上一个动点，点Q在此抛物线的对称轴上，以点A、F、P、Q为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；
（2）若，，且AB的长为，其中．如图2，当∠DAF=45°时，求的值和∠DFA的正切值.
北京市西城区2012—2013学年度第一学期期末试卷（南区）
九年级数学参考答案及评分标准 2013.1
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
阅卷说明：第11题写对一个答案得2分．第12题只写②或只写④得2分;有错解得0分．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．解：原式 4分
. 5分
14．解：（1）
2分
（2）∵抛物线的顶点坐标为， 3分
∴平移后的抛物线的顶点坐标为. 4分
∴平移后所得抛物线的解析式为. . 5分
15．解：如图1.
在Rt△DBC中，∠C=90°，sin∠CBD=，DB=6，
∴. ………… 1分
∴ AD=CD=. ……………………2分
∵， 3分
AC= AD+CD=2+4=6， 4分
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴tanA=. 5分
16．（1）证明：如图2.
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠B. …………………………………1分
∵∠B=∠D，
∴∠BCO=∠D. ………………………………2分
（2）解：∵AB是⊙O 的直径，且CD⊥AB于点E，
∴CE=CD=. ………… 3分
在Rt△OCE中，，
设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=OAAE=r2，
∴. ………………… 4分
解得.
∴⊙O 的半径为3. ……………………… 5分
17．解：如图3.
（1）∵将△CPM沿直线MP翻折后得到△DPM，
∴∠CMP=∠DMP . 1分
∵∠BME=120°，
∴∠CMP=30°. 2分
（2）∵AC=6，点P为AC边中点，
∴CP=3. 3分
在Rt△CMP中，CP=3，∠MCP=90°，∠CMP=30°，
∴CM=. 4分
∴BM=. 5分
18．解：（1）作PC⊥AB于C.（如图4）
在Rt△PAC中，∠PCA=90°，∠CPA=90°45°=45°.
∴. 2分
在Rt△PCB中，∠PCB=90°，∠PBC=30°.
∴.
答：B处距离灯塔P有海里. 3分
（2）海轮若到达B处没有触礁的危险. 4分
理由如下：
∵，
而，
∴.
∴. 5分
∴B处在圆形暗礁区域外，没有触礁的危险.
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．解：（1）它与x轴的交点的坐标为（-1，0），（3，0）；
………………………1分
（2）列表：
图象（如图5）；………………… 3分
（3）的取值范围是或． 5分
阅卷说明：只写或只写得1分.
20．（1）证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO .
∴∠COB=2∠ACO .
又∵∠COB=2∠PCB，
∴∠ACO=∠PCB . 1分
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO +∠OCB=90° .
∴∠PCB +∠OCB=90°, 即OC⊥CP.
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线. 2分
（2）解：连接MA、MB.（如图6）
∵点M是弧AB的中点，
∴∠ACM=∠BAM.
∵∠AMC=∠AMN，
∴△AMC∽△NMA . …………………… 3分
∴.
∴.
∵MC·MN=8,
∴. 4分
∵AB是⊙O的直径，点M是弧AB的中点，
∴∠AMB=90°，AM=BM=.
∴. 5分
21．解：（1）①如图7所示； 1分
②DE的长为； 2分
（2）点的坐标为，△FBG的周长为 6 ，
△ABC与△重叠部分的面积为．
5分
阅卷说明：第（2）问每空1分.
22．解：（1）当≤x≤4时，二次函数的最大值为49；
1分
（2）∵二次函数的对称轴为直线，
∴由对称性可知，和时函数值相等.
∴若，则时，的最大值为17. 2分
若，则时，的最大值为. 3分
（3）的值为1或-5 . 5分
阅卷说明：只写1或只写-5得1分;有错解得0分.
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．解：（1）∵抛物线经过点（，），
∴.
∴. 1分
（2）∵，
∴， 2分
. 3分
∵，
∴.
∴.
∴. 5分
（3）的取值范围是且. 7分
阅卷说明：只写或只写得1分.
24．解：（1）①； ………………………1分
②结论：的值不变.（阅卷说明：判断结论不设给分点）
证明：连接EF、AD、BC.（如图8）
∵Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴.
∵Rt△COD中，∠COD=90°，∠DCO=30°，
∴.
∴.
又∵∠AOD=90°+∠BOD，∠BOC=90°+∠BOD，
∴∠AOD=∠BOC.
∴△AOD∽△BOC． 2分
∴，∠1=∠2.
∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，
∴EF∥AD，FM∥CB，且，.
∴， 3分
∠3=∠ADC=∠1+∠6，∠4=∠5.
∵∠2+∠5+∠6=90°，
∴∠1+∠4+∠6=90°，即∠3+∠4=90°.
∴∠EFM=90°. 4分
∵在Rt△EFM中，∠EFM=90°，，
∴∠EMF=30°.
∴. 5分
（2）线段PN长度的最小值为，最大值为. 7分
阅卷说明：第（2）问每空1分.
25．解：（1）①∵直线BE与轴平行，点F的坐标为（，），
∴点B的坐标为（，），∠FBA=90°，BF=1.
在Rt△ABF中，AF=，
∴.
∴点A的坐标为（，）.
∴抛物线的解析式为. 1分
②点Q的坐标为（，），（，），（，）. 4分
阅卷说明：答对1个得1分.
（2）∵，，
∴.
∴.
由 ，
.
解得 ，.
∵，
∴点A的坐标为（，），点B的坐标为（，）.
∴AB=，即 . 5分
方法一：过点D作DG∥轴交BE于点G，AH∥BE交直线DG于点H，延
长DH至点M，使HM=BF，连接AM.（如图9）
∵DG∥轴，AH∥BE，
∴四边形ABGH是平行四边形.
∵∠ABF=90°，
∴四边形ABGH是矩形.
同理四边形CBGD是矩形.
∴AH=GB=CD=AB=GH=.
∵∠HAB=90°，∠DAF=45°，
∴∠1+∠2=45°.
在△AFB和△AMH中，
AB=AH，
∠ABF=∠AHM=90°，
BF=HM，
∴△AFB≌△AMH. 6分
∴∠1=∠3，AF=AM，∠4=∠M.
∴∠3+∠2=45°.
在△AFD和△AMD中，
AF=AM，
∠FAD=∠MAD，
AD=AD，
∴△AFD≌△AMD.
∴∠DFA=∠M，FD=MD.
∴∠DFA=∠4. ……………………………………………………………7分
∵C是AB的中点，
∴DG=CB=HD=.
设BF=，则GF=，FD=MD=.
在Rt△DGF中，，
∴，解得 .
∴.…8分
方法二：过点D作DM⊥AF于M.（如图10）
∵CD⊥AB，DM⊥AF，
∴∠NCA=∠DMN=90°.
∵∠1=∠2，
∴∠NAC=∠NDM.
∴tan∠NAC=tan∠NDM.
∴. ……………………………6分
∵C是AB的中点，CD=AB=，
∴AC=，.
∵∠DAM=45°，
∴.
设 CN=，则DN=.
∴.
∴.
在Rt△DNM中，，
∴.
.
.
∴，（舍）.
∴CN=， …………………………………………………………………7分
AN=.
∵EB∥轴，
∴EB⊥轴.
∵CD⊥AB，
∴CD∥EB.
∴.
∴AF=.
∴MF= AFAM=.
∴. ………………………………8分