北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末试卷
九年级数学 2015. 1
一、选择题(本题共32分，每小题4分)
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．二次函数的最大值是
A． B． C．1 D．2
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果
∠ADE=120°，那么∠B等于
A．130° B．120°
C．80° D．60°
3．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A B C D
4．把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线
A． B．
C． D．
5．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1∶2，如果△ABC的面
积是3，那么△A′B′C′的面积等于
A．3 B．．9 D．12
6．如果关于x的一元二次方程有实数根，那么m的取值范围是
A．m＞2 B．m≥3 C．m＜5 D．m≤5
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=，AC=12，BC=5，
CD⊥AB于点D，那么的值是
A． B．
C． D．
8．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正
方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中
的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物
线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y轴的抛物线与网
格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，如果△ABC
是该抛物线的内接格点三角形，，且点A，B，C
的横坐标，，满足＜＜，那么符合上述条件的抛物线条数是
A．7 B．8 C．14 D．16
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．在平面直角坐标系xOy中，点在反比例函数的图象上，x轴于
点B，那么△AOB的面积等于 ．
10．如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转某个角度得到
△AB′C′，使AB′∥CB， CB，AC′的延长线相交于点D，
如果∠D=28°，那么 °．
11．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点
为A，C，那么线段CE的长应等于 ．
12．在平面直角坐标系xOy中，，（其中
），点P在以点为圆心，半径等于2的圆
上，如果动点P满足，（1）线段的长
等于 （用含m的代数式表示）；（2）m的最小值
为 ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：．
14．解方程：．
15．如图，在⊙中，点P在直径AB的延长线上，PC，PD
与⊙相切，切点分别为点C，点D，连接交AB于
点E．如果⊙的半径等于，，求
弦的长．
16．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个
小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C
都在格点上，将△绕点A顺时针方向旋转90°得到
△．
（1）在正方形网格中，画出△；
（2）计算线段AB在旋转到的过程中所扫过区域的面积．
（结果保留）
17．某商店以每件20元的价格购进一批商品，若每件商品售价a元，则每天可卖出件．如果商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，求每件商品的售价是多少元．
18．如果关于x的函数的图象与x轴只有一个公共点，求实数a
的值．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P
在它的北偏东60°方向上，在A的正东400米的B处，测得
海中灯塔P在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P到环海路
的距离PC约等于多少米？（取1.732，结果精确到1米）
20．如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中顶点
E，F，G分别在AB，BC，FD上．
（1）求证：△EBF∽△FCD；
（2）连接DH，如果BC=12，BF=3，求的值．
21．如图，在⊙O中，弦BC，BD关于直径AB所在直线对称．E为半径OC上一点，，
连接AE并延长交⊙O于点F，连接DF交BC于点M．
（1）请依题意补全图形；
（2）求证：；
（3）求的值．
22． 已知抛物线C：.
（1）补全表中A，B两点的坐标，并在所给的平面直
角坐标系中画出抛物线C；
（2）将抛物线C上每一点的横坐标变为原来的2倍，
纵坐标变为原来的，可证明得到的曲线仍是
抛物线，（记为），且抛物线的顶点是抛物
线C的顶点的对应点，求抛物线对应的函数
表达式.
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，点，在反比例函数（m为常
数）的图象G上，连接AO并延长与图象G的另一个交点为点C，过点A的直线l与
x轴的交点为点，过点C作CE∥x轴交直线l于点E．
（1）求m的值及直线l对应的函数表达式；
（2）求点E的坐标；
（3）求证：．
24．如图，等边三角形ABC的边长为4，直线l经过点A并与AC垂直．当点P在直线l
上运动到某一位置（点P不与点A重合）时，连接PC，并将△ACP绕点C按逆时针
方向旋转得到△BCQ，记点P的对应点为Q，线段PA的长为m（）．
①= ；
② 如图1，当点P与点B在直线AC的同侧，且时，点Q到直线l的距离
等于 ；
当旋转后的点Q恰好落在直线l上时，点P，Q的位置分别记为，．在图2
中画出此时的线段及△，并直接写出相应m的值；
（3）当点P与点B在直线AC的异侧，且△PAQ的面积等于时，求m的值．
25．如图1，对于平面上不大于的，我们给出如下定义：若点P在的内
部或边界上，作于点E，于点，则称为点P相对于
的“点角距离”，记为．
如图2，在平面直角坐标系xOy中，对于，点P为第一象限内或两条坐标轴正
半轴上的动点，且满足5，点P运动形成的图形记为图形G．
（1）满足条件的其中一个点P的坐标是 ，图形G与坐标轴围成图形的面积
等于 ；
（2）设图形G与x轴的公共点为点A，已知，，求的值；
（3）如果抛物线经过（2）中的A，B两点，点Q在A，B两点之间
的抛物线上（点Q可与A，B两点重合），求当取最大值时，点Q
的坐标．
北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末
九年级数学试卷参考答案及评分标准 2015.1
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．3． 10.28． 11. ． 12.（1）m；（2）3.
