第2课时 正方形的判定
基础题
知识点 正方形的判定
1．下列说法不正确的是( )
A．对角线互相垂直的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．有一个角是直角的平行四边形是正方形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD，则四边形ABCD的形状是( )
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
3．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )
A．∠D＝90° B．AB＝CD
C．AD＝BC D．BC＝CD
4．下列说法不正确的是( )
A．两条对角线互相垂直的矩形是正方形
B．两条对角线相等的菱形是正方形
C．两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
D．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形
5．(威海中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )
A．BC＝AC B．CF⊥BF
C．BD＝DF D．AC＝BF
6．如图，将矩形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是( )
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形
7．(日照中考)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题．从下列四个条件①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使□ABCD成为正方形(如图)．现有下列四种选法，你认为其中错误的是( )
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
8．矩形各内角的平分线围成一个( )
A．平行四边形 B．正方形
C．矩形 D．菱形
9．(龙东中考)如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件________________________________，使四边形ABCD是正方形(填一个即可)．
10．如图，把一个矩形纸片对折两次，然后剪下一个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为________．
11．(扬州中考改编)如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE，FG相交于点H.连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．
中档题
12．甲、乙、丙、丁四位同学到工厂实习，工人师傅拿一把尺子要他们帮助检测一个四边形构件是否为正方形，他们各自做了如下检测：
甲量得构件四边都相等；
乙量得构件的两条对角线相等；
丙量得构件的一组邻边相等；
丁量得构件的四边相等且两条对角线也相等．
检测后，他们都说是正方形，你认为说得最有把握的是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
13．如图，下列四组条件中，能判定□ABCD是正方形的有( )
①AB＝BC，∠A＝90°；②AC⊥BD，AC＝BD；③OA＝OD，BC＝CD；④∠BOC＝90°，∠ABD＝∠DCA.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
14．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－2，0)、B(0，－2)、C(2，0)、D(0，2)，求证：四边形ABCD是正方形．
15．(南京中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD.垂足分别为M，N.
(1)求证：∠ADB＝∠CDB；
(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．
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综合题
16．(青岛中考)已知：如图，□ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E.
(1)求证：△AOD≌△EOC；
(2)连接AC，DE，当∠B＝∠AEB＝________°时，四边形ACED是正方形？请说明理由．
参考答案
基础题
1.C 2.D 3.D 4.D 5.D 6.A 7.B 8.B 9.AC＝BD(或∠ABC＝90°等) 10.45°
11.证明：根据旋转和平移可得∠GEF＝90°，∠CBE＝90°，CG∥BE，CB＝BE.
∴∠BCG＋∠CBE＝180°.
∴∠BCG＝90°.
∴四边形CBEG是矩形．
∵CB＝BE，
∴矩形CBEG是正方形．
中档题
12.D 13.D
14.证明：由四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－2，0)、B(0，－2)、C(2，0)、D(0，2)，可知OA＝OB＝OC＝OD＝2，∴四边形ABCD为矩形．
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形．
15.证明：(1)∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
又∵BA＝BC，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD(SAS)．
∴∠ADB＝∠CDB.
（2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD＝∠PND＝90°.
又∵∠ADC＝90°，
∴四边形MPND是矩形．
∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN.
∴四边形MPND是正方形．
综合题
16.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠ADO＝∠OCE，∠DAO＝∠AEC.
又∵OD＝OC，∴△AOD≌△EOC(AAS)．
(2)45
理由：∵△AOD≌△EOC，∴OA＝OE.
又∵OC＝OD，∴四边形ACED是平行四边形．
∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∠BAE＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∴∠COE＝∠BAE＝90°.
∴□ACED是菱形．
∵AB＝AE，AB＝CD，
∴AE＝CD.
∴菱形ACED是正方形．