北京市西城区2017-2018学年度第一学期期末试卷
九年级数学 2018.1
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，如果AC=3，AB=5，那么sinB等于（ ）．
A. B. C. D.
2.点，是反比例函数图象上的两点，那么，的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.不能确定
3.抛物线的顶点坐标和开口方向分别是（ ）.
A.，开口向上 B.，开口向下
C.，开口向上 D.，开口向下
4.圆心角为，且半径为12的扇形的面积等于（ ）.
A. B. C. D.
5.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD=34°，那么∠BAD
等于（ ）．
A．34° B．46°
C．56° D．66°
6.如果函数的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（ ）.
A.m≤4 B. C. m≥ D.
7.如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到
△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（ ）．
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC
C． D．
8.如图，抛物线(a≠0)的对称轴为直线，
如果关于x的方程(a≠0)的一个根为4，那么
该方程的另一个根为（ ）．
A． B． C．1 D． 3
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 抛物线与y轴的交点坐标为 .
10. 如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC，
如果，AC=10，那么EC= .
11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点
与点在同一个反比例函数的图象上，PC⊥y轴于
点C，PD⊥x轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于 .
12.如图，直线(k≠0)与抛物(a≠0)
分别交于，两点，那么当时，x的
取值范围是 .
13. 如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于，
那么圆心O到弦AB的距离等于 .
14.2017年9月热播的专题片《辉煌中国——圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577 m，记CE与大桥主梁所夹的锐角为，那么用CE的长和的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD= (m) .
15.如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴
交于A，B两点，其中点B的坐标为，抛物线的对称轴交
x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E.现有下列结论：
①；②；③；④.其中所有
正确结论的序号是 .
16. 如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，
，.如果OB⊥OP，那么OB的长为 .
三、解答题（本题共68分，第17－20题每小题5分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）
17．计算：．
18．如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE=∠ACB．
（1）求证：△ABE∽△ACB；
（2）如果AB=6，AE=4，求AC，CD的长．
19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线：．
（1）补全表格：
（2）将抛物线向上平移3个单位得到抛物线，请画出抛物线，，并直接
回答：抛物线与轴的两交点之间的距离是抛物线与轴的两交点之间
距离的多少倍．
20．在△ABC中，AB=AC=2，．将△ABC绕点A逆时针旋转度（0<<180）
得到△ADE，B，C两点的对应点分别为点D，E，BD，CE所在直线交于点F．
（1）当△ABC旋转到图1位置时，∠CAD= （用的代数式表示），的
度数为 ；
（2）当=45时，在图2中画出△ADE，并求此时点A到直线BE的距离．
21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．
（1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）；
（2）求小球飞行3 s时的高度；
（3）问：小球的飞行高度能否达到22 m？请说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线（k≠0）与直线的交点为，两点，双曲线上一点P的横坐标为1，直线PA，PB与x轴的交点分别为点M，N，连接AN．
（1）直接写出a，k的值；
（2）求证：PM=PN，．
23．如图，线段BC长为13，以C为顶点，CB为一边的满足
．锐角△ABC的顶点A落在的另一边l上，且
满足．求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的
计算过程画出高BD及AB边．（图中提供的单位长度供补全图
形使用）
24．如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上，．
（1）求证：CE是半圆的切线；
（2）若CD=10，，求半圆的半径．
25．已知抛物线G：（a为常数）．
（1）当时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；
（2）若记抛物线G的顶点坐标为．
①分别用含a的代数式表示p，q；
②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q；
③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在 的图象上．
A．一次函数 B．反比例函数 C．二次函数
（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物
线H：（a为常数），其中N为含a的代数式，从而使这个
新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．
请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：
（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式（k，b为常数，k0）中，k= ，b= ．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：经过，且顶点坐标为．
（1）求抛物线M的函数表达式；
（2）设为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线．
①抛物线的顶点的坐标为 ；
②当抛物线与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．
27．如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，点C在线段OB上，OC=2BC，AO边上的一点D满足∠OCD=30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°<α<180°）得到△，C，D两点的对应点分别为点，，连接，，取的中点M，连接OM．
（1）如图2，当∥AB时，α= °，此时OM 和之间的位置关系为 ；
（2）画图探究线段OM和之间的位置关系和数量关系，并加以证明．
28．在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为，．对于给定的线段
AB及点P，Q，给出如下定义：若点Q关于AB所在直线的对称点落在△ABP的内部（不含边界），则称点Q是点P关于线段AB的内称点．
（1）已知点．
①在，两点中，是点P关于线段AB的内称点的是____________；
②若点M在直线上，且点M是点P关于线段AB的内称点，求点M的横坐标的取值范围；
（2）已知点，⊙C的半径为r，点，若点E是点D关于线段AB的内称点，且满足直线DE与⊙C相切，求半径r的取值范围．