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．解：
……………………………………………………… 3分
………………………………………………………………………………… 5分
14．解：．
∵ ，，， ……………………………………………………… 1分
∴ ．……………………………………………… 2分
∴ ……………………………………………… 3分
．
∴ 原方程的解是，．…………………………………… 5分
15．解：连接OC．（如图1）
∵ PC，PD与⊙相切，切点分别为点C，点D，
∴ OC⊥PC ，……………………………………………………………………… 1分
PC=PD，∠OPC=∠OPD．
∴ CD⊥OP，CD=2CE． …………………………2分
∵ ，
∴ ．……………3分
设 OE=k，则CE=2k，．（）
∵ ⊙的半径等于，
∴ ，解得．
∴ CE=6 ．………………………………………………………………………… 4分
∴ CD=2CE=12 ．………………………………………………………………… 5分
16．（1）画图见图2． …………………………… 2分
（2）由图可知△是直角三角形，AC=4，BC=3，
所以AB=5．…………………… 3分
线段AB在旋转到的过程中所扫过区域
是一个扇形，且它的圆心角为90°，半径为5．
……………………………………… 4分
∴ ．
…………………………………… 5分
所以线段AB在旋转到的过程中所扫过区域的面积为．
17．解：根据题意，得．（20≤a≤80） …………………… 1分
整理，得 ．
可得 ．
解方程，得，．…………………………………………………… 3分
当时，（件）．
当时，（件）．
因为要使每天的销售量尽量大，所以． ………………………………… 4分
答：商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，每件商品的售
价应是40元．……………………………………………………………………… 5分
18．解：（1）当时，函数的图象与x轴只有一个公共点成立．…………1分
（2）当a≠0时，函数是关于x的二次函数．
∵ 它的图象与x轴只有一个公共点，
∴ 关于x的方程 有两个相等的实数根． ………2分
∴ ．………………………………………………3分
整理，得 ．
解得 ．…………………………………………………………… 5分
综上，或．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．解：如图3，由题意，可得∠PAC=30°，∠PBC=60°．
………………………………………… 2分
∴ ．
∴ ∠PAC=∠APB．
∴ PB=AB= 400．…………………………… 3分
在Rt△PBC中，∠PCB=90°，∠PBC=60°，PB=400，
∴≈346（米）．………………4分
答：灯塔P到环海路的距离PC约等于346米． …………………………………… 5分
20．（1）证明：如图4．
∵ 正方形ABCD，正方形EFGH，
∴ ∠B=∠C=90°，∠EFG=90°，
BC=CD，GH=EF=FG．
又∵ 点F在BC上，点G在FD上，
∴ ∠DFC+∠EFB=90°，∠DFC+∠FDC=90°，
∴ ∠EFB =∠FDC． …………………… 1分
∴ △EBF∽△FCD．…………………… 2分
（2）解：∵ BF=3，BC=CD=12，
∴ CF=9，．
由（1）得 ．
∴ ． …………………………………………… 3分
∴ ．……………………………………4分
．
∴ ． ………………………………………………… 5分
21．（1）补全图形见图5．…………………………………………1分
（2）证明：∵ 弦BC，BD关于直径AB所在直线对称，
∴ ∠DBC=2∠ABC． ……………………………2分
又∵，
∴ ．……………………………3分
（3）解：∵ ，
∴ ∠A=∠D．
又∵ ，
∴ △AOE∽△DBM． ……………………………………………………… 4分
∴ ．
∵ ，OA =OC，
∴ ．
∵ 弦BC，BD关于直径AB所在直线对称，
∴ BC=BD．
∴ ．………………………………………………………… 5分
22．解：（1），． ……………………………………………………… 2分
画图象见图6．……………………………………………………………… 3分
（2）由题意得变换后的抛物线的相关点的坐标如下表所示：
设抛物线对应的函数表达式为 ．（a≠0）
∵ 抛物线与y轴交点的坐标为，
∴ ．
解得 ．
∴ ．……… 5分
∴ 抛物线对应的函数表达式为．
说明：其他正确解法相应给分．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）
23．解：（1）∵ 点在反比例函数（m为常数）的图象G上，
∴ ．………………………………………………………………1分
∴ 反比例函数（m为常数）对应的函数表达式是．
设直线l对应的函数表达式为（k，b为常数，k≠0）．
∵ 直线l经过点，，
∴ 解得
∴ 直线l对应的函数表达式为． ………………………………2分
（2）由反比例函数图象的中心对称性可知点C的坐标为． ………… 3分
∵ CE∥x轴交直线l于点E，
∴ ．
∴ 点E的坐标为．………………………………………………… 4分
（3）如图7，作AF⊥CE于点F，与过点B的y轴的垂线交于点G，BG交AE于点M，
作CH⊥BG 于点H，则BH∥CE，．
∵ ，，，
∴ 点F的坐标为．
∴ CF=EF．
∴ AC=AE．
∴ ∠ACE =∠AEC．………………………… 5分
∵ 点在图象G上，
∴ ，
∴ ，，．
在Rt△ABG中，，
在Rt△BCH中，，
∴ ．………………………………………………………… 6分
∴ ．
∵ ，，
∴ ∠BAE=∠ACB． …………………………………………………………… 7分 24．解：（1）①= 90；………………………………………………………………1分
② m=3时，点Q到直线l的距离等于
．……………………………… 2分
（2）所画图形见图8．………………………… 3分
．……………………………… 4分
（3）作BG⊥AC于点G，过点Q作直线l的垂线交l于点D，交BG于点F．
∵ CA⊥直线l，
∴ ∠CAP=90．
易证四边形ADFG为矩形．
∵ 等边三角形ABC的边长为4，
∴ ∠ACB=60，，．
∵ 将△ACP绕点C按逆时针方向旋转得到△BCQ，
∴ △ACP≌△BCQ．
∴ AP = BQ = m，∠PAC=∠QBC=90．
∴ ∠QBF=60．
在Rt△QBF中，∠QFB=90，∠QBF=60，BQ=m，
∴ ．…………………………………………………………… 5分
要使△PAQ存在，则点P不能与点A，重合，所以点P的位置分为以下两
种情况：
如图9，当点P在（2）中的线段上（点P不与点A，重合）时，可得，此时点Q在直线l的下方．
∴ ．
∵，
∴ ．
整理，得．
解得或．
经检验，或在的范围内，均符合题意．… 7分
如图10，当点P在（2）中的线段的延长线上（点P不与点A，重合）时，可得，此时点Q在直线l的上方．
∴ ．
∵ ，
∴ .．
整理，得 ．
解得 （舍负）．
经检验，在的范围内，符合题意．…………8分
综上所述，或或时，△PAQ的面积等于．
25．解：（1）满足条件的其中一个点P的坐标是；………………………………… 1分
（说明：点的坐标满足， 0≤x≤5，0≤y≤5均可）
图形G与坐标轴围成图形的面积等于．…………………………………2分
（2）如图11，作ME⊥OB于点E，MF⊥x轴于点F，则MF =1，作MD∥x轴，交OB于点D，作BK⊥x轴于点K．
由点B的坐标为，可求得直线OB对应的函数关系式为．
∴ 点D的坐标为，．
∴ OB=5，，
．
∴ ．
……………………………………… 3分
∴ ．
……………………………………… 4分
（3）∵ 抛物线经过，两点，
∴ 解得
∴ 抛物线对应的函数关系式为．………………………5分
如图12，作QG⊥OB于点G，QH⊥x轴于点H．作QN∥x轴，交OB于点N．
设点Q的坐标为，其中3≤m≤5，
则．
同（2）得 ．
∴ 点N的坐标为，．
∴
．
∴
．
∴ 当（在3≤m≤5范围内）时，取得最大值（）．
………………………………………………………… 6分
此时点Q的坐标为．…………………………………………………7